湖北省问津教育联合体2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版）

这是一份湖北省问津教育联合体2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
，.
故选：D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】为R上单调递减函数，由，可得，
上单调递增函数，由，可得，
则由“”可以得到“”；
由“”不能得到“”，
则“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 在中，为边上中线，为的中点，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵为边上的中线，∴，
∵E为的中点，∴，
∴.
故选：D.
4. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为R，，即是奇函数，排除AC；
当时，，则，选项D满足，B不满足.
故选：D.
5. 已知向量，的夹角为45°，且，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】因为向量，的夹角为45°，且，，
所以，
则.
故选：A.
6. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，又，故，
故，
则，解得，
故，
故.
故选：C.
7. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ）
A. B. 3C. D. 7
【答案】A
【解析】因向量在向量上的投影向量是，
则，故，
于是.
故选：A.
8. 已知正实数a，b满足：，，则的值是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】，故即
故，且，即，
设，则，
易知是增函数，故，
所以.
故选：B.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A，B：，A正确，B错误；
对于C，D：因为，，所以，
又因为M，O，N三点共线，所以，故，C正确，D错误．
故选：AC.
10. 函数，以下正确的是（ ）
A. 若的最小正周期为π，则
B. 若，且，则
C. 当时，在单调且在不单调，则
D. 当时，若对任意的x有成立，则
【答案】ACD
【解析】对于A，由题可得，故A正确；
对于B，由题可得，则，
且，可得相邻对称轴间的距离，即半个最小正周期为，
则最小正周期为π，故，故B错误；
对于C，因在单调且在不单调，
则的半个最小正周期满足：，故C正确；
对于D，由题可得在时取最大值，又，
则，又，
则当时，取最小值，故D正确.
故选：ABD.
11. 如图，已知点P是的中线上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为D. 的最小值是8
【答案】BC
【解析】对于A，，因为三点共线，故，故A错误；
对于B，，故，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，，故，
所以，故C正确；
对于D，，
当且仅当即时，等号成立，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 木雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统木雕精致细腻､气韵生动､极富书卷气．如图是一扇环形木雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分．已知，，，则该扇环形木雕的面积为________．
【答案】
【解析】环形面积.
13. 定义两个向量，的运算“”：与运算“*”：，其中是，的夹角．若，，，则________．
【答案】
【解析】因为，，，所以，
解得：，又，所以，
所以.
14. 已知中，，，D为上一点，且，，垂足为E，则________．
【答案】
【解析】如图，以E为坐标原点，EA，EB所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，
因为，所以，则，
又，过D作于F，易知，所以，
得到，设，则，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）.
（2）
.
（3）
.
16. 已知，，，且，，，若，．
（1）求；
（2）求满足的实数m，n的值；
（3）求M，N的坐标及向量的坐标．
解：（1）由题意得，
，，
所以.
（2）因为，
又，所以，解得，即.
（3）设为坐标原点，∵，
∴，即，
又，
∴，即，
∴．
17. 函数的部分图象如图所示．
（1）求的最小正周期及解析式；
（2）设函数，求在区间上的最小值；
（3）设实数，，若将函数的曲线向右平移个单位，再把各点横坐标变为原来的2倍．然后向下平移1个单位，得到，求方程存在4个不等的实数根时a的取值范围．
解：（1）由图可得，，所以，因此，
又由时，，可得，
即，
又，所以，
故.
（2）由（1）知，
所以，
又因为，所以，
故当，即时，函数取最小值.
（3）将的图象向右平移个单位所得图象的解析式为，
再把各点横坐标变为原来的2倍，所得图象的解析式为，
将图象向下平移一个单位所得图象的解析式为，
令，因为，则，画出的图像，
可以得到使方程存在4个不等的实数根，
则方程在上存在两个相异的实根，
令，则，解得，
故所求的的取值范围是．
18. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点．
（1）若，求实数x，y的值；
（2）若，求实数的值；
（3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值．
解：（1）因为所以，
所以，
所以.
（2）由题意可知：，
，
又因为三点共线，所以存在实数使得，
，
所以，解得：，
所以.
（3）易知，
由（2）知
，
又因为三点共线，所以，又，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
19. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）设，若在上的值域为，求实数的值；
（3）若对任意的和恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）
．
的最小正周期．
（2）由（1）知．
当时，，，
即．
令，则．
，．
令，．易知．
①当时，在上为增函数，
因此，即．
解得．
②当时，在上为减函数，
因此，即．解得．
综上所述，或．
（3）由（2）可知，当时，．
①当为偶数时，．
由题意，只需．
因当时，，所以．
②当为奇数时，．
由题意，只需．
因为当时，，所以．
综上所述，实数的取值范围是．