长沙市周南中学2025届高三4月针对性练习数学试卷及参考答案

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1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的)
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.若复数满足（其中i是虚数单位），则的虚部为（ ）
A.B.C.D.
3.已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A.B.C.D.
4.已知，则的值等于（ ）
A.B.C.D.
5.设l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
6.函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
7.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A.B.C.D.
8.已知球内接正四面体，为棱的中点，是棱上的一点，且，则球与四面体的体积比为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为且支出在元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A.估计众数为B.估计第百分位数是
C.估计平均数为D.支出在的频率为
10.以下命题正确的是（ ）
A.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，二者值域相同
B.函数的图象与函数的图象有两个交点，则的范围是
C.若幂函数经过点，则函数为奇函数，且在定义域上为减函数
D.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则
11.已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，与C相交于P，Q，与C相交于M，N，的中点为G，的中点为H，则（ ）
A.B.
C.的最大值为16D.当最小时，直线的斜率不存在
三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12.设数列的通项公式为，是数列的前n项和，则当n= 时，取得最大值.
13.已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是
14.某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，现在将10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，则共有 种不同的站队方法.
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 13 分)设三角形的内角、、的对边分别为、、且.
(1)求角的大小；
(2)若，边上的高为，求三角形的周长.
16.(本小题满分 15 分)
会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60％，女会员占40％.现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为.
(1)随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
(2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望.
17. (本小题满分 15 分)如图，是三棱锥的高，，，E是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值.
18.(本小题满分 17 分)已知，函数在处取得极值.
(1)求a；
(2)证明：对任意的m，，都有；
(3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值.
19.(本小题满分 17 分)椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.
①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求面积的最大值.