湖南省长沙市周南中学2024届高三下学期三模数学试题及参考答案

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1.若复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.设等差数列的前项和为，且，则的值是（ ）
A.11B.50C.55D.60
3.给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集.（注：表示数集中的最小数）.对于集合，则（ ）
A.是规范数集，不是规范数集B.是规范数集，是规范数集
C.不是规范数集，是规范数集D.不是规范数集，不是规范数集
4.已知变量和的统计数据如表：
根据上表可得回归直线方程，据此可以预测当时，（ ）
A.8.5B.9C.9.5D.10
5.若，则（ ）
A.B.7C.D.
6.民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺在山西夏县的新石器时代遗址中发现.如图，是一个陀螺的立体结构图（上端是圆柱，下端是圆锥），已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积为（ ）
A.B.C.D.
7.过抛物线焦点的直线交该抛物线于点M，N，已知点M在第一象限，过M作该抛物线准线的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则的长度为（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A.B.C.2D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.若，则B.的最小值为2
C.D.的最小值为2
10.已知圆：，直线：，则（ ）
A.直线过定点
B.圆被轴截得的弦长为
C.当时，圆上恰有2个点到直线距离等于4
D.直线被圆截得的弦长最短时，的方程为
11.如图，在四面体中，，，，O为AC的中点，点M是棱BC的点，则（ ）
A.平面POB
B.四面体的体积为
C.四面体外接球的半径为
D.M为中点，直线PC与平面PAM所成角最大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知二项式展开式中第三项的二项式系数为6，那么 ；展开式的第二项的系数为 .
13.如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 .
14.已知函数，数列满足，，，则 .
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求的值；
(2)若外接圆的半径为，且为锐角，求面积的最大值.
16.某保险公司为了给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示.（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元.
(1)用样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费至少为多少元？（精确到整数）
(2)随着年龄的增加，该疾病患病的概率越来越大，经调查，年龄在的老人中每15人就有1人患该项疾病，年龄在的老人中每10人就有1人患该项疾病，现分别从年龄在和的老人中各随机选取1人，记表示选取的这2人中患该疾病的人数，求的数学期望.
17.如图，四棱锥中，四边形是菱形，，是正三角形，是的重心，点满足.
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
18.已知正项数列的前项和为，且.
(1)求和的值，并求出数列的通项公式；
(2)证明：；
(3)设，求的值（其中表示不超过的最大整数）.
19.曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大.曲线在点M处的曲率（其中表示函数在点M处的导数，表示导函数在点M处的导数）.在曲线上点M处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的一侧上取一点D,使得，则称以D为圆心，以为半径的圆为曲线在M处的曲率圆，因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此圆为曲线在此处的密切圆.

(1)求出曲线在点处的曲率，并在曲线的图象上找一个点E，使曲线在点E处的曲率与曲线在点处的曲率相同；
(2)若要在曲线上支凹侧放置圆使其能在处与曲线相切且半径最大，求圆的方程；
(3)在（2）的条件下，在圆上任取一点P，曲线上任取关于原点对称的两点A，B，求的最大值.
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年龄
保费