备战高一数学下学期期中（北师大）专题01 高一下学期期中真题精选（原卷版）

这是一份备战高一数学下学期期中（北师大）专题01 高一下学期期中真题精选（原卷版），共26页。试卷主要包含了诱导公式化简问题等内容，欢迎下载使用。

题型一 任意角与弧度制
题型二 三角函数定义
题型三 诱导公式化简问题 （易错）
题型四 三角函数的图象与性质（高频）
题型五 三角函数图象变化（高频）
题型六 求三角函数解析式（高频）
题型七 生活中的三角函数模型
题型八 平面向量的概念
题型九 平面向量的加减数乘运算
题型十 平面向量的数量积（重点）
题型十一 向量的模（易错）
题型十二 向量的夹角（易错）
题型十三 向量的平行垂直关系（高频）
题型十四 利用正、余弦定理解三角形（难点）
题型十五 三角形个数问题
题型十六 判断三角形形状
题型十七 三角形周长定值问题（难点）
题型十八 三角形面积问题定值问题（难点）
题型十九 解三角形的实际应用（难点）
一、任意角与弧度制（共7小题）
1．（24-25高一上·江苏淮安·期中）下列各角中，与角终边相同的角为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一上·河北保定·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·北京延庆·期中）下列与角的终边关于y轴对称的角是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一下·北京·期中）已知扇形的圆心角为2rad，所对的弦长为4，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（多选）（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）下列各角与角终边相同的是（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高一上·天津津南·期中）如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是
7．（24-25高一上·广东佛山·期中）如图，扇形AOB的面积是，它的周长是20cm，求扇形的圆心角的弧度数为 .

二、三角函数定义（共4小题）
1．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）若角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·北京通州·期中）已知角终边经过点，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一上·吉林·期中）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则a等于（ ）
A．1B．C．1或D．1或
4．（24-25高一上·天津津南·期中）若角的终边过点， 则 的值为（ ）
A．B．
C．D．
三、诱导公式化简问题（共6小题）
1．（23-24高二下·浙江·期中）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·四川成都·期中）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若角的终边与角的终边相同，则( )
A．B．C．D．
3．（22-23高一下·辽宁铁岭·期中）已知，则下列各式中值为的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高三上·天津河西·期中）化简： .
5．（23-24高一下·江西赣州·期中）计算 .
6．（23-24高一上·河北保定·期中）已知角的终边在直线上．
(1)求及的值；
(2)若函数，求的值．
四、三角函数的图象与性质（共9小题）
1．（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（24-25高一上·河北衡水·期中）设函数在上有且只有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高一下·北京延庆·期中）下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数的一个周期B．函数在上是增函数
C．函数的图像关于点对称D．函数是偶函数
5．（23-24高一下·河南南阳·期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．
B．已知，则
C．已知函数，，点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则
D．设函数是常数，.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为
6．（23-24高一下·北京延庆·期中）关于函数，给出下列三个命题：
①是周期函数；
②曲线关于直线对称；
③在区间上恰有1个零点．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
7．（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的最大值为 .
8．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数，当 时，函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.
9．（23-24高一下·新疆·期中）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调增区间；
(3)当时，求函数的最小值及相应的x的值．
五、三角函数图象变化（共7小题）
1．（23-24高一下·湖南·期中）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一下·山东临沂·期中）将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，然后再将所得图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高一下·江苏苏州·期中）将曲线上所有点向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一下·江西萍乡·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一下·北京·期中）要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
6．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
7．（23-24高一下·河南南阳·期中）将函数的图象上各点向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的，得到的图象的函数解析式是 .
六、求三角函数解析式（共6小题）
1．（23-24高一下·北京房山·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知函数（，）的部分图象如图所示，图象的一个最高点为M，图象与x轴的一个交点为，且点M，N之间的距离为5，则 .
3．（22-23高一下·江西宜春·期中）函数一个周期的图象如图所示，则函数的解析式为 .

4．（23-24高一下·上海浦东新·期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请直接写出表中的值，并求出函数的解析式和最小正周期；
(2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
5．（23-24高一下·北京·期中）已知函数的一个对称中心到其相邻的对称轴的距离为，且图像上一个最低点为.
(1)求的解析式；
(2)若当时方程有唯一实根，求的范围.
6．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值以及对应的的值．
七、生活中的三角函数模型（共6小题）
1．（23-24高一下·辽宁大连·期中）水车是古老黄河的文化符号，是我国劳动人民智慧的结晶，是最早的自动灌溉系统.黄河边上的一架水车直径为16米，入水深度4米，为了计算水车的旋转速度，某人给刚出水面的一个水斗（图中点A）做上记号，经过60秒该水斗到达水车最顶端（图中点B），再经过14分20秒，做记号的水斗与水面的距离为h米，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一下·四川绵阳·期中）某手表的秒针端点到中心的距离为，秒针绕匀速旋转，当时间时，点与表面上标12的点重合，将，两点间的距离（单位：）表示成（单位：s）的函数，则 ，.
3．（23-24高一下·北京·期中）在近期学校组织的论文展示大赛中，同学们发现数学在音乐欣赏中起着重要的作用纯音的数学模型是三角函数如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移我们听到的每个音是由纯音合成的，若某合音的数学模型为函数，且声音的质感与的参数有关，比如：音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．
（1）当时，函数的对称中心坐标为 ；
（2）当时，合音的音调比纯音 （填写“高”或“低”）．
4．（23-24高一下·山东济宁·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.
(1)如图2，建立平面直角坐标系，游客甲在P处坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动10min后距离地面的高度；
(3)如图2，若甲、乙两人先后分别坐在两个相邻的座舱里，两人的位置分别用点A，B表示，在运行一周的过程中，求经过tmin后，乙距离地面的高度的函数解析式，并求出两人距离地面高度相等的时刻t(精确到0.1).
（参考公式：)
5．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期中）如图是一个摩天轮的示意图，该摩天轮半径为圆上最低点与地面距离为且摩天轮转动一圈，图中与地面垂直，游客从处进入座舱，逆时针转动后到达处，设点到地面的距离为
(1)试将表示成关于的函数；
(2)由于建筑物的阻挡，当座舱离地面的高度不低于33m时，乘客方可观看远处的无人机表演，已知无人机表演共持续求乘坐摩天轮可观看无人机表演的总时长的最大值．
6．（23-24高一下·江西南昌·期中）4月11日至13日，我校组织高一高二全体师生一千六百余人前往九江、景德镇、上饶、抚州等地开展为期三天的融研学实践活动，汤显祖文化馆是此次研学的路线点之一，该文化馆每年都会接待大批游客.在该文化馆区的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余较多，浪费很严重.为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增，在8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问客栈在哪几个月份要准备400份以上的食物？
八、平面向量的概念（共4小题）
1．（22-23高一下·福建莆田·期中）下列物理量中哪个是向量（ ）
A．质量B．力C．温度D．路程
2．（23-24高一下·陕西西安·期中）在等腰中，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若，则
4．（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题：
①若m为任意实数，则是的充分非必要条件；
②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件；
③“”是“”的既非充分也非必要条件.
其中命题正确的个数（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
九、平面向量的加减数乘运算（共7小题）
1．（23-24高一下·江苏镇江·期中）化简（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·安徽·期中）设为所在平面内一点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（22-23高一下·北京延庆·期中）已知是所在平面内的一点，为边中点，且,那么（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D
5．（24-25高三上·北京朝阳·期中）如图，在中，， ，则（ ）

A．B．
C．D．
6．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知，是平面内的一组基底，若向量与共线，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高一下·云南保山·期中）已知平面向量，不共线，，，若A，B，C三点共线，则实数等于（ ）
A．B．C．D．
十、平面向量的数量积（共8小题）
1．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知单位向量的夹角为，则（ ）
A．B．0C．1D．2
2．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知向量、满足，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知向量，满足，，，则（ ）
A．B．C．1D．
4．（23-24高一下·安徽黄山·期中）在中，，，，则（ ）
A．3B．C．D．
5．（23-24高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（ ）

A．B．C．D．
6．（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量，满足，则 ．
7．（24-25高三上·山西·期中）已知向量，向量在上的投影向量的坐标为，则 .
8．（23-24高一下·天津·期中）在直角梯形中，，点在边上（包含端点），若，则的取值范围是 ．
十一、向量的模（共8小题）
1．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量，的夹角为120°，，则（ ）
A．B．C．7D．13
2．（24-25高三上·天津·期中）已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高一下·福建泉州·期中）平面向量与的夹角为，则等于（ ）.
A．B．C．D．4
4．（23-24高三上·湖北·期中）已知向量，满足，，则（ ）
A．B．C．2D．1
5．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知，设向量，.若，则 .
6．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知向量，且.
(1)求向量与的夹角；
(2)求的值.
7．（23-24高一下·山东菏泽·期中）已知向量，，，且向量与共线.
(1)求与夹角的余弦值；
(2)若，求t的值.
8．（23-24高一下·浙江·期中）已知平面向量，
(1)若与垂直，求k；
(2)若向量，若与共线，求.
十二、向量的夹角（共7小题）
1．（24-25高二上·上海嘉定·期中）若向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一上·广西柳州·期中）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A．B．C． D．
3．（24-25高三上·四川成都·期中）已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·四川成都·期中）已知，，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·湖北·期中）已知，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）已知点，点，向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 .
7．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知向量，，且．
(1)求；
(2)求与的夹角．
十三、向量的平行垂直关系（共6小题）
1．（24-25高三上·江苏南通·期中）在中，，，，.若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·河南·期中）已知向量，，若，则（ ）
A．或B．
C．2D．4
3．（24-25高三上·陕西·期中）已知平面向量满足，且，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
4．（24-25高三上·青海·期中）已知向量，若，则（ ）
A．0B．3C．5D．7
5．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量.
(1)若单位向量与共线，求向量的坐标；
(2)若与垂直，求的值.
6．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知向量，，且．
(1)求；
(2)求与的夹角．
十四、利用正、余弦定理解三角形（共6小题）
1．（24-25高三上·河南周口·期中）在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）在中，内角的对边分别是.若， ，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·广东湛江·期中）在中，已知A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，（ ）
A．B．2C．D．
4．（23-24高一下·河南商丘·期中）在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二上·湖南·期中）在中，内角的对边分别为，已知，则 .
6．（24-25高三上·云南昆明·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知的面积为，，，则 .
十五、三角形个数问题（共5小题）
1．（23-24高一下·广东深圳·期中）中，角对应的边分别为，解下列三角形，只有一解的时（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一下·福建泉州·期中）在中，，，，则满足条件的（ ）
A．不能确定B．无解C．有一解D．有两解
3．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，，满足此条件的有两解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一下·山东济南·期中）在中，角，，的对边分别为，，．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是 .
5．（23-24高一下·广东佛山·期中）记的内角的对边分别为，若，试写出一个值，使该三角形有两解，则满足题意的的值可以是 ．（仅需填写一个符合要求的数值）
十六、判断三角形形状（共5小题）
1．（22-23高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
2．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在中，，，的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
3．（23-24高一下·广东湛江·期中）在△ABC中，若c＝2a cs B，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．非等边三角形
4．（23-24高一下·天津·期中）若是钝角三角形，，，，则x的取值范围是 ．
5．（22-23高一下·浙江·期中）已知分别是三内角的对边，且满足，则的是 三角形．（填三角形的形状特征）
十七、三角形周长定值问题（共5小题）
1．（24-25高三上·福建泉州·期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
问题：在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_________．
(1)求角C；
(2)若AB边上的高为1，的面积为，求的周长．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
2．（24-25高三上·河南·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，记的面积为，.
(1)求的值；
(2)已知，为的中点，，求的周长.
3．（24-25高三上·山东青岛·期中）的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角；
(2)若的面积为，为中点，，求的周长.
4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长.
5．（24-25高三上·辽宁·期中）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若点到直线的距离为的面积为，求的周长.
十八、三角形面积问题定值问题（共5小题）
1．（24-25高三上·四川·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．
(1)求A；
(2)若的外接圆面积为，角B的平分线交AC于D，求的面积．
2．（24-25高三上·山东临沂·期中）在中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，.
(1)求；
(2)若，求的面积.
3．（24-25高三上·四川自贡·期中）在中，内角的对边分别为为钝角，．
(1)求；
(2)从以下①②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
①；②．
4．（24-25高三上·湖南·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，，，求.
5．（24-25高二上·陕西西安·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，的面积为，求，.
十九、解三角形的实际应用（共5小题）
1．（23-24高一下·安徽黄山·期中）长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一下·天津河北·期中）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定，，，，则两点距离是（ ）

A．B．C．D．
3．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，为了测量两岛屿间的距离，小胡同学在处观测到分别在处的北偏西，北偏东方向.再往正东方向行驶100海里至处，观测到在处的北偏西方向，在处的北偏东方向，则两岛屿间的距离约为（ ）（参考数据：）
A．169.50海里B．175.10海里C．182.30海里D．191.40海里
4．（23-24高一下·四川达州·期中）龙爪塔位于通川区朝阳寺内， 龙爪塔据传因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.龙爪塔相传由鲁班修建，据文物部门考证，该塔建于唐朝年间，乾隆十二（1747）年增刻本《达州志·舆地图》已绘有龙爪山图，先后经嘉庆十八（1813）年和光绪十四（1888）年两次补修.1987年11月按原貌对塔进行了维修，1989年对游人开放.为了测量塔的高度AB，选取与塔底B在同一水平面的两个基点C与D，现测得米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为 （参考数据）
5．（23-24高一下·山东烟台·期中）近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐．小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，临街，长16米，，在上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路，，小路终点E、F在墙、上，且，为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面用防腐木铺设．
(1)是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(2)若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用为S（单位：元），求S最小值．（最终结果保留整数）（参考数据：）0
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