2025年河南省南阳市镇平县九年级中考一模九年级数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2025年河南省南阳市镇平县九年级中考一模九年级数学试题（原卷版+解析版），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 比小1的数是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
2. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，打陀螺是一项深受各民族群众喜爱的体育运动，如图是一个水平放置的木陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体）玩具，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可示为（ ）
A. B. C. D.
4. 一把直尺和一个含角的三角板按如图所示方式叠合在一起，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A. 1B. -1C. 4D. -4
6. 如图，在中，对角线与相交于点O，的平分线交于点E，F为的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5
7. 数形结合是我们解决数学问题常用思想方法．如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 安全教育是学校的生命线．某学校政教处举行了主题为“安全教育”的手抄报评比活动，设置了“交通安全”“消防安全”和“校园安全”三个主题内容．小刚与小颖参加活动选中的主题不相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴上，点A的坐标为，点E为边的中点，将沿折叠，点C落在x轴上的点F处，则点F的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10. 小帅同学在“探究通过导体的电流与其两端电压的关系”时将记录的实验数据通过整理作出了如图所示的图象，则下列说法错误的是（ ）
A. 甲、乙两图象均为正比例函数图象
B. 当在导体乙的两端加上1V的电压时，通过乙导体的电流为0.2A
C. 在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比
D. 依据图象可得：导体电阻分别为，
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 一支工程队每天修路a米，则b天可修路______米．
12. 若，则______．
13. 2025年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”对应蛇，其古文“巳”是蛇的形象表达（如图）．在对某地区初中学生进行的一次关于传统文化知识的调查中，随机抽查了300名学生，其中知道上述传统文化知识的学生有200名，若该地区共有初中学生6000名，据此样本估计，该地区知道上述传统文化知识的初中学生大约有______名．
14. 如图，在矩形中，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点E，过点B作的切线交于点G，切点为点F，则图中阴影部分的面积为______．
15. 边长为的等边三角形内接于，长度为2的线段绕点C在平面内旋转．当点D落在上时的长为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算或化简
（1）计算：；
（2）化简：．
17. 校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质（卫生、口味等）进行了抽样调查．相同条件下，随机抽取了两家公司的套餐各7份样品，对套餐的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两家公司套餐得分的统计图表．
甲、乙两家配餐公司套餐得分表
甲、乙两家配餐公司套餐得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______；
（2）从方差的角度看，______公司套餐的得分较稳定．（填“甲”或“乙”）
（3）你认为哪家公司套餐品质较好？请说明理由．
18. 如图，菱形的四个顶点都在格点上，反比例函数的图象经过点A．
（1）求这个反比例函数的表达式．
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．
（3）将菱形向右平移4.5个单位时，对角线的中点所在的反比例函数的解析式为______．
19. 如图，在中，．
（1）在上方求作一点D，使，且．（要求：请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）连接．求证：四边形为矩形．
20. 古代纺纱工具——手摇纺车，据推测出现在战国时期，常见由木架、锭子、绳轮和手柄四部分组成，常见的手摇纺车是锭子在左，绳轮和手柄在右，中间用绳弦传动，称为卧式（如图1）．另一种手摇纺车，则是把锭子安装在绳轮之上，也是用绳弦传动，称为立式（如图2）．卧式由一人操作，而立式需要两人同时配合操作，因卧式更适合一家一户的农村副业之用，故一直沿习流传至今．
某数学实践小组对卧式手摇铲车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图3），木架水平放置．即绳轮与水平面相切于点，线绳绕过绳轮汇聚于点处放置的锭子上，即线绳与相切于点，过切点的直径与交于点（图中点在同一平面内）．

（1）求证：．
（2）该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心与处锭子之间的水平距离在之间时，纺线较为舒适．若，，请判断该纺车纺线时是否舒适并说明理由．（参考数据：）
21. 2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格；
（2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？
22. 如图，将球从点O的正上方的点A处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．
（1）若当小球运动的水平距离为时，小球能达到最大高度，则小球达到的最大高度为______m．
（2）若小球达到的最大高度为，求此时小球运动的水平距离．
（3）在（2）的条件下，在小球的正前方（）处放一个截面为长方形的球筐，其中为，为．小明说小球能落入筐中，请判断他的说法是否正确．若正确，请直接写出小球落在筐底处的点的坐标；若不正确，请说明理由．（不考虑其它因素）
23. 综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形．
（1）定义理解
请在下面如图1所示的网格中确定两点C和D，使四边形为对等垂美四边形，且C和D均在格点上．（画出一种即可）
（2）深入探究
如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点O，且，．将绕点O顺时针旋转（）．B、C的对应点分别为、．如图3．请判断四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由．（仅就图3的情况证明即可）
（3）拓展运用
在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，直接写出点到的距离．
2025年春期九年级调研测试
数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 比小1的数是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数减法的运算，根据题意得，计算结果即可．
【详解】解：由题意得：，
即比小1的数是；
故选：A．
2. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，打陀螺是一项深受各民族群众喜爱的体育运动，如图是一个水平放置的木陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体）玩具，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从正面看到的图形是一个等腰三角形，和一个矩形，并且矩形在等腰三角形的正中间，即看到的图形如下：
，
故选：A．
3. 据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于10时，n是负数，由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：100亿，
故选：C．
4. 一把直尺和一个含角的三角板按如图所示方式叠合在一起，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角的和差关系，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
直接利用“两直线平行，同位角相等”结合平角即可求解．
【详解】解：如图：由题意得：，
，
∵，
∴ ，
∵，
，
故选：B．
5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A. 1B. -1C. 4D. -4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，先把方程化为一般式得到，再利用根的判别式解关于的方程即可．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【详解】解：由题意，可知，则0，解得，
故选：B．
6. 如图，在中，对角线与相交于点O，的平分线交于点E，F为的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】取的中点G，连接，在中，根据，是的平分线，可得，即得，根据三角形中位线的性质可得，，根据即可求出答案．
【详解】解：取的中点G，连接，
在中，，
，
又是的平分线，
，
，
，
O是的中点，F为的中点，
，，
G是的中点，F为的中点，
，，
，
O，F，G在同一条直线上，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
7. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论．
【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方，
所以关于x的不等式的解集是，
所以在数轴上表示的解集，只有选项C符合．
故选：C．
8. 安全教育是学校的生命线．某学校政教处举行了主题为“安全教育”的手抄报评比活动，设置了“交通安全”“消防安全”和“校园安全”三个主题内容．小刚与小颖参加活动选中的主题不相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．本题共有9种可能的结果，其中小刚与小颖他们两人选取不同主题的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把“交通安全”“消防安全” “校园安全”四个主题内容分别记为A、B、C，画树状图如下：
本题共有9种可能的结果，其中小刚与小颖他们两人选取不同主题的结果有6种，
小刚与小颖两人选取主题不相同的概率是，
故选：．
9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴上，点A的坐标为，点E为边的中点，将沿折叠，点C落在x轴上的点F处，则点F的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查图形与坐标、正方形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握图形与坐标、正方形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，，由折叠的性质可知，设，则有，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质及勾股定理可建立方程进行求解．
【详解】解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵点E为边的中点，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
设，则有，
∴，
由折叠的性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴；
故选B．
10. 小帅同学在“探究通过导体的电流与其两端电压的关系”时将记录的实验数据通过整理作出了如图所示的图象，则下列说法错误的是（ ）
A. 甲、乙两图象均为正比例函数图象
B. 当在导体乙的两端加上1V的电压时，通过乙导体的电流为0.2A
C. 在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比
D. 依据图象可得：导体电阻分别为，
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查函数图像的信息识别，准确理解题意是解题的关键．根据函数图像判断信息即可得到答案．
【详解】解：A．两图象均过原点，均为正比例函数图象，故A正确，不符合题意；
B．由图象可知，在导体乙两端的电压为1 V时，电流为0.1A，故B错误，符合题意；
C．甲、乙两图象都是过原点的直线，说明通过导体的电流与导体两端的电压成正比，故C正确，不符合题意；
D．甲导体的电阻为，乙导体的电阻为，故D正确，不符合题意．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 一支工程队每天修路a米，则b天可修路______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，理解“工作效率乘以工作时间等于工作量”是解题关键．
根据“工作效率乘以工作时间等于工作量”即可列代数式．
【详解】解：每天修路a米，则b天可修路米，
故答案为：．
12. 若，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，涉及解二元一次方程组等知识，利用两式相加即可得到，整体代入即可得到所求代数式的值，熟悉二元一次方程组的解法及整体代入求代数式的方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
由得，则，
∴．
故答案为：4．
13. 2025年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”对应蛇，其古文“巳”是蛇的形象表达（如图）．在对某地区初中学生进行的一次关于传统文化知识的调查中，随机抽查了300名学生，其中知道上述传统文化知识的学生有200名，若该地区共有初中学生6000名，据此样本估计，该地区知道上述传统文化知识的初中学生大约有______名．
【答案】4000
【解析】
【分析】本题考查了利用样本估计总体，熟练掌握利用样本估计总体的方法是解题关键．利用该地区初中学生的总人数乘以知道上述传统文化知识的学生人数所占的百分比即可得．
【详解】解：（名），
所以据此样本估计，该地区知道上述传统文化知识的初中学生大约有4000名，
故答案：4000．
14. 如图，在矩形中，以点A为圆心，的长为半径作圆，交于点E，过点B作的切线交于点G，切点为点F，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质、切线的性质、三角函数及扇形面积，熟练掌握矩形的性质、切线的性质、三角函数及扇形面积公式是解题的关键；连接，由题意易得，，，然后可得，进而根据三角函数及割补法可进行求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形是矩形，，
∴，
∵过点B作的切线交于点G，切点为点F，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
；
故答案为：．
15. 边长为的等边三角形内接于，长度为2的线段绕点C在平面内旋转．当点D落在上时的长为______．
【答案】2或4
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，解直角三角形．分当点在上和点在上两种情况讨论，利用垂径定理求得半径为2，推出是等边三角形，据此求解即可．
【详解】解：当点在上时，连接，作，垂足为，连接，
∵，
∴，
∵等边三角形内接于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴点在半径上，
∴是线段的垂直平分线，
∴；
当点在上时，
同理，，
∴是等边三角形，
∴，
综上，的长为2或4．
故答案为：2或4．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算或化简
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，掌握实数和分式的运算法则是解题的关键．
（）根据负整数指数幂、算术平方根的定义、零指数幂分别计算，再合并即可求解；
（）根据分式的性质和运算法则计算即可求解；
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
17. 校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质（卫生、口味等）进行了抽样调查．相同条件下，随机抽取了两家公司的套餐各7份样品，对套餐的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两家公司套餐得分的统计图表．
甲、乙两家配餐公司套餐得分表
甲、乙两家配餐公司套餐得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______；
（2）从方差的角度看，______公司套餐的得分较稳定．（填“甲”或“乙”）
（3）你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由．
【答案】（1）90，96
（2）乙 （3）乙公司，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图，中位数与众数、方差，熟练掌握中位数和方差的意义是解题关键．
（1）根据中位数以及众数的定义求解即可．
（2）先利用方差公式求出方差，再根据方差的意义即可得；
（3）从中位数和方差的意义进行分析即可得．
【小问1详解】
解：乙公司套餐得分从低到高，处于最中间的是90，
故，
甲公司套餐得分出现次数最多的是96，
故．
【小问2详解】
解：甲公司套餐得分方差为：，
乙公司套餐得分方差为：，
，
乙公司套餐的得分较稳定；
【小问3详解】
解：甲、乙两家公司套餐得分的平均数相同，乙公司的稳定性较好，
选择乙公司套餐品质较好．
18. 如图，菱形的四个顶点都在格点上，反比例函数的图象经过点A．
（1）求这个反比例函数的表达式．
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．
（3）将菱形向右平移4.5个单位时，对角线的中点所在的反比例函数的解析式为______．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数解析式，画反比例函数解析式，平移的性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题关键．
（1）由图形可知，，再根据待定系数法求解即可；
（2）根据反比例函数解析式描点画图即可；
（3）先求出平移后的、坐标，进而得到对角线的中点坐标，再根据待定系数法求解即可．
【小问1详解】
解：由图形可知，，
反比例函数的图象经过点A，
，
，
这个反比例函数的表达式为．
【小问2详解】
解：当时，；
当时，；
当时，；
描点画图如下：
【小问3详解】
解：由图形可知，，，
菱形向右平移4.5个单位，
平移后的坐标，，
的中点坐标为，
设对角线的中点所在的反比例函数的解析式为，
，
解得：，
对角线的中点所在的反比例函数的解析式为．
19. 如图，在中，．
（1）在的上方求作一点D，使，且．（要求：请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）连接．求证：四边形为矩形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了基本作图，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握基本作图及矩形的判定是解题的关键．
（1）首先以点B圆心、长为半径画弧，然后作，与弧交于点D，则点D即为所求；
（2）连接，可证明，得到，再证明，即可得到四边形为平行四边形，最后结合，即可证明结论．
【小问1详解】
解：如图所示，点D即为所求作的点；
【小问2详解】
证明：连接，
由（1）知，，
又，
，
，
又，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形．
20. 古代纺纱工具——手摇纺车，据推测出现在战国时期，常见由木架、锭子、绳轮和手柄四部分组成，常见的手摇纺车是锭子在左，绳轮和手柄在右，中间用绳弦传动，称为卧式（如图1）．另一种手摇纺车，则是把锭子安装在绳轮之上，也是用绳弦传动，称为立式（如图2）．卧式由一人操作，而立式需要两人同时配合操作，因卧式更适合一家一户的农村副业之用，故一直沿习流传至今．
某数学实践小组对卧式手摇铲车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图3），木架水平放置．即绳轮与水平面相切于点，线绳绕过绳轮汇聚于点处放置的锭子上，即线绳与相切于点，过切点的直径与交于点（图中点在同一平面内）．

（1）求证：．
（2）该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心与处锭子之间的水平距离在之间时，纺线较为舒适．若，，请判断该纺车纺线时是否舒适并说明理由．（参考数据：）
【答案】（1）证明见解析
（2）该纺车纺线时不舒适．理由见解析
【解析】
【分析】（1）由和为的切线，得到，在四边形中得到，再由，即可得到；
（2）过点分别作于点，于点，则四边形是矩形，在中和在中，由三角函数求出的长，最后由即可得到答案．
【小问1详解】
证明：和为的切线，
，
，
在四边形中，
，
，
又，
；
【小问2详解】
解：该纺车纺线时不舒适，理由如下：
过点分别作于点，于点，如解图所示，则四边形是矩形，
，
，
由题意得：，
中，，
，，
，
在中，，
，
，
，
该纺车纺线时不舒适．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，切线的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，切线的性质，添加适当的辅助线是解题的关键．
21. 2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格；
（2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？
【答案】（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元
（2）购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，正确建立方程和熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
（1）设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同建立方程，解方程，并进行检验即可得；
（2）设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵，先求出，再根据费用与价格、棵数的关系建立与的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得．
【小问1详解】
解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元．
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
【小问2详解】
解：设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵，
∵要求购买时，甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，
∴，
∴，
由题意得：，
∵一次函数中的，
∴在内，随的增大而增大，
∴当时，的值最小，
此时，
答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少．
22. 如图，将球从点O的正上方的点A处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．
（1）若当小球运动的水平距离为时，小球能达到最大高度，则小球达到的最大高度为______m．
（2）若小球达到的最大高度为，求此时小球运动的水平距离．
（3）在（2）的条件下，在小球的正前方（）处放一个截面为长方形的球筐，其中为，为．小明说小球能落入筐中，请判断他的说法是否正确．若正确，请直接写出小球落在筐底处的点的坐标；若不正确，请说明理由．（不考虑其它因素）
【答案】（1）
（2）小球达到的最大高度为时，小球运动的水平距离为
（3）小明的说法正确，坐标为
【解析】
【分析】本题考查二次函数最值，待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量值．
（1）根据题意求出，再将代入中求出，再利用最值公式即可求出；
（2）根据题意求出，继而得到本题答案；
（3）先将代入中得：，再将代入中得：，即可得到小球能落入筐中，并令即可求出本题答案．
【小问1详解】
解：∵当小球运动的水平距离为时，小球能达到最大高度，
∴，解得：，
∵将球从点O的正上方的点A处发出，
∴将代入中得：，
∴，
∴小球达到的最大高度为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵小球达到的最大高度为，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
答：小球达到的最大高度为时，小球运动的水平距离为；
【小问3详解】
解：判断：小明说法正确，理由如下：
由（2）得：，
∵，
∴将代入中得：，
∵为，
∴，
∴将代入中得：，
∵，
∴小球能落入筐中，
∴小明说法正确，
令，即：，解得：，
∴坐标为．
23. 综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形．
（1）定义理解
请在下面如图1所示的网格中确定两点C和D，使四边形为对等垂美四边形，且C和D均在格点上．（画出一种即可）
（2）深入探究
如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点O，且，．将绕点O顺时针旋转（）．B、C的对应点分别为、．如图3．请判断四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由．（仅就图3的情况证明即可）
（3）拓展运用
在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，直接写出点到的距离．
【答案】（1）见解析 （2）四边形对等垂美四边形，理由见解析
（3）3或
【解析】
【分析】本题主要考查复杂作图，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，正确理解“对等垂美四边形”的定义是解答本题的关键．
（1）根据“对等垂美四边形”的定义作图即可；
（2）连接，交于点，设与交于点，证明得，，再证明即可得出结论；
（3）分是直角和为直角两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：如图，四边形即为所作的对等垂美四边形；
【小问2详解】
是，理由如下：
解：连接，交于点，设与交于点，
由题意知，，，，
∴，
即
在和中，
∴
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴在四边形中，，，
∴四边形是对等垂美四边形
小问3详解】
解：当是直角时，点与点重合，如图，
∴点到的距离即为，
∵，
∴点到的距离为3；
当直角时，如图，
∵，，
∴，
设点到的距离为，
∴，即，
∴，
综上，点到的距离为3或．
1
2
3
4
5
6
7
甲公司套餐
70
85
86
88
95
96
96
乙公司套餐
80
84
86
90
90
92
94
平均数
中位数
众数
甲公司套餐
88
88
b
乙公司套餐
88
a
90
1
2
3
4
5
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甲公司套餐
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乙公司套餐
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平均数
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众数
甲公司套餐
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乙公司套餐
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