江苏省苏州市昆山中学、震川中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省苏州市昆山中学、震川中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试用时120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用三角函数的定义求得，再由求解.
【详解】因为角的始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，
所以，
所以，
故选：C
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
3. 已知，，则的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】
所以 ，选D.
4. （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角的商数关系、辅助角公式、两角和的余弦公式及二倍角公式化简即可得答案.
【详解】
.
故选：A.
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】证明，求出，根据即可求解.
【详解】，
，
，，
故选：
6. 已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件：
【答案】B
【解析】
【分析】以为整体，结合正弦函数对称性解得，进而根据包含关系分析充分、必要条件.
【详解】若存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，
因为，且，则，
则，解得，
又因为是的真子集，
所以“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
7. 已知函数，将其图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．的顶点都是与图象的公共点，则面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用三角函数平移的性质得到的解析式，从而作出的部分图像，联立的方程求得的坐标，再结合图像即可得到的高为，其底边最短时为，从而得解.
【详解】因为将的图象向左平移个单位长度，得到函数，
所以，故的部分图像如下，
，
不妨记的图像在轴正半轴的交点依次为，在轴负半轴的第一个交点为，
由三角函数的性质易得，即的高是一个定值，其值为到的距离，
联立，得，即，
则，即，故，所以，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
所以，
因此要使得面积最小，只需使得的底边最短即可，
显然是与图象的公共点中，作为的底边时，长度最小的边长之一，此时，
所以.
故选：B.
8. 已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件得出周期的范围，即得的范围，由得函数图象的一个对称中心是，则，结合的范围可得答案.
【详解】函数的最小正周期为，则，
在区间上恰好存在两条对称轴，，
所以，即，解得，
因为，所以，
所以点是函数图象的一个对称中心，
则，得，即，
因，则，且随的增大而增大，
当时，，当时，，
则的最大值为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列式子化简正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式的逆用可判断选项A；利用辅助角公式可判断选项B；利用诱导公式及二倍角正弦公式可判断选项C；利用及两角差的正切公式可判断选项D.
【详解】对于选项A：因为
，故选项A错误；
对于选项B：
，故选项B正确；
对于选项C：因，故选项C正确；
对于选项D：因为，故选项D错误.
故选：BC.
10. 已知实数满足，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由条件变形即可得；对于B，由条件得x的范围，进而构造三角函数求值域即可得；对于C，分析与大小，作差即可得；对于D，通过余弦函数单调性质比较大小即可得.
【详解】对于A，因为，得，即，A正确；
对于B，，因为，
得，，
，，B正确；
对于C，由B分析可知：，
，
，即大小不定，C错误；
对于D，由B，，，，
从而得，
在递减，，D正确.
故选：ABD.
11. 已知为上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（ ）
A. 为奇函数
B. 若的一个零点为，且，则
C. 在区间的零点个数为个
D. 若大于的零点从小到大依次为，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用奇函数的定义可判断A，利用奇函数的性质可判断B，数形结合作出函数的图象，通过交点个数可判断C，根据的图象确定大于的零点的取值范围即可判断D.
【详解】因为，
所以为奇函数，A正确；
假设，则，
此时，
所以当时，，
当时，，
当时，，则，
由于的零点为，所以，
所以，B正确；
当时，令，
大于零的零点为的交点，由图可知，
函数在有2个零点，
由于为奇函数，所以在有1个零点，
且，
所以在区间的零点个数为个，C错误；
由图可知，大于1的零点，，
所以，而，所以，D正确.
故选:ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数在一个周期内的图象如图所示．已知点是图象上的最低点，是图象上的最高点．记（均为锐角），______．
【答案】
【解析】
【分析】结合图象计算周期即可得出点坐标，然后计算，利用二倍角公式计算，最后利用两角和差的正切公式计算.
【详解】和在图象上，则，则，
则点的横坐标为，
因是图象上的最低点，则，
则
则，
则.
故答案为：.
13. 已知，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用两角和差的正弦公式将条件展开化简即得，再将化为，利用两角和差的余弦公式展开即可.
【详解】由
得
故答案为：
14. 若存在实数m，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时，__________．
【答案】
【解析】
【分析】以为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得，解不等式结合题意得，由此可得答案.
【详解】因为恒成立，
即恒成立，
若存在实数，使得上式成立，则，
则，
可得，可得，
解得，
由，
则取得最大值时，
此时
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以为变量，转化为存在性问题分析求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）若，均为锐角，满足，求．
（2）若，求；
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）根据诱导公式和倍角公式可得，结合题干分析求解；
（2）根据题意可得，结合两角和差公式运算求解.
【小问1详解】
因为，即，
则，
且，，均为锐角，则，
可得，解得，
所以.
【小问2详解】
因为，即，可得，
又因为，则，
可得，则，
所以.
16. 已知函数.
（1）求在上的单调递增区间；
（2）若，，求的值；
（3）请在同一平面直角坐标系上画出函数和在上的图象（不要求写作法）；并根据图象求曲线和的交点个数.
【答案】（1），
（2）
（3）作图见解析，交点个数为
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，由求出的取值范围，再利用正弦型函数的单调性可求得函数在上的单调递增区间；
（2）由已知条件求出的值，由同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角和的正弦公式可求得的值；
（3）作出两个函数在区间上的图象，可得出两个函数图象的交点个数.
【小问1详解】
因为，
当时，，
由可得，由可得，
所以，函数在上的单调递增区间为，.
【小问2详解】
因为，可得，
因为，则，
所以，，
因此，
.
【小问3详解】
当时，，
在同一平面直角坐标系上画出函数和在上的图象如下图所示：
由图可知，曲线和在上交点个数为.
17. 如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，，顶点A到河两岸的距离两点分别在两岸上，设.
（1）若，求养殖区域面积的最大值；
（2）现拟沿着养殖区域三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若，求观赏长廊总长的最小值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题可得，再利用基本不等式即得；
（2）由题可知，利用同角关系式可转化为，然后利用函数的单调性即求.
【小问1详解】
当时，，
所以，
又因为（当且仅当时等号成立），
所以，
于是，
因此，养殖区域面积的最大值为.
【小问2详解】
由题意，，
所以，
所以的周长，
其中.
设，则，
所以.
所以，
于是当时，，即，
因此，观赏长廊总长的最小值为.
18. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴方程；
（3）在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由题知，，求出从而得的值，将特殊点代入函数中求出，即可解决问题；
（2）根据函数伸缩变换与平移变换后的到新函数的解析式，根据函数解析式求对称轴即可；
（3）假设存在实数的值或取值范围满足题意，根据所给条件先由，得，再根据所给的角把范围求出来，根据范围的包含关系列出不等式解出即可.
【小问1详解】
由图可知，
，则，，
所以，.
所以，即
又，所以当时，，
所以.
【小问2详解】
将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得：，
再向右平移个单位长度得到：
，
令，，解得，，
所以函数的对称轴为，.
【小问3详解】
由，得，
由，得，
所以，
所以.
又，得，
所以.
由题可知，
得，解得，
所以存在，使得成立.
19. 定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为．
（1）记有序数对(1,－1)“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合；
（2）记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；
（3）已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）写出解析式，解方程即可；
（2）由题意求得，可分类讨论去掉绝对值符号，并化简函数式，然后作出函数的图象，结合函数图象可得结论；
（3）写出，利用辅助角公式得出（的值），然后利用二倍角的正切公式、商数关系化简函数式，利用函数单调性和不等式的性质得出其取值范围．
【小问1详解】
由题意，，，
，
又，所以或，即所求集合为；
【小问2详解】
由题意，则，
时，，
时，，
作出函数，的图象，如图，在和上递增，在和上递减，，，
由图象可知，时，函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点，
所以的范围是；
【小问3详解】
由题意，其中，，
易知时，，
，
，同理，
，
，
时，函数是增函数，因此，
从而，即．
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用新定义“伴随函数”得出函数的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数一般借助辅助角公式进行变形，即，其中，．