山东省滕州市实验高级中学2024−2025学年高一下学期第一次调研考试 数学试题（含解析）

这是一份山东省滕州市实验高级中学2024−2025学年高一下学期第一次调研考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量、，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
2．下列说法错误的是（ ）
A．零向量与任意向量都不平行
B．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量
C．平行向量就是共线向量
D．长度为0的向量叫做零向量
3．设，为不共线向量，，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（ ）
A．矩形B．梯形C．平行四边形D．菱形
5．已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（ ）
A．B．
C．(3，2)D．(1，3)
6．已知函数f(x)=cs2x−sin2x，则（ ）
A. f(x)在(−π2,−π6)上单调递减B. f(x)在(−π4,π12)上单调递增
C. f(x)在(0,π3)上单调递减D. f(x)在(π4,7π12)上单调递增
7．如图，等腰梯形中，，点E为线段中点，点F为线段的中点，则（ ）

A．B．
C．D．
8．已知定义在上的偶函数，对任意都有，当取最小值时，的值为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题不正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若与是共线向量，与 ⃗是共线向量，则与是共线向量
C．，则⊥
D．若与单位向量，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．若则
B．若，则
C．两个非零向量，若，则与反向
D．若，则存在唯一实数使
11．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数的单调增区间为
C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D．函数在上有2个零点，则实数的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量．若，则 ．
13．若，，则
14．如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．
(1)当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
16．已知向量满足，且.
(1)求；
(2)记向量与向量的夹角为，求.
17．如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
(1)若，求的值；
(2)设，，，，求的值；
18．设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
19．已知半圆圆心为O点，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)若，求与夹角的大小；
(3)试求点P的坐标，使取得最小值，并求此最小值．
参考答案
1．【答案】A
【解析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】，是充分条件的，但时，可以不共线，如，是不必要条件．
因此是充分不必要条件．
故选A．
2．【答案】A
【详解】解：模为的向量叫做零向量，规定：零向量与任意向量平行，长度为个单位长度的向量，叫做单位向量，故A错误，BCD正确．
故选A．
3．【答案】B
【详解】解：因为，，，
所以，
则关系式中正确的是，
故选B．
4．【答案】B
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 四边形一定是梯形．
故选B.
5．【答案】A
【详解】设顶点的坐标为
，，
且，
故选．
6．【答案】C
【解析】由二倍角公式可知f(x)=cs2x−sin2x=cs2x.
对于A选项，因为x∈(−π2,−π6)，所以2x∈(−π,−π3)，故函数f(x)=cs2x在(−π2,−π6)上单调递增，所以A选项不正确；
对于B选项，因为x∈(−π4,π12)，所以2x∈(−π2,π6)，故函数f(x)=cs2x在(−π4,π12)上不单调，所以B选项不正确；
对于C选项，因为x∈(0,π3)，所以2x∈(0,2π3)，故函数f(x)=cs2x在(0,π3)上单调递减，所以C选项正确；
对于D选项，因为x∈(π4,7π12)，所以2x∈(π2,7π6)，故函数f(x)=cs2x在(π4,7π12)上不单调，所以D选项不正确.故选C.
7．【答案】B
【详解】根据向量加法的三角形法则，.
因为点为线段BC的中点，则. 同理可得.
已知，.由；，
又因为，
所以.
将，代入可得：
把，代入上式：

故选B.
8．【答案】A
【详解】，
因为该函数为偶函数，
所以有，
因为，所以令，得，
即
由
，
当时，
，显然不符合这一条件；
当时，，
当时，取最小值，即
因此，
故选A．
9．【答案】AB
【详解】长度为1的所有向量都称之为单位向量，方向可能不同，故A错误;
因为零向量与任何向量都共线，当，与可以为任意向量，故B错误;
因为，则，即，
所以，所以⊥，故C正确;
若与单位向量，则，故D正确.
∴错误的是AB.
故选AB.
10．【答案】BC
【详解】解：定义A，若，因为零向量与任意向量共线，则当时，无法得出，故A错误；
对于B，因为，则，
设AC的中点为M，BC的中点为D，则，即，
所以点O为MD靠近点M的三等分点，所以点O到AC的距离是点D到AC距离的，
又BC的中点为D，所以点D到AC的距离是点B到AC距离的，
所以点O到AC的距离是点B到AC距离的，
所以，故B正确；
对于C，两个非零向量，若，
则，即，
所以，又，所以，所以与反向，故C正确；
对于D，根据平面向量共线定理得，当时，题设错误，故D错误.
故选BC.
11．【答案】ABD
【详解】由题意，
由图可知，则，解得，
所以，则，故A正确；
对于B，由，解得，
所以函数在单调递增，故B正确；
对于C，函数的图象向左平移个单位长度得，
又，故C错误；
对于D，，，
当时，，又有两个零点，
则，解得，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】/
【详解】由题意知：，解得.
13．【答案】
【详解】，解得，
则.
14．【答案】
【详解】由题知，中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，
所以为的中点，，
因为，
所以
,
因为，即
所以，当且仅当同向时取最大值，反向时取最小值，
所以的取值范围是．
15．【答案】(1).
(2)或.
【详解】（1）（1）如图，由向量的线性运算可知,

所以点P的坐标是.
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，或，
若，如图(1)，那么
，
即点P的坐标是.

同理，如果，如图(2)，那么点P的坐标是.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以.
因为向量满足，所以，所以.
所以.
（2）因为，
所以.
17．【答案】(1)；
(2)3.
【详解】（1）因，
所以，
又因为的中点，
所以，
所以，又，
所以；
（2）因，，，，
所以，，又因，
所以，
又因，，三点共线，
所以，即.
18．【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
19．【答案】(1)，，
(2)
(3)，最小值
【详解】（1）因为半圆的直径，由题易知：又，.
又，，则，，即.
（2）由（1）知，，，
所以.
设与夹角为，则，
又因为，所以，即与的夹角为.
（3）设，由（1）知，，，，
所以，
又因为，所以当时，有最小值为，
此时点的坐标为.