山西省晋中市经纬中学校2024-2025学年高一下学期调研考试 数学试题（含解析）

这是一份山西省晋中市经纬中学校2024-2025学年高一下学期调研考试 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 若，且，则， 若，则的值是， 设向量，则下列说法错误的是， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的定义即可求解.
【详解】由可得，
故，
故选：C
2. 已知函数，若为奇函数，则的值为（ ）
A. -2B. -1C. 0D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知，求出，再验证即可.
【详解】因为为定义在上的奇函数，
所以，解得，
则，
因为，
所以为奇函数，
所以符合题意.
故选：D.
3. 若，且，则（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦得到正切值，利用正切差角公式计算出答案.
【详解】因为，所以，
又，所以，
故，
所以.
故选：D
4. 已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ）
A. 1B.
C. 1或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】先根据向量平行求参数，再根据向量同向进行取舍.
【详解】因为与共线，所以，解得或.
若，则，，所以，所以与方向相反，故舍去；
若，则，，所以，所以与方向相同，故为所求.
故选：B
5. 若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件，结合同角三角函数关系式和二倍角公式，即可求解
【详解】因为，则，①
又因为，则，
故①式整理可得，，解得或（舍去），
故，所以．
故选：．
6. 为了得到函数的图象，只需要把函数上所有的点（ ）
A. 向右平移个单位，横坐标变为原来的倍
B. 向左平移个单位，横坐标变为原来的2倍
C. 横坐标变为原来的倍，向左平移个单位
D. 横坐标变为原来的2倍，向左平移个单位
【答案】A
【解析】
【分析】由，依据函数 的图象平移伸缩变换的规则逐一判定即可.
【详解】，向右平移个单位，，横坐标变为原来的倍，
可得
故选：A
7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 将的图象向左平移个单位后得到的函数的图象关于轴对称
D. 将的图象上每个点的横坐标缩小为原来的后得到的图象
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象得最小正周期，得，利用五点作图法求出，根据求出，可得B不正确；A不正确；再根据图象变换规律可得C正确；D不正确.
【详解】由图可知，则，则，，
由五点作图法可知，，即，故B不正确；
由，得，得，故A不正确；
由以上得，将的图象向左平移个单位后得到的函数是偶函数，其图象关于轴对称，故C正确；
将的图象上每个点的横坐标缩小为原来的后得到的图象，故D不正确.
故选：C
8. 如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（ ）
A. 转动后点距离地面
B. 第和第点距离地面的高度相同.
C. 转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的
D. 转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为
【答案】B
【解析】
【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断.
【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为：，
由题意得：，又，
即，故，，
所以
所以，
选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A错误；
选项B，因为 ，
，
所以，
即第和第点距离地面的高度相同，故B正确；
选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故C不正确；
选项D，令，则，
由，解得，
考虑第一圈时，点距离地面的高度不低于的时长，可得
当时，，当时，，
即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D错误；
故选：B.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设向量，则下列说法错误的是（ ）
A. 若与的夹角为钝角，则
B. 的最小值为9
C. 与共线的单位向量只有一个，为
D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，且不反向共线，得到不等式，求出；B选项，利用模长公式得到的最小值为3；C选项，求出，从而得到利用求出答案；D选项，利用模长公式得到方程，求出.
【详解】A选项，与的夹角为钝角，故且不反向共线，
则且，解得且，
综上，，A正确；
B选项，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为3，B错误；
C选项，，与共线的单位向量有2个，
为，C错误；
D选项，若，则，解得，D正确.
故选：BC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“，都有”的否定为“，使得”
B. 函数单调递增区间是
C. “”是“函数在区间单调递增”的充分不必要条件
D. 不等式对任意恒成立，则实数取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定可判断A选项；利用复合函数法可判断B选项；利用分段函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可判断C选项；利用二次不等式恒成立求出实数的范围，可判断D选项.
【详解】对于A选项，命题“，都有”的否定为“，使得”，故A正确；
对于B选项，函数是由函数和复合而成，
由于函数单调递增，解得，
所以函数的单调递增区间为，
故函数单调递增区间是，故B错误；
对于C选项，因，
所以，函数的增区间为，
若函数在区间单调递增，则，可得，
因为，
所以，“”是“函数在区间单调递增”的充分不必要条件，故C正确；
对于D选项，不等式对任意恒成立，
当时恒成立，合乎题意，
当时，则有，解得，
因此，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是，故D错误，
故选：AC.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 的周期为
C. 是的一个对称中心D. 在区间上单调递减
【答案】ABD
【解析】
【分析】先用倍角公式合并，再作出图象，利用图象性质进行判断.
【详解】，画出函数图象，如图所示：

根据图象，过最值点和零点的垂线都是对称轴，，
所以的图象关于直线对称，故A正确；
函数周期，故B正确；
，则是的一个对称轴，无对称中心，故C错误；
当时，，此时，且单调递减，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的图象恒过定点．若点在幂函数的图象上，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数的图象恒过定点，求出点的坐标，代入幂函数的解析式求出，再计算的值．
【详解】令，解得，此时，
所以指数函数的图象恒过定点；
因为点在幂函数的图象上，所以，解得，
所以，所以．
故答案为：．
13. 已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】取中点，根据题意，利用向量的线性运算可得，由三点共线可得，再利用基本不等式即可求解.
【详解】如图：
取中点，则，，
，
三点共线，，即，
，
当且仅当时，取等号.
故答案为：.
14. 若将函数的图象向右平移个单位得到图象，且图象过点，若关于的方程在上恰有一个实数解，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】化简函数，结合函数图象变换，得到，进而得到，根据题意，转化为在上恰有一个实数解，得到不等式，分类讨论，即可求解.
详解】由题意，函数，
函数的图像向右平移个单位得到，
因为图像过点，可得，
又因为，可得，所以，
又由关于的方程在上恰有一个实数解，
即在上恰有一个实数解，
因为，可得，
则满足，
可得，
若不存在时，则满足或，解得或；
若存在时，则，
当时，可得，解得，
当时，可得，此时不存在，
综上可得，的取值范围是.
【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知，，且．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式，可得答案；
（2）利用基本不等式中“1”的妙用，可得答案.
【小问1详解】
由，得，当且仅当时，等号成立．
故的最大值是3．
【小问2详解】
由，得，即．
，
当且仅当，即，时，等号成立．
故的最小值为．
16. 已知为坐标原点，，，.
（1）若三点共线，求实数的值；
（2）若点满足，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先表示出，，依题意，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）首先表示出的坐标，再根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得.
【小问1详解】
因为，，，
所以，，
又三点共线，所以，
所以，解得
【小问2详解】
因为，，
所以，，
所以，
所以
，
所以当时.
17. 已知函数，，是函数的零点，且的最小值为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，若，，求的值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式整理出，根据周期求得；(Ⅱ)根据解析式可求解出，；再利用同角三角函数关系求出，；代入两角和差余弦公式求得结果.
【详解】(Ⅰ)
的最小值为 ,即
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：

又 ，
【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型.
18. 已知函数是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）求的最小值；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的性质求出参数的值，再代入检验即可；
（2）利用基本不等式求出的最小值，即可求出的最小值；
（3）依题意可得不等式对任意恒成立，令，即可得到不等式对任意恒成立，参变分离可得对任意恒成立，结合对勾函数的性质求出，即可得解.
小问1详解】
函数的定义域为，
因为为偶函数，所以，
即，解得，
此时函数的定义域为，
且，
所以为偶函数，符合题意，
所以；
【小问2详解】
由（1）可得，
因为，，所以，当且仅当，即时等号成立；
所以，
即的最小值为，当时取得最小值；
【小问3详解】
由（1）可得，
则，
由不等式对任意恒成立，
即不等式对任意恒成立，
令，则，
所以不等式对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
因为函数在上单调递增，
所以当时取得最小值，
所以，即实数的取值范围为.
19. 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，人脸识别中检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，则曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离为.
（1）若，求AB之间的曼哈顿距离和余弦距离.
（2）已知，若.
①求；
②若动点满足，求围成封闭图形的面积.
【答案】（1），余弦距离.
（2）①；②200
【解析】
【分析】（1）利用曼哈顿距离和余弦距离的公式求解；
（2）①先利用余弦相似度求得，，再利用曼哈顿距离求解；②由求得动点围成的封闭图形是正方形求解.
【小问1详解】
解：；
故余弦距离为.
【小问2详解】
①因为；
所以；
因为，所以；
；
因为，则
；
；
，即；
②，则，
所以 动点围成的封闭图形是正方形，如图所示：
其边长为，故围成的面积为200.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于理解距离新定义，结合和角的正余弦公式求解.