甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分150分，考试时间120分钟答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某校为了解高三年级学生体重情况，从该年级1000名学生中抽取125名学生测量他们的体重进行分析．在这项调查中，抽取的125名学生的体重是（ ）
A. 总体B. 样本C. 总体容量D. 样本容量
【答案】B
【解析】
【分析】根据样本的定义即可求解.
【详解】抽取的125名学生的体重是样本，
故选：B
2. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设投影向量是，利用解出即可得出答案.
【详解】设投影向量是，则，所以，
即在上的投影向量是．
故选：D
3. 在中，为边上的中线，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的线性运算求解即可.
【详解】如图，
故选：C.
4. 已知向量，，.若、、三点共线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出向量，由题意可得，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为向量，，，
所以，，
因为、、三点共线，则，所以，，解得.
故选：C.
5. 关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的是（ ）
A. 某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查
B. 为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135
C. 若甲､乙两组数据的标准差满足则可以估计乙比甲更稳定
D. 若数据的平均数为，则数据的平均数为
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，根据普查的适用情形即可求解；
对于B，根据分层抽样的抽样比即可求解；
对于C，根据标准差的含义即可求解；
对于D，根据平均数的公式即可求解.
【详解】对于A，了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查，故A正确；
对于B，根据分层抽样抽样比可知，样本容量为，故B正确；
对于C，因为，所以甲的数据更稳定，故C不正确；
对于D，因为数据的平均数为，
所以，
所以数据的平均数为
，故D正确.
故选：C.
6. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ）
A. 正三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得.
【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上，
由，即的角平分线与边垂直，
所以三角形ABC形状一定是等腰三角形.
故选：B
7. 已知点与，点在直线上，且，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据题设有，设并应用线性关系的坐标表示列方程求点坐标.
【详解】令，由点直线上，，则，
所以，则，可得，
，则，可得，
所以点的坐标为或.
故选：D
8. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解.
【详解】取中点为，连接，显然，
所以
.
故选：A
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. [多选]下列命题中的真命题是（ ）
A. 若为非零向量，则与同向
B. 设，为实数，若，则与共线
C. 若，，则
D. 的充要条件是且
【答案】AC
【解析】
【分析】利用单位向量、共线向量、相等向量的定义逐项判断.
【详解】对于A，是与同方向的单位向量，A正确；
对于B，若，则，但与不一定共线，B错误；
对于C，由，得，长度相等且方向相同，由，得，的长度相等且方向相同，
因此，的长度相等且方向相同，则，C正确；
对于D，当且方向相反时，不成立，则且不是的充要条件， D错误.
故选：AC
10. 表示空气质量指数，的数值越小，表明空气质量越好.当的数值不大于100时称 空气质量为“优良”，大于100时称空气质量为“污染”，某地2022 年8月1日到20日数值的统计数据的折线图如下，则下列说法正确的是（ ）
A. 这20天中，有10天空气质量为“优良”，上旬的空气质量比中旬的好
B. 这20天中，空气质量最好的是 8月5日，最差的是 8月19日
C. 这20天的数值的中位数大于100
D. 这20天的数值中，上旬数值的方差小于中旬数值的方差
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据折线统计图一一分析即可判断；
【详解】由折线统计图可知不大于的有、、、、、、、、、日共天，
即有10天空气质量为“优良”，且上旬的空气优良的天数比中旬的多天，即上旬的空气质量比中旬的好，故A正确；
空气质量最好的是8月日，最差的是8月日，故B错误；
因为有天不大于，将数据从小到大排列，可知第个数接近，
第个数大于，且比第个数更远离，故中位数大于，故C正确；
由折线统计图可知上旬的数据的极差不超过，且数据比较集中，
中旬的数据极差大于，且数据比较分散，故中旬的方差更大，故D正确；
故选：ACD
11. 若的三个内角均小于，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】设，，，则，即为点到三点的距离之和，由费马点的性质可知当时，取得最小值，然后求解即可.
【详解】因为，，
设，，，
则
，
即为点到三点的距离之和，
则是等腰锐角三角形，如图：

由费马点的性质可知，
当点满足时，
点到三角形三个顶点的距离之和最小，
所以，
则的最小值是.
故选：AB
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】求出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值.
【详解】因为向量，，则，
因此，.
故答案为：.
13. 由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则_______
【答案】4
【解析】
【分析】利用方差的计算公式计算即可.
【详解】因为数据中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，可知前后两组数据的平均数不变，不妨设为，设没有变化的4个数与平均数差的平方和为，
所以.
故答案为：4
14. 已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为______．
【答案】-1
【解析】
【分析】先根据向量模长相关不等式得到，解出，设，，夹角为，将两边平方，得到，结合，求出，得到答案.
【详解】，故，
因为，所以，又，
所以，解得：，
不妨设，，夹角为，则，
两边平方得：，
即，解得：，
因为，所以，
故，夹角的余弦的最小值为-1.
故答案为：-1
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某单位为了了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下：
试回答以下问题：
（1）求抽取的10名退休职工问卷得分的均值和方差.
（2）10名退休职工问卷得分在与之间有多少人？这些人占10名退休职工的百分比为多少？
【答案】（1），
（2）6人，占
【解析】
【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式直接求解即可，
（2）由（1）直接计算和，再找在这之间的人数，从而可求出百分比
【小问1详解】
抽取的10名退休职工问卷得分的均值为
，
抽取的10名退休职工问卷得分的方差为
【小问2详解】
由（1）可得，
所以，，
所以10名退休职工问卷得分在与之间有6人，占的百分比为
16. 已知向量.
（1）当时，求实数的值；
（2）当时，求向量与的夹角的余弦值.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）由垂直关系向量坐标表示可解；
（2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得.
【小问1详解】
由题意可得，
因为，所以.
【小问2详解】
，
因为，所以，
所以，
所以，
即向量与的夹角的余弦值为.
17. 黔西一中为了提高学生对“黔西一中校史”的了解，举办了“知史爱校守初心”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）的整数分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本数据的第59百分位数；
（3）已知样本数据落在的平均数是52，方差是6；落在的平均数是64，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据直方图各区间的频率和为1列方程求参数；
（2）由百分位数的定义及直方图求第59百分位数；
（3）先确定区间、上的样本个数，再应用分层抽样中样本与总体的平均数和方差关系求总平均数和总方差.
【小问1详解】
由题意，解得；
【小问2详解】
由直方图知，前3组数的频率为
前4组数的频率为，
因此第59百分位数在第4组即区间上，设第59百分位数为x，
则，解得；
【小问3详解】
样本数据在区间的个数为，在区间上的个数为，
所以，
总方差为.
18. 在中，为的中点，在边上，交于，且，设．
（1）用表示；
（2），求；
（3）若在上，且设，若，求的范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案；
（2）由（1）及题目条件，结合两向量夹角余弦公式可得答案.
（3）设，结合及（1）可得，即可得答案.
【小问1详解】
因P,R,C共线，则存在使，
则，整理得.
由共线，则存在使，
则，整理得.
根据平面向量基本定理，有，
则.
【小问2详解】
由（1），，，
则，，.
则，
所以.
【小问3详解】
由（1）知，则.
由共线，设.
又.
则
.
因，则，则，
所以.
19. 给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第位古董的位次编号，记，那么与的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强．
（1）当时，求的所有可能取值；
（2）当时，求满足的的个数；
（3）现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值的差异量为，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值的差异量是否可能为？请说明理由．
（注：实数满足：，当且仅当时取“”号）
【答案】（1）0，2，4
（2）12 （3）不可能，理由见详解
【解析】
【分析】（1）利用列举法求的所有可能性结果，结合的定义运算求解；
（2）分析可知只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解；
（3）由题意可得：，，结合绝对值不等式的运算求解.
【小问1详解】
若时，则，且，
可得，
所以的所有可能取值为0，2，4.
【小问2详解】
若对调两个位置的序号之差大于2，则，
可知只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，
若调整两次两个连续序号：则有，共有3种可能；
若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：，共3组，
由（1）可知：每组均有3种可能满足，可得共有种可能；
所以的个数为.
【小问3详解】
不可能，理由如下：
设专家甲的排序为，记；
专家乙的排序为，记；
由题意可得：，，
因为，
结合的任意性可得，
所以专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量不可能为.
【点睛】方法点睛：1，对于（2）：利用转化法，将问题转为（1）中已知的结论；
2，对于（3）：结合绝对值不等式分析证明.分数
77
79
81
84
88
92
93
人数
1
1
1
3
2
1
1