安徽省马鞍山市2024−2025学年高一下学期阶段检测 数学A试题（含解析）

这是一份安徽省马鞍山市2024−2025学年高一下学期阶段检测 数学A试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知空间中三个不同的点A，B，C，则下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
3．在等边中，向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知点O在所在平面内，满足，则点M是的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
5．已知向量，若与共线，则m＝（ ）
A．－1B．3C．1或－3D．－1或3
6．已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A．8B．C．D．
7．下列说法中正确的是（ ）
A．在中，，若，则为锐角三角形；
B．已知点O是平面上的一个定点，并且A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的外心；
C．已知与的夹角为锐角，实数的取值范围是
D．在中，若，则与的面积之比为
8．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（ ）
A．若P为的重心，则B．若P为的外心，则
C．若P为的垂心，则D．若P为的内心，则
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列说法中正确的有（ ）.
A．若，则有两组解
B．在中，已知，则是等边三角形
C．若，则直线AP一定经过这个三角形的外心
D．若为锐角三角形，则，且
11．设锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的外接圆的面积是
C．的面积的最大值是D．的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量、满足，，，则 ．
13．已知，则与垂直的单位向量的坐标为 ．
14．已知是边长为4的等边三角形，P是平面ABC内一点，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设是不共线的两个向量．
(1)若，证明：A，B，C三点是否共线；
(2)若与共线，求实数k的值．
16．如图，在正方形ABCD中，和AC相交于点G，且F为线段AG上一点（不包括端点），若，求的最小值．
17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且，
(1)求A的值；
(2)若，求周长的最大值；
(3)设内角A的平分线交BC于点D，，求面积的最小值.
18．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求B的大小；
(2)若，求外接圆的半径；
(3)若点M在线段AC上，，求的最小值．
19．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
(1)记向量的相伴函数为，向量的相伴函数为.若与垂直时，求与平行的单位向量；
(2)设函数的相伴特征向量为，函数的相伴特征向量为，求出的面积；
(3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，角A，B，C所对的边分别为，若点G为该的外心，求的最小值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】，故A错误；，故B错误；
，故C正确；，故D错误.
故选C.
2．【答案】B
【详解】对于选项A，虽然，但方向不同不满足向量相等的条件，所以与不相等.
对于选项B，与方向相同，并且由于， 所以.
对于选项C：与方向不同，所以与不相等.
对于选项D：与方向不同，所以与不相等.
与相等的向量为.
故选B.
3．【答案】A
【详解】在等边中，，而向量与的夹角是将它们的起点平移到同一点后所形成的角，
这个角与互补，
所以向量与的夹角为.，
故选A.
4．【答案】D
【详解】设为的中点，因为，
所以，
所以所在直线经过的中点，
同理可得分别与边的中线共线，
所以点M是的重心.
故选D.
5．【答案】D
【详解】因为，与共线，所以，
解得或.
故选D.
6．【答案】C
【详解】因为，所以，
所以在上的投影向量为.
故选C.
7．【答案】D
【详解】对于A，因为，即，所以，所以角为钝角，故A错误；
对于B，由，得，
所以，
所以在边的高线上，不一定经过外心，故B错误；
对于C，因为，所以，
当时，，此时与共线同向，夹角不是锐角，故C错误；
对于D，因为，所以，
延长交于，如图所示：

因为共线，所以存在实数，，
因为共线，所以，解得，
所以，所以，
所以，所以，则，故D正确.
故选D.
8．【答案】C
【详解】如图建立平面直角坐标系，，
对于A：若为的重心，则，
所以
若，则，解得，所以，A不正确；

对于B：若为的外心，其必在直线上，
所以，B错误；
对于C：若为的垂心，其必在上，设，
则，解得，
此时，
若，则，解得，所以，C正确；
对于D：若为的内心，设内切圆半径为，
则，得，则，
此时，
若，则，解得，所以，D不正确；
故选C.
9．【答案】BD
【详解】对于A，因为，所以共线，故A错误；
对于B，因为，所以不共线，故B正确；
对于C，因为，所以共线，故C错误；
对于D，因为，所以不共线，故D正确．
故选BD.
10．【答案】AD
【详解】对于选项A，由正弦定理得，所以，
因为，所以，所以有两组解，故选项A正确；
对于选项B，由及正弦定理得，
所以，
因为，所以，所以是等腰三角形，
无法判断是等边三角形，故选项B错误；
对于选项C，因为分别表示与同方向的单位向量，
所以表示与的角平分线共线的向量，所以直线AP一定经过这个三角形的内心，故选项C错误；
对于选项D，因为为锐角三角形，所以，所以，
因为，，所以，即，
同理可得，故选项D正确.
故选AD.
11．【答案】BCD
【详解】对于A项，因为，
所以，
所以，
又因为，所以，
又因为，所以，故A项错误．
对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，
则的外接圆的面积是，故B项正确．
对于C项，由余弦定理可得，即①．
因为②，当且仅当时，等号成立，
所以由①②得，当且仅当时，等号成立，
所以的面积，则C项正确．
对于D项，由正弦定理可得，
则，，
所以
是锐角三角形，，所以，
所以，所以，
所以，即的取值范围是，故D项正确．
故选BCD.
12．【答案】
【详解】由，，，得，
所以.
13．【答案】或
【详解】设与向量垂直的一个向量，
则，取，得，
则与向量共线的单位向量为，
所以与垂直的单位向量的坐标为或.
14．【答案】
【详解】以为轴，中垂线为轴建立平面直角坐标系，由已知有，设点，
则有，
所以，
所以，
当点时，等号成立.
所以的最小值为.
15．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）证明：由，
得，
，
因此向量与共线，且有公共点，
所以，B，C三点共线.
（2）由与共线得存在实数，使得，
即，而向量与不共线，则，解得，，
所以实数k的值为.
16．【答案】
【详解】由题可设，，
由题意可得，
因为三点共线，故，解得，所以，
因为，所以，又三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即，取等号.
故的最小值为．
17．【答案】(1)；
(2)6；
(3).
【详解】（1）在中，由及正弦定理得，
即，由余弦定理得，而，
所以.
（2）由（1）知，，而，
则，解得，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为6.
（3）由内角A的平分线交BC于点D，，得，
即，
因此，即，当且仅当时取等号，
则，所以面积的最小值为.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，
可得，
由正弦定理可得，
因为，所以，又因为，所以；
（2）由余弦定理可得，
因为，所以，
解得，所以，
所以外接圆的半径为；
（3）因为，，所以，
又，故，
所以，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为．
19．【答案】(1)或；
(2)；
(3).
【详解】（1）依题意，，由与垂直得，
，因此与平行的单位向量为，
所以与平行的单位向量为或.
（2）依题意，，
，则，，
所以的面积
.
（3）依题意
在中，由，得，而，则，
由正弦定理得的外接圆半径，
由点G为的外心，得，且，
，
由且，得，，
因此当，即时，，
所以的最小值为.