安徽省马鞍山市2024-2025学年高一下学期阶段检测A数学试卷（解析版）

这是一份安徽省马鞍山市2024-2025学年高一下学期阶段检测A数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知空间中三个不同的点A，B，C，则下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，故A错误；，故B错误；
，故C正确；，故D错误.
故选：C.
2. 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于选项A，虽然，但方向不同不满足向量相等的条件，
所以与不相等.
对于选项B，与方向相同，并且由于，所以.
对于选项C：与方向不同，所以与不相等.
对于选项D：与方向不同，所以与不相等.
与相等的向量为.
故选：B.
3. 在等边中，向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在等边中，，
而向量与的夹角是将它们的起点平移到同一点后所形成的角，
这个角与互补，所以向量与的夹角为.
故选：A.
4. 已知点O在所在平面内，满足，则点M是的（ ）
A. 外心B. 内心C. 垂心D. 重心
【答案】D
【解析】设为的中点，因为，
所以，所以所在直线经过的中点，
同理可得分别与边的中线共线，所以点M是的重心.
故选：D.
5. 已知向量，若与共线，则m＝（ ）
A. －1B. 3C. 1或－3D. －1或3
【答案】D
【解析】因为，与共线，所以，
解得或.
故选：D.
6. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以在上的投影向量为.
故选：C.
7. 下列说法中正确的是（ ）
A. 在中，，若，则为锐角三角形
B. 已知点O是平面上的一个定点，并且A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的外心
C. 已知与的夹角为锐角，实数的取值范围是
D. 在中，若，则与的面积之比为
【答案】D
【解析】对于A，因为，即，所以，所以角为钝角，故A错误；
对于B，由，得，所以，
所以在边的高线上，不一定经过外心，故B错误；
对于C，因为，所以，
当时，，此时与共线同向，夹角不是锐角，故C错误；
对于D，因为，所以，
延长交于，如图所示：
因为共线，所以存在实数，，
因为共线，所以，解得，
所以，所以，
所以，所以，则，故D正确.
故选：D.
8. 在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若P为的重心，则
B. 若P为的外心，则
C. 若P为的垂心，则
D. 若P为的内心，则
【答案】C
【解析】如图建立平面直角坐标系，，
对于A：若为的重心，则，
所以
若，则，解得，所以，A不正确；
对于B：若为的外心，其必在直线上，
所以，B错误；
对于C：若为的垂心，其必在上，设，
则，解得，
此时，
若，则，解得，所以，C正确；
对于D：若为的内心，设内切圆半径为，则，
得，则，，此时，
若，则，解得，所以，D不正确.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于A，因为，所以共线，故A错误；
对于B，因为，所以不共线，故B正确；
对于C，因为，所以共线，故C错误；
对于D，因为，所以不共线，故D正确．
故选：BD.
10. 下列说法中正确的有（ ）.
A. 若，则有两组解
B. 在中，已知，则是等边三角形
C. 若，则直线AP一定经过这个三角形的外心
D. 若锐角三角形，则，且
【答案】AD
【解析】对于选项A，
由正弦定理得，所以，
因为，所以，所以有两组解，故选项A正确；
对于选项B，由及正弦定理得，
所以，
因为，所以，所以是等腰三角形，
无法判断是等边三角形，故选项B错误；
对于选项C，因为分别表示与同方向的单位向量，
所以表示与角平分线共线的向量，所以直线AP一定经过这个三角形的内心，故选项C错误；
对于选项D，因为为锐角三角形，所以，所以，
因为，，所以，即，
同理可得，故选项D正确.
故选：AD.
11. 设锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的外接圆的面积是
C. 的面积的最大值是D. 的取值范围是
【答案】BCD
【解析】对于A项，因为，
所以，
所以，
又因，所以，
又因为，所以，故A项错误．
对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，
则的外接圆的面积是，故B项正确．
对于C项，由余弦定理可得，即①．
因为②，当且仅当时，等号成立，
所以由①②得，当且仅当时，等号成立，
所以的面积，则C项正确．
对于D项，由正弦定理可得，
则，，
所以
是锐角三角形，，所以，
所以，所以，
所以，即的取值范围是，故D项正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量、满足，，，则______．
【答案】
【解析】由，，，得，
所以.
13. 已知，则与垂直的单位向量的坐标为______．
【答案】或
【解析】设与向量垂直的一个向量，
则，取，得，
则与向量共线的单位向量为，
所以与垂直的单位向量的坐标为或.
14. 已知是边长为4的等边三角形，P是平面ABC内一点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】以为轴，中垂线为轴建立平面直角坐标系，
由已知有，设点，
则有，
所以，
所以
，
当点时，等号成立.
所以的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 设是不共线的两个向量．
（1）若，证明：A，B，C三点是否共线；
（2）若与共线，求实数k的值．
解：（1）证明：由，
得，
，
因此向量与共线，且有公共点，
所以，B，C三点共线.
（2）由与共线得存在实数，使得，
即，而向量与不共线，则，解得，，
所以实数k的值为.
16. 如图，在正方形ABCD中，和AC相交于点G，且F为线段AG上一点（不包括端点），若，求的最小值．
解：由题可设，，
由题意可得，
因为三点共线，故，解得，所以，
因为，所以，又三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即，取等号.
故的最小值为．
17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且，
（1）求A的值；
（2）若，求周长的最大值；
（3）设内角A的平分线交BC于点D，，求面积的最小值.
解：（1）在中，由及正弦定理得，
即，由余弦定理得，而，
所以.
（2）由（1）知，，而，
则，解得，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为6.
（3）由内角A的平分线交BC于点D，，
得，
即，
因此，即，当且仅当时取等号，
则，所以面积的最小值为.
18. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求B的大小；
（2）若，求外接圆的半径；
（3）若点M在线段AC上，，求的最小值．
解：（1）由，
可得
，
由正弦定理可得，
因为，所以，又因为，所以.
（2）由余弦定理可得，
因为，所以，
解得，所以，
所以外接圆的半径为.
（3）因为，，所以，
又，故，
所以，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为．
19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为，向量的相伴函数为.若与垂直时，求与平行的单位向量；
（2）设函数的相伴特征向量为，函数的相伴特征向量为，求出的面积；
（3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，角A，B，C所对的边分别为，若点G为该的外心，求的最小值.
解：（1）依题意，，
由与垂直得，
，因此与平行的单位向量为，
所以与平行的单位向量为或.
（2）依题意，，
，
则，，
所以的面积
.
（3）依题意，
在中，由，得，而，则，
由正弦定理得的外接圆半径，
由点G为的外心，得，且，
，
由且，得，，
因此当，即时，，
所以最小值为.