北京市清华大学附属中学望京学校2024−2025学年高一下学期3月质量监测 数学试题（含解析）

这是一份北京市清华大学附属中学望京学校2024−2025学年高一下学期3月质量监测 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题）
1．已知向量，，且，则实数等于
A．B．C．D．
2．在中,已知,则
A．6B．12C．6或12D．无解
3．在边长为3的等边三角形中，，则（ ）
A．B．C．D．
4．设向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．与的夹角为D．在方向上的投影为
5．在中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则的形状为
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
6．在直角梯形中，，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ）
A．B．C．D．
8．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图象上，则（ ）
A．，的最小值为B．，的最小值为
C．，的最小值为D．，的最小值为
10．已知向量，夹角为，||=2，对任意x∈R，有|+x|≥|-|，则|t-|+|t-|（t∈R）的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
11．设向量，若向量与向量共线，则实数 .
12．的角，，的对边分别为，，，若，则角的大小为 .
13．已知的内角，，的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为 ．
14．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的解析式为 ；对于满足的，的最小值等于 .
15．在等腰中，，，则 ；若点满足，则的值为 .
16．在直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），
①的取值范围是
②点经过的外心
③点所在轨迹的长度为2
④的取值范围是
则以上结论正确的是 ．（填写序号）
三、解答题（本大题共5小题）
17．已知向量
（1）求的坐标以及与之间的夹角；
（2）当为何值时，与垂直？
（3）当时，求的取值范围．
18．在中，.
(1)求A；
(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择了不合适的条件，则第（2）问记0分.
19．函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
(3)若函数的图象向右平移个单位得到函数，若为奇函数，求的最小值．
20．某中学新校区有一块形状为平面四边形的土地准备种一些花圃，其中A，B为定点，（百米），（百米）.
（1）若，（百米），求平面四边形的面积；
（2）若（百米）.
（i）证明：；
（ii）若，面积依次为，，求的最大值.
21．设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数．
（I）若，，写出，的值;
（Ⅱ）求的最大值;
（Ⅲ）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A．
参考答案
1．【答案】C
【详解】∵ 向量，
∴
∵
∴，即
∴
故选C.
2．【答案】C
【解析】根据正弦定理求得，再根据，得，可得，从而可得.
【详解】由正弦定理得.
因为，所以.
又因为，
所以或120°.
当时，；
当时，.
所以或.
故选C.
3．【答案】B
【详解】因为，则，又等边三角形的边长为3
则
故选B.
4．【答案】C
【详解】A.，即两个向量不满足平行的坐标公式，故错误；
B.，即不满足向量垂直的坐标公式，故错误；
C.，，所以夹角为，正确；
D.在方向上的投影为，故错误.
故选C.
5．【答案】B
【详解】∵，∴，，，整理得，∴三角形为直角三角形．
故选B．
6．【答案】C
【详解】由题意可求得，，
所以，
又，
则
.
故选C.
7．【答案】B
【详解】由题设，，
结合题设中的向量，显然只有，即一定共线.
故选B.
8．【答案】C
【详解】由，得，得，得(1，k)·(2，4)＝0，解得，
反之，当时，，所以，所以，
所以“”是“”的充要条件.
故选C.
9．【答案】A
【详解】点在函数上，所以，则,，
将,代入中可得,
，可得或，
由于，所以的最小值为．
故选A.
10．【答案】D
【详解】对任意x∈R，有|+x|≥|-|，两边平方得，则
即有，即，则
∵ 向量，夹角为，||=2
∴
∴
∴
设，，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，
∴，
∴它表示点与点、的距离之和的2倍
当三点共线时，取得最小值，即，故选D
点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数的最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解.
11．【答案】2
【详解】由题意，向量，可得，
因为向量与向量共线，所以，解得.
12．【答案】
【详解】解：在中由余弦定理可得，又
所以
.
13．【答案】
【详解】，由正弦定理可得 ，由余弦定理可得，，与，联立解得，，，则的面积，故答案为.
14．【答案】
【详解】的图象向右平移个单位后得：
函数＝＝，
由于，
所以，分别是f（x），g（x）最大值或最小值点的横坐标，
不妨设f（x1）是最大值，g（x2）是最小值，则x1＝， ，
由图象得的最小值为：
15．【答案】
【详解】解：
如上图，由题意等腰中，，则，
∵，，
∴，
∴，即，
∵由余弦定理得，
∴，即，又因边长，
∴.
∴是等边三角形，则，，
∵，
∴，，
∴
.
16．【答案】①②④
【详解】对①，由中为斜边，
可得，
又斜边，则||，则·，①正确；
对②，若O为AB中点，则＝，故
又sin2θ＋cs2θ＝1，所以O，P，C共线，故P在线段OC上，轨迹长为1，
又O是△ABC的外心，所以②正确，③错误；
对④，又＋＝2，则·(＋)＝2·＝－2||||，
又||＋||＝||＝1，则||||≤＝，
当且仅当||＝||＝时，等号成立，
所以·(＋)＝－2||||，④正确.
17．【答案】（1）， ；（2）；（3）
【详解】（1）因为，则；
设与之间的夹角为则，因为
故
（2）
因为与垂直，所以，则得
（3）由
因为，所以
所以
18．【答案】(1)或
(2)18
【详解】（1）因为，
则由正弦定理可得，
，
因为
所以
所以或.
（2）若选①，即，则，
所以，
所以，
则
，
由正弦定理得：
，
则存在且唯一确定，
面积为.
若选②，即，又，
所以，矛盾
所以②不成立；
若选③，
由，，，
得，
由余弦定理可得：，
当时，
得或舍；
当时，
得或舍；
此时存在但不唯一确定，所以不合题意.
19．【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
(3).
【详解】（1）由函数的部分图象知，最小正周期，解得，
函数，由，得，而，则，
所以.
（2）将向右平移个单位，得到，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
由，得，则当，即时，，
当，即时，，
所以在上的最大值为，最小值为.
（3）由（1）知，
由为奇函数，得，解得，
所以的最小值为.
20．【答案】（1）(平方百米)；（2）（i）证明见解析；（ii）最大值为（平方百米）.
【详解】（1）令，在中，由余弦定理可得：
即，解得：或（舍）
在中，，，所以，
在中，，，所以边上的高为，
所以，所以（平方百米）.
（2）（i）在中，
在中
所以，
所以.
故得证.
（ii）
所以
因为，
所以，可得
∴
所以时，，
即时取得最大值，且最大值为（平方百米）.
21．【答案】（1），；（2）4；（3），或.
【解析】（1）根据定义得到，，即可得到，的值；
（2）结合条件得到最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，
排除(2, 4) , (3，4)即可得到的最大值；
（3）假设，，根据定义可得或，进而得到A.
【详解】（1）根据条件所给定义，SA=15=5(1+2)=3(1+4)，故，
SB=24=4(1+5) =2(5+7)=2(1+11)=3 (1+7)，故.
（2）不妨设，因为，所以，不能整除，因为最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，而(2, 4) , (3，4)不满足题意，所以，当时，，所以的最大值为4 ；
（3）假设，由（2）可知，当取到最大值4时，均能整除，因，
故，所以，
设，则是的因数，
所以是的因数，且是的因数，因为，
所以，因为是的因数，所以，
因为是的因数，所以是的因数，
因为，所以，所以或，
故，或，
所以当取到最大值4时，故，或.