2022-2023学年北京市清华附中望京学校高一（下）开学数学试卷（2月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市清华附中望京学校高一（下）开学数学试卷（2月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合U={x∈N*|x≤5}，A={0,1,2,3}，B={2,3,5}，则A∩(∁UB)=( )
A. ⌀B. {1}C. {1,2}D. {2,3}
2.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A. y= xB. y=lnxC. y=(12)xD. y=x3
3.已知a>0，则a+4a+1的最小值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
4.已知sin(π3−α)=14，则cs(π3+2α)=( )
A. 58B. −78C. −58D. 78
5.已知下列命题：
①若a1b；
②若a>b>0，c③若ac2>bc2，则a>b；
④若a其中为真命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.“πa>πb”是“a>b”的一个( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.方程3lg2x=14的解为( )
A. 4lg32B. 2lg22C. (12)lg32D. (14)lg32
8.近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失．在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度x(单位：米)是影响疏散的重要因素．在特定条件下，疏散的影响程度k与能见度x满足函数关系：k=0.2,x<0.1,axb+1.4,0.1≤x≤10,1,x>10,(a,b是常数)
如图记录了两次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，b的值是( )
(参考数据：lg3≈0.48)
A. −0.24B. −0.48C. 0.24D. 0.48
9.已知函数f(x)=|x|x2+1.给出下面四个结论：
①f(x)的定义域是(−∞,+∞)；
②f(x)是偶函数；
③f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；
④f(x)的图像与g(x)=14的图像有4个不同的交点．
其中正确的结论是( )
A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②④
10.已知f(x−2)是偶函数，函数f(x)对任意x1，x2∈(−∞,−2]，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0成立，且f(0)=0，则f(x)>0的解集是( )
A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−2,2)
C. (−∞,−4)∪(0,+∞)D. (−4,0)
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数y=1lg2(x+1)的定义域为______．
12.向量是既有______又有______的量.共线向量______(是/不是)平行向量．
13.试写出函数f(x)，使得f(x)同时满足以下条件：
①定义域为[0,+∞)；
②值域为[0,+∞)；
③在定义域内是单调增函数．
则函数f(x)的解析式可以是 (写出一个满足题目条件的解析式)．
14.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与y轴相交于点P(0, 3)，如图是它的部分图象，若函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为π2，则f(π3)= ______．
15.设函数f(x)=12x2+2x+2,x≤0|lg2x|,x>0，若关于x的方程f(x)=m有四个不同的解，x1，x2，x3，x4，且x1三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知集合A={x|x2−x−2≤0}，B={x|x≥a}．
(Ⅰ)当a=1时，求∁RB，A∩B，A⋃B；
(Ⅱ)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2x−2 3sinxcsx+sin(x+π4)sin(x−π4)．
(1)求f(x)的最小值并写出此时x的取值集合；
(2)若x∈[0,π]，求出f(x)的单调减区间．
18.(本小题12分)
已知函数y=45sin(x2+π6)．
(1)试用“五点法”画出它的图象；
列表：
作图：

(2)从正弦曲线出发，如何通过图象变换得到函数y=45sin(x2+π6)的图象？(两种方法)
19.(本小题12分)
已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b2x+1+2是奇函数．
(1)求b的值；
(2)判断函数f(x)的单调性并证明；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)<0恒成立，求k的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(2ωx+π6)−2cs2ωx(ω>0)，x1，x2是方程f(x)=0的两个不相等的实根，且|x1−x2|的最小值为π．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若x∈[π6,m]，f(x)的值域是[−12,0]，求m的取值范围．
21.(本小题12分)
给定整数n≥3，由n元实数集合S定义其相伴数集T={|a−b||a,b∈S,a≠b}，如果min(T)=1，则称集合S为一个n元规范数集，并定义S的范数f为其中所有元素绝对值之和．
(1)判断A={−0.1,−1.1,2,2.5}、B={−1.5,−0.5,0.5,1.5}，哪个是规范数集，并说明理由；
(2)任取一个n元规范数集S，求证：|min(S)|+|max(S)|≥n−1；
(3)当S={a1,a2,…,a2023}遍历所有2023元规范数集时，求范数f的最小值．
注：min(X)、max(X)分别表示数集X中的最小数与最大数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵U={x∈N*|x≤5}，B={2,3,5}，
∴∁UB={1,4}，又A={0,1,2,3}，
∴A∩(∁UB)={0,1,2,3}∩{1,4}={1}．
故选：B．
由已知求得∁UB，再由交集运算得答案．
本题考查交集与补集的混合运算，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y= x，是幂函数，在区间(0,+∞)上单调递增，不符合题意，
对于B，y=lnx，是对数函数，在区间(0,+∞)上单调递增，不符合题意，
对于C，y=(12)x，是指数函数，在区间(0,+∞)上单调递减，符合题意，
对于D，y=x3，是幂函数，在区间(0,+∞)上单调递增，不符合题意，
故选：C．
根据题意，依次分析选项中函数的单调性，即可得答案．
本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵a>0，
∴a+4a+1≥2 a⋅4a+1=5，
当且仅当a=2时，等号成立；
故a+4a+1的最小值为5，
故选：D．
利用基本不等式求最值即可，注意“一正，二定，三相等”．
本题考查了基本不等式的应用，使用时要注意“一正，二定，三相等”，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由sin(π3−α)=14，
可得：cs(α+π6)=cs[π2−(π3−α)]=sin(π3−α)=14．
那么：cs(π3+2α)=cs2(π6+α)=2cs2(α+π6)−1=2×116−1=−78．
故选：B．
利用诱导公式和二倍角公式即可计算．
本题考查了诱导公式和二倍角公式的灵活运用！属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
利用举反例、不等式的性质、逐项判断即可．
本题考查命题真假的判断以及不等式的性质，属于基础题．
【解答】
解：对于①：取a=−1，b=1，此时1a<1b，故①错误；
对于②：若a>b>0，c−d>0，
所以−ac>−bd>0，所以ac对于③：若ac2>bc2，则必有c2>0，则a>b成立，故③正确；
对于④：若aa两边同时乘以b，由b<0可知：b2故选C．
6.【答案】C
【解析】解：∵y=πx在R上为增函数，
∴πa>πb⇔a>b，
∴πa>πb是a>b的一个充要条件，
故选：C．
利用指数函数的单调性，充要条件的定义判定即可．
本题考查了指数函数的单调性，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：方程3lg2x=14，两边取以3为底的对数，得lg2x=lg314，
故x=2lg314=2lg32−2=2−2lg32=(2−2)lg32=(14)lg32．
故选：D．
根据对数的运算性质计算即可得．
本题考查对数的运算，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数模型的运用，属于综合题..
分别代入两点坐标得a×0.1b=−1.2，a×10b=−0.4，两式相比结合对数运算得lg3=−2b，解出b值即可．
【解答】
解：当x=0.1时，a×0.1b+1.4=0.2⇒a×0.1b=−1.2①，
当x=10时，a×10b+1.4=1⇒a×10b=−0.4②，
①/②得0.1b10b=3⇒(1100)b=3，
∴10−2b=3，
∴lg3=−2b，b=−lg32≈−0.24．
故选：A．
9.【答案】D
【解析】解：对于①，∵x2+1>0，
∴f(x)=|x|x2+1的定义域为(−∞,+∞)，故①正确，
对于②，f(−x)=|−x|(−x)2+1=|x|x2+1=f(x)，且定义域关于原点原点对称，
故f(x)为偶函数，故②正确，
对于③，∵f(x)=|x|x2+1，
∴f(1)=12，f(2)=25，故③错误，
对于④，由题意可得，|x|x2+1=14，即x2−4|x|+1=0，
当x>0时，x2−4x+1=0，解得x1=2+ 3 或x2=2− 3，
当x<0时，x2+4x+1=0，解得x3= 3−2 或x4=− 3−2，
综上所述，f(x)的图像与g(x)=14的图像有4个不同的交点，故④正确．
故选：D．
对于①，由x2+1>0，即可求解，对于②，结合偶函数的定义，即可求解，对于③，结合特殊值法，即可求解，对于④，由题意可得，|x|x2+1=14，即x2−4|x|+1=0，分类讨论，解出x的值，即可求解．
本题主要考查函数的性质，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
10.【答案】D
【解析】解：因为f(x−2)是偶函数，
所以f(x−2)的图象关于y轴对称，则f(x)的图象关于直线x=−2对称，
又对任意x1，x2∈(−∞,−2]，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0成立，
所以函数f(x)在(−∞,−2]上单调递增，则在(−2,+∞)上单调递减，
则f(x)>0，即f(x)>f(0)，
则|x−(−2)|<|0−(−2|)|，即|x+2|<2，解得−4故选：D．
分析可知f(x)的图象关于直线x=−2对称，且函数f(x)在(−∞,−2]上单调递增，在(−2,+∞)上单调递减，由此可得解．
本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】(−1,0)∪(0,+∞)
【解析】解：函数y=1lg2(x+1)有意义，
可得x+1>0且lg2(x+1)≠0，
解得x>−1且x≠0，
则定义域为(−1,0)∪(0,+∞)，
故答案为：(−1,0)∪(0,+∞)．
函数y=1lg2(x+1)有意义，可得x+1>0且lg2(x+1)≠0，解不等式即可得到所求定义域．
本题考查函数的定义域的求法，注意运用对数的真数大于0和分式的分母不为0，考查运算能力，属于基础题．
12.【答案】大小 方向 是
【解析】解：向量是既有大小又有方向的量，共线向量是平行向量．
故答案为：大小，方向，是．
结合向量的概念，即可求解．
本题主要考查向量的概念与向量的模，属于基础题．
13.【答案】f(x)= x(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查函数的基本性质，注意常见函数的定义域、值域和单调性，属于基础题．
根据题意，由幂函数的性质分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，f(x)可以为幂函数，
如f(x)= x；
故答案为：f(x)= x(答案不唯一)．
14.【答案】− 3
【解析】解：由函数的最大值可知A=2，
因为函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为π2，
所以周期T=π，则2πω=π，解得：ω=2，
又函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与y轴相交于点P(0, 3)，
则f(0)= 3，即2sinφ= 3，sinφ= 32，
因为|φ|<π，
所以φ=π3或2π3，
根据五点作图法可得φ=2π3，
所以f(π3)=2sin(2×π3+2π3)=− 3．
故答案为：− 3．
由函数的最大值可知A，可求周期T=π，利用周期公式可求ω，由题意可求sinφ= 32，结合|φ|<π，根据五点作图法可得φ=2π3，可求函数解析式，即可求解．
本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了函数思想，属于中档题．
15.【答案】(0,2]
(0,15]

【解析】【分析】
本题主要考查方程的根与两函数的图象交点坐标之间的关系应用，以及函数单调性的应用，属于中档题．
作出函数f(x)的图象，由图象可知，0【解答】
解：作出函数f(x)的图象，
因为方程f(x)=m有4个不同的解，x1，x2，x3，x4，且x1又由图像可知，0即lg2x3+lg2x4=0，可得x3x4=1，
当|lg2x|=2，解得x=4或x=14.则1所以x1+x2x4+4x3x42=−4x4+4x4，(1令函数f(x)=4x−4x，(10在定义域1则函数f(x)在(1,4]上单调递增，∴0故答案为：(0,2] ；(0,15]．
16.【答案】解：(Ⅰ)因为集合A={x|x2−x−2≤0}={x|−1≤x≤2}，B={x|x≥a}，
当a=1时，B={x|x≥1}，
则∁RB={x|x<1}，A∩B={x|−1≤x≤2}，A⋃B={x|x≥−1}；
(Ⅱ)因为A∩B=⌀，则a>2，
则a的取值范围为{a|a>2}．
【解析】根据集合间的运算可分别求解．
本题考查集合的运算，属于基础题．
17.【答案】(1)由于f(x)=sin2x−2 3sinxcsx+sin(x+π4)sin(x−π4)=1−cs2x2− 3sin2x+ 22(sinx+csx) 22(sinx−csx)
=1−cs2x2− 3sin2x−cs2x2=12−( 3sin2x+cs2x)=12−2sin(2x+π6)，
令2x+π6=2kπ+π2，k∈Z，
解得x=kπ+π6，k∈Z，
可得f(x)的最小值为−32，此时x的取值集合为{x|x=π6+kπ,k∈Z}；
(2)由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，
可得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，
所以f(x)的单调减区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z，
因为x∈[0,π]，当k=0时，减区间为[0,π6]；
当k=1时，减区间为[2π3,π]．
综上，x∈[0,π]时的单调减区间为[0,π6]和[2π3,π]．
【解析】(1)通过各种公式(两角和差公式、倍角公式、积化和差公式等)转化，最终把函数的解析式转化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式，即可求出f(x)的最小值并写出此时x的取值集合．
(2)先求出f(x)的单调减区间，令k=0和k=1与x∈[0,π]取交，即可得出答案．
本题主要考查了和差角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)五点法列表如下：
图象如图所示：

(2)法(i)由正弦函数y=sinx的横坐标不变，纵坐标变为原来的45，可得y=45sinx，再向左平移π6个单位，可得y=45sin(x+π6)，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y=45sin(x2+π6)；
法(ii)由正弦函数y=sinx的横坐标不变，纵坐标变为原来的45，可得y=45sinx，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y=45sinx2，再将函数向左平移π3，可得y=45sin12(x+π3)=45sin(x2+π6).
【解析】(1)先由五点法列表，再画出函数的图象；
(2)法(i)先平移再伸缩，法(ii)先伸缩再平移可得函数的解析式．
本题考查三角函数的伸缩变换的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)根据题意，
因为f(x)在定义域为R上是奇函数，
所以f(0)=0，即b−12+2=0∴b=1；
(2)由(1)知f(x)=1−2x2+2x+1=−12+12x+1，
可得f(x)在(−∞,+∞)上为减函数．
理由：设x1函数y=2x在R上是增函数且x10，
又(2x1+1)(2x2+1)>0，
∴f(x1)−f(x2)>0即f(x1)>f(x2)
∴f(x)在(−∞,+∞)上为减函数．
(3)因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2−2t)+f(2t2−k)<0
等价于f(t2−2t)<−f(2t2−k)=f(k−2t2)，
因f(x)为减函数，由上式推得：t2−2t>k−2t2．
即对一切t∈R有：3t2−2t−k>0，
从而判别式△=4+12k<0⇒k<−13，
即k的取值范围是(−∞,−13).
【解析】本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，关键是求出b的值．
(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=0，即b−12+2=0，解可得b的值；
(2)有函数的单调性的定义，用作差法证明即可得答案；
(3)由奇函数与单调性的性质分析可得不等式：f(t2−2t)+f(2t2−k)<0等价于f(t2−2t)<−f(2t2−k)=f(k−2t2)，由减函数的性质可得3t2−2t−k>0，由二次函数的性质分析可得答案．
20.【答案】解：(1)f(x)=sin(2ωx+π6)−2cs2ωx
=sin2xcsπ6+cs2ωxsinπ6−cs2ωx−1
= 32sin2ωx−12cs2ωx−1=sin(2ωx−π6)−1
∵|x1−x2|的最小值为π，∴f(x)的最小正周期T=π=2π2ω，解得ω=1，
∴f(x)=sin(2x−π6)−1．
(2)由x∈[π6,m]，可得2x−π6∈[π6,2m−π6]，
∵f(x)的值域为[−12,0]，∴sin(2x−π6)∈[12,1]，
结合函数y=sinx图象可知，π2≤2m−π6≤5π6，∴π3≤m≤π2，
∴m的取值范围为[π3,π2].
【解析】(1)先把三角函数式化为最简形式，根据三角函数的性质求出ω的值，即可求函数f(x)的解析式．
(2)先求出2x−π6∈[π6,2m−π6]，再由f(x)的值域为[−12,0]得sin(2x−π6)∈[12,1]，最后结合正弦函数的图象即可解决．
本题主要考查三角函数解析式以及三角函数性质的考查，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．
21.【答案】(1)解：对于集合A={−0.1,−1.1,2,2.5}，因为|2.5−2|=0.5<1，
所以集合A不是规范数集；
对于集合B={−1.5,−0.5,0.5,1.5}，
|−1.5−0.5|=2，|−1.5−1.5|=3，|−0.5−0.5|=1，|−0.5−1.5|=2，|0.5−1.5|=1，
所以集合B相伴数集T={1,2,3}，即min(T)=1，
故集合B是规范数集．
(2)证明：不妨设集合S中的元素为x1因为S为规范数集，则∀i∈N*，1≤i≤n−1，则xi+1−xi≥1，且∃i0∈N*，1≤i0≤n−1，使得xi0+1−xi0=1，
当x1≥0时，则|min(S)|+|max(s)=|x1|+|xn|=x1+xn=(x2−x1)+(x3−x2)+⋅⋅⋅+(xn−xn−1)+2x1≥n−1+2x1≥n−1，
当且仅当xi+1−xi=1且x1=0时，等号成立；
当xn≤0时，|min(S)|+|max(s)=|x1|+|xn|=−x1−xn=(x2−x1)+(x3−x2)+⋅⋅⋅+(xn−xn−1)−2xn≥n−1，
当且仅当xi+1−xi=1且xn=0时，等号成立；
当x1<0，xn>0时，|min(S)|+|max(s)=|x1|+|xn|=−x1+xn=(x2−x1)+(x3−x2)+⋅⋅⋅+(xn−xn−1)≥n−1−2xn≥n−1，
当且仅当xi+1−xi=1时，等号成立；
综上所述，|min(S)|+|max(S)|≥n−1．
(3)解：不妨设a1因为S为规范数集，则∀i∈N*，1≤i≤2022，则ai+1−ai≥1，且∃i0∈N*，1≤i0≤2022，使得ai0+1−ai0=1，
所以对于Sj={aj,…,a2024−j}⊆S，同样有∀j∈N*，1≤j≤1011，则aj+1−aj≥1，
由(2)的证明过程与结论，|min(S)|+|max(S)|≥n−1可得，
|min(S)|+|max(S)|≥2024−2j，当且仅当aj+1−aj=1时，等号成立，
即|a1|+|a2023|≥2022，|a2|+|a2022|≥2020，⋅⋅⋅，|a1011|+|a1013|≥2，
所以范数f=|a1|+|a2|+…+|a2023|≥2022+2020+⋅⋅⋅+2+|a2012|=(2022+2)×10112+|a2012|
=1012×1011+|a2012|≥1012×1011，
当且仅当|a2012|=0时，等号成立，
所以范数f的最小值为1012×1011．
【解析】(1)根据n元规范数集的定义，只需判断集合A，B中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于等于1即可；
(2)利用n元规范数集的定义，得到xi+1−xi≥1，从而分类讨论x1≥0，xn≤0和x1<0，xn>0三种情况，结合取绝对值的方法即可证明；
(3)利用规范数集的定义和(2)的结论即可得解．
本题考查新定义的理解与运用，分类讨论的熟悉思想方法，属难题．x
12x+π6
sin(x2+π6)
y
x
−π3
2π3
5π3
8π3
11π3
12x+π6
0
π2
π
3π2
2π
sin(x2+π6)
0
1
0
−1
0
y
0
45
0
−45
0