2023届山东省烟台市德州市高三下学期高考诊断性测试（一模）数学试题附答案

这是一份2023届山东省烟台市德州市高三下学期高考诊断性测试（一模）数学试题附答案，共13页。
1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.若复数满足,则
A. B.2 C. D.3
2.已知集合,且,则
A. B. C. D.
3.在中,“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点,若点到轴的距离之和为,则的值为
A.1 B.2 C.3 D.4
5.新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点,近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下型号新能源汽车的耗电量(单位:)情况,随机调查得到了1200个样本,据统计该型号新能源汽车的耗电量,若,则样本中耗电量不小于的汽车大约有
A.180辆 B.360辆 C.600辆 D.840辆
6.由点射出的两条光线与分别相切于点A,B,称两射线PA,PB上切点右侧部分的射线和优弧AB右侧所夹的平面区域为的“背面”.若处于的“背面”,则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
7.已知等边的边长为2,D为$BC$的中点,为线段AD上一点,,垂足为,当时,
A. B. C. D.
8.高斯是德国著名的数学家,近代数学䒨鿊者之一,享有“数学王子”的美誉.函数称为高斯函数,其中表示不超过的最大整数,例如:,则方程的所有解之和为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.近年来,我国人口老龄化持续加剧,为改善人口结构,保障国民经济可持续发展,国家出台了一系列政策,如2016年起实施全面两孩生育政策,2021年起实施三孩生育政策等.根据下方的统计图,下列结论正确的是
2010至2022年我国新生儿数量折线图
A．2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万
B．2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万
C．2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势
D．2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差
10.已知函数的部分图象如图所示,则
A.的最小正周期为
B.当时,的值域为
C.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到的函数图象关于点对称
11.已知双曲线为坐标原点,过的右焦点作的一条渐近线的平行线交于点,交的另一条渐近线于点,则
A.向量在上的投影向量为
B.若为直角三角形,则为等轴双曲线
C.若,则的离心率为
D.若,则的渐近线方程为
12.已知,若直线与、图象交点的纵坐标分别为,且,则
A.B.C. D.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.展开式中含项的系数为_______.
14.某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成,每包产品均含有10个零件.小张到该企业采购,利用如下方法进行抽检:从该企业产品中随机抽取1包产品,再从该包产品中随机抽取4个零件,若抽取的零件都是一等品,则决定采购该企业产品;否则,拒绝采购.假设该企业这批产品中,每包产品均含1个或2个二等品零件,其中含2个二等品零件的包数占,则小张决定采购该企业产品的概率为________.
15.过点与曲线相切的直线方程为__________.
16.在三棱锥中,两两垂直,为棱上一点,于点,则.面积的最大值为_______；此时,三棱锥的外接球表面积为________..(本小题第一空2分,第二空3分）.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步步。
17.(10分)已知等比数列的各项均为正数,其前项和为,且成等差数列,.
(1)求数列的通项公式:
(2)设,求数列的前项和.
18.(12分)在锐角中,内角的对边分别为,且.
(1)求证:;
(2)若的角平分线交于,且,求面积的取值范围.
19.(12分)黄河鲤是我国华北地区的主要淡水养殖品种之一,其鳞片金黄、体形形长,尤以色泽鲜丽、肉质细嫩、气味清香而著称.为研究黄河鲤早期生长发育的规律,丰富黄河鲤早期养殖经验,某院校研究小组以当地某水产养殖基地的黄河鲤仔鱼为研究对象,从出卵开始持续观察20天,试验期间,每天固定时段从试验水体中随机取出同批次9尾黄河鲤仔鱼测量体长,取其均值作为第天的观测值(单位:),其中,.根据以往的统计资料,该组数据可以用Lgistic曲线拟合模型或Lgistic非线性回归模型进行统计分析,其中为参数.基于这两个模型，绘制得到如下的散点图和残差图：
(1)你认为哪个模型的拟合效果更好？分别结合散点图和残差图进行说明；
(2)假定,且黄河鲤仔鱼的体长与天数具有很强的相关关系.现对数据进行初步处理,得到如下统计量的值:,,其中,根据（1）的判断结果及给定数据,求关于的经验回归方程,并预测第22天时仔鱼的体长(结果精确到小数点后2位).
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为;参考数据:.
20.(12分)如图,在四棱棱中,底面为菱形,,为等边三角形.
(1)求证:;
(2)若二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.
21.(12分)在平面直角坐标系中,已知点到点的距离与到直线的距离之比为.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过点且斜率为的直线与交于两点,与轴交于点,线段的垂直平分线与轴交于点,求的取值范围.
22.(12分)已知,且0为的一个极值点.
(1)求实数的值;
(2)证明:①函数在区间上存在唯一零点;
②,其中且.