山东省烟台市、德州市2024届高三下学期高考诊断性考试数学试题及详细答案

这是一份山东省烟台市、德州市2024届高三下学期高考诊断性考试数学试题及详细答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．100B．110C．120D．130
3．若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则
A．1B．2C．3D．4
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）
A．3B．6C．10D．15
6．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若与所成的角相等，则
C．若，则
D．若，则
7．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，点，向量，且.若为椭圆上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知为复数，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则或
10．先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（ ）
A．B．
C．事件与事件相互独立D．
11．给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（ ）
A．存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．对任意，总存在，使得
D．对任意，总存在，使得
三、填空题
12．若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为 .
13．在三棱锥中，，且分别是的中点，，则三棱锥外接球的表面积为 ，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为 .
14．若函数在上佮有5个零点，且在上单调递增，则正实数的取值范围为 .
四、解答题
15．已如曲线在处的切线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
16．如图，在三棱柱中，，为的中点，平面.
(1)求证：；
(2)若，求二面角的余弦值.
17．联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛，决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分；抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分；两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别，乙答对两道题的概率分别为，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为，甲答对任意一题的概率为，乙答对任意一题的概率为，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立.
(1)在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率；
(2)在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率；
(3)若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束，求随机变量X的分布列及数学期望.
18．已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）.
(1)求证：直线与直线的斜率之积为定值.并求出该定值；
(2)过点分别作直线的垂线，垂足分别为，记的面积分别为，求的最大值.
19．如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆沿着轴正向无滑动地滚动，点为圆上一个定点，其初始位置为原点为绕点转过的角度（单位：弧度，）.
(1)用表示点的横坐标和纵坐标；
(2)设点的轨迹在点处的切线存在，且倾斜角为，求证：为定值；
(3)若平面内一条光滑曲线上每个点的坐标均可表示为，则该光滑曲线长度为，其中函数满足.当点自点滚动到点时，其轨迹为一条光滑曲线，求的长度.
参考答案：
1．A
【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图，利用交集的定义求解即得.
【详解】解不等式，得，即，
由，得，
所以图中阴影部分表示的集合为.
故选：A
2．C
【分析】利用二项式定理分别求出即可计算得解.
【详解】在中，，，
所以.
故选：C
3．B
【解析】由抛物线的定义转化即可求值.
【详解】因为点在抛物线上，即，所以，
故
故选：B
【点睛】本题考查由抛物线的定义转化求值问题，属于基础题.
4．C
【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.
【详解】由可得，
故，
故选：C
5．B
【分析】对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解.
【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，
所以不同放法的种数为.
故选：B
6．D
【分析】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故A错误，
对于B，与所成的角相等，则可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误，
对于C，，则可能垂直，但也可能平行或者相交或者异面，故C错误，
对于D，，则，D正确，
故选：D
7．A
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即得.
【详解】在上的奇函数满足，则，
于是，即函数的周期为4，
而，则，，又当时，，
所以.
故选：A
8．A
【分析】根据给定条件，求出点的轨迹，再借助三角代换及点到直线距离公式求出最小值.
【详解】设点，由及，得，
即，而，消去得：，
设椭圆上的点，
则点到直线的距离，其中锐角由确定，
当时，，而，所以的最小值为.
故选：A
【点睛】思路点睛：求出椭圆上的点与其相离的直线上点的距离最小值，可转化为求椭圆上的点到直线距离有最小值解决.
9．ABD
【分析】设出复数的代数形式，结合共轭复数的意义计算判断ABD；举例说明判断C.
【详解】设复数，
对于A，，A正确；
对于B，，，
，，B正确；
对于C，取，满足，而，C错误；
对于D，由，得，即，
则，即，
因此或，即或，D正确.
故选：ABD
10．BCD
【分析】列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义及条件概率的概率公式计算可得.
【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，，
则基本事件总数为，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共36种情况，
满足事件的有，，，，，，，，，
，，共种，其概率，故A错误；
满足事件的有，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共个，故；
满足事件的有，，共个，所以，故B正确；
满足事件的有，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共个，故，
满足事件的有，，， ，，，
，，，共个，所以，
所以事件与事件相互独立，故C正确；
满足事件的有，，，，，，，共种，
所以，则，故D正确.
故选：BCD
11．BC
【分析】由已知求出及范围判断AB；利用累加法结合错位相减法求和求出及范围判断C；求出及的范围判断D.
【详解】对于A，由，得，显然有最小值4，无最大值，
因此不存在，使得恒成立，A错误；
对于B，由选项A知，，则，
显然当时，恒成立，B正确；
对于C，由，得，
当时，
即，
于是，
两式相减得，
因此，显然满足上式，则，由，
得数列是递增数列，有最小值1，无最大值，
从而对任意，总存在，使得，C正确；
对于D，，由选项C得，
显然数列是递减数列，，因此对任意，不存在，使得成立，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
12．4
【分析】利用轴对称列式求出点关于直线的对称点的坐标，再代入圆方程即得.
【详解】依题意，点关于直线的对称点在圆上，
则，解得，因此点在圆上，
则，解得，
所以实数的值为4.
故答案为：4
13．
【分析】第一空作出辅助线，证明三三垂直，将三棱锥放入长方体中求解外接球半径即可，第二空利用体积相等求出内切球半径，再求比值即可.
【详解】如图，，且，故，
可得，则，取中点，连接，
则，又，面，可得面
又面，则，又分别是的中点，连接，则//
由题意得，故，，又，
面，故面，又，则，
可得，则两两垂直，
故以作长方体，如图所示，
则该长方体外接球即为所求三棱锥的外接球，连接，
其中点为所求外接球的球心，设其半径为，
可得，故，解得，而，
设该三棱锥内切球半径为，球心为，连接，
则，
可得，
故，
而，，，
易知是的中点，由，得，故得，
而由勾股定理得，则，
故可将一式化为，
解得，而半径比为，
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：本题考查内切球和外接球的半径问题，解题关键是构造出长方体，将三棱锥放入其中，然后求出外接球半径，得到面积，进而由体积关系转化得到所要求的内切球半径，再求比值即可．
14．
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得.
【详解】依题意，函数，由，得，
则或，
由，得，由在上恰有5个零点，
得，解得，
由，得，即函数在上单调递增，
因此，即，且，解得，
所以正实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求函数的单调区间时，可把看成一个整体，由求得函数的单调递减区间，由求得函数的单调递增区间．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据斜率关系，即可求导求解，
（2）求导判断函数的单调性，即可求解函数的最值求解.
【详解】（1）由于的斜率为，所以，
又,故，解得，
（2）由（1）知，所以，
故当时，单调递增，
当时，单调递减，
故当时，取最小值，
要使恒成立，故，解得，
故的取值范围为
16．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的判定、性质推理即得.
（2）由（1）的信息以为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即可.
【详解】（1）在三棱柱中，，则，
由，得，在中，，
由余弦定理，得，，
于是，由平面平面，得，
而平面，因此平面，又平面，
所以，
（2）由（1）知，两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，则，
于是，设为平面的一个法向量，
则，取，得，显然为平面的一个法向量，
因此，显然二面角的大小为锐角，
所以二面角的余弦值为.
17．(1)；
(2)；
(3)分布列见解析，.
【分析】（1）把得分之和大于100分的事件分拆，再利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算即得.
（2）甲获得15分的事件是甲抢到答正确与乙抢到答错的事件和，再列式求出概率.
（3）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望.
【详解】（1）两人得分之和大于100分可分为甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三种情况，
所以得分大于100分的概率.
（2）抢答环节任意一题甲得15分的概率.
（3）的可能取值为2，3，4，5，
由抢答任意一题甲得15分的概率为，得抢答任意一题乙得15分的概率为，
，，
，
，
所以的分布列为：
数学期望.
18．(1)证明见解析，；
(2).
【分析】（1）由已知求出双曲线，设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算即得.
（2）设出直线的方程，求出点的纵坐标，再建立面积积的函数关系，借助基本不等式求出最大值即得.
【详解】（1）令双曲线半焦距为c，依题意，，
由，解得，
则双曲线的方程为，显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去得，，，
设，则，
直线的斜率分别为，
所以.
（2）设直线的方程为，则直线的方程为，
由，得点的纵坐标，
用替换上式中的得点的纵坐标，
则
而，当且仅当时取等号，
因此，所以的最大值为.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.
19．(1)；
(2)证明见解析；
(3)8.
【分析】（1）根据给定条件，结合三角函数及弧长计算求解.
（2）利用复合函数的求导公式，求出切线斜率，再借助三角恒等变换推理即得.
（3）由（1）及给定信息，求出并确定原函数，再求出弧长即得.
【详解】（1）依题意，，则，
所以.
（2）由复合函数求导公式及（1）得，因此，
而
，
所以为定值1.
（3）依题意，.
由，得，则，于是（为常数），
则，
所以的长度为8.
【点睛】结论点睛：函数是区间D上的可导函数，则曲线在点处的切线方程为：.
2
3
4
5