高中数学人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的垂直第1课时精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的垂直第1课时精练，共5页。
A．α∥β，且m⊂α B．m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n⊂β D．m⊥n，且n∥β
2.在如图所示的正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合为点G，则有( )
A．SG⊥平面EFG B．EG⊥平面SEF
C．GF⊥平面SEF D．SG⊥平面SEF
3．(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法正确的是( )
A．MN∥平面ADD1A1 B．MN⊥AB
C．直线MN与平面ABCD所成角为45° D．异面直线MN与DD1所成角为60°
4.(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有( )
A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC
5.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是________．
6．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq \r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为________．
7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，AE⊥PC于E.给出下列四个结论：①AB⊥AC；②AB⊥平面PAC；③PC⊥平面ABE；④PC⊥BE.其中正确结论的序号是________．
8.如图，在四面体A-BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝eq \r(2).求证：BD⊥平面ACD.
9．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点．若AB＝BC＝BB1，∠ABC＝eq \f(π,2)，求CC1与平面BC1D所成角的正弦值．
10.如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝eq \f(1,3)DB，点C为圆O上一点，且BC＝eq \r(3)AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.
(1)求证：CD⊥平面PAB；
(2)求直线PC与平面PAB所成的角．
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8.6.2直线与平面垂直（第1课时） 答案
1．解析：B 在选项A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；在选项B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；在选项C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．
2.解析：A 由题意，得SG⊥FG，SG⊥EG，FG∩EG＝G，所以SG⊥平面EFG.
3．解析：ABC 如图，连接BD，B1C，AB1，A1D，由M为AC的中点，可得M为BD的中点，又N为A1B的中点，知MN∥A1D，而MN ⊄平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1，故A正确；在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面BCC1B1，则AB⊥B1C，∵M，N分别为AC，AB1的中点，则MN∥B1C，∴MN⊥AB，故B正确；直线MN与平面ABCD所成角等于B1C与平面ABCD所成角等于45°，故C正确；∵DD1∥BB1，∴MN与DD1所成角等于B1C与BB1所成角为45°，故D错误．故选ABC.
4.解析：ABC 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，可得BC⊥平面PAB，故A正确；由PA＝AB，D为PB的中点，可得AD⊥PB，而BC⊥平面PAB，AD⊂平面PAB，可得BC⊥AD，则AD⊥平面PBC，所以AD⊥PC，故B、C都正确；若PB⊥平面ADC，可得PB⊥CD，而BC⊥平面PAB，即有BC⊥PB，可得在平面PBC内，B与D重合，显然矛盾，故D错误．故选ABC.
5.解析：∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l，又BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l，又AB∩BC＝B，且AB，BC⊂平面ABC，∴直线l⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，故l⊥AC.
答案：l⊥AC
6．解析：由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角．在Rt△PAC中，tan∠PCA＝eq \f(PA,AC)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，∴∠PCA＝30°，即PC与平面ABCD所成的角为30°.
答案：30°
7.解析：在△ABC中，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，可得AC2＝1＋4－2×1×2×eq \f(1,2)＝3，即有AB2＋AC2＝BC2，可得AB⊥AC；由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，而PA∩AC＝A，可得AB⊥平面PAC；由AB⊥平面PAC，可得PC⊥AB，而AE⊥PC，又AB∩AE＝A，可得PC⊥平面ABE，即有PC⊥BE.
答案：①②③④
8.证明：取CD的中点为G，连接EG，FG(图略)．∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG∥BD.又E为AD的中点，AC＝BD＝2，∴EG＝FG＝1.∵EF＝eq \r(2)，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.
9．解：如图，过点C作CH⊥C1D于点H.∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC.∵BD⊂平面ABC，∴CC1⊥BD.
∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.又CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面ACC1A1.∵CH⊂平面ACC1A1，∴BD⊥CH.又CH⊥C1D，C1D∩BD＝D，∴CH⊥平面BC1D，∴∠CC1D为CC1与平面BC1D所成的角．
设AB＝2a，则CD＝eq \r(2)a，C1D＝eq \r(6)a，∴sin∠CC1D＝eq \f(CD,C1D)＝eq \f(\r(2)a,\r(6)a)＝eq \f(\r(3),3).
∴CC1与平面BC1D所成角的正弦值为eq \f(\r(3),3).
10.解：(1)证明：连接CO，由AD＝eq \f(1,3)DB知，点D为AO的中点．
又AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.由eq \r(3)AC＝BC，知，∠CAB＝60°，
所以△ACO为等边三角形，故CD⊥AO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC.又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD⊂平面PAB，AO⊂平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.
(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角．又△AOC是边长为2的正三角形，所以CD＝eq \r(3).在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝eq \r(3)，所以tan∠CPD＝eq \f(CD,PD)＝eq \f(\r(3),3)，∠CPD＝30°，即直线PC与平面PAB所成的角为30°.