湖南省长沙市部分学校2025届九年级下学期入学考试数学试卷(含解析)

这是一份湖南省长沙市部分学校2025届九年级下学期入学考试数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列图形不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．下列判断正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件
3．福建舰是我国首艘完全自主设计建造的电磁弹射型航空母舰，满载排水量8万余吨，数据80000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．若三个点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．一个圆锥的高是4cm，底面半径是3cm，那么这个圆锥的侧面积为（ ）
A．15cm2B．12cm2C．15πcm2D．12πcm2
7．在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）
A．B．
C．或D．或
8．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，为的直径，C，D为上两点，若，则等于（ ）
A．35°B．55°C．65°D．70°
10．已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
二、填空题
11．函数的自变量的取值范围是 ．
12．在一个不透明的盒子中装有个小球，它们只有颜色上的区别，其中有个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于，那么可以推算出大约是 ．
13．如图，在中，，点是和的角平分线的交点，则 ．
14．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为1．当时，的取值范围是 ．
15．已知中，，，则 ．
16．若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：
，从－1，2，3中选择一个适当的数作为x值代入．
19．如图，在中，，，以点为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接并延长交于点．
(1)求证：平分；
(2)若，求的周长．
20．“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

(1)请将条形统计图补充完整；
(2)在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人；
(3)甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
21．如图，在四边形中，，，为边上的一点，连接，；平分交边于点，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求的长．
22．卓越中学为贯彻落实国家教育方针，培养体格健康的新一代少年，每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用元购买了、两种体育器材共件作为奖品．已知一件种器材是一件种器材价格的倍，且购买种器材与购买种器材费用相同．
(1)求购买一件种器材、一件种器材各需多少元？
(2)若学校还需购买、两种器材共件，且种器材的数量不多于种器材数量的倍，问至少要花多少钱？
23．已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求直径的长．
24．定义为函数的特征数，若（为常数），我们将称为函数的系特征数．
(1)已知为函数的0系特征数，则该函数的解析式为________；
(2)若为函数的特征数，且对任意实数，该函数图像截直线所得的线段长度恒为，求直线的解析式；
(3)已知为函数的0系特征数，其中，一次函数和反比例函数的图像交于，两点，令，试确定的取值范围．
25．如图1，在中，点O是的中点，以点O为圆心，r为半径的半圆与相切于点P，点Q．点D是线段上的动点且不与点P、点C重合，过点D作圆O的切线交于点E，点F是切点．，的长度是关于t的一元二次方程的两根．
(1)求的值；
(2)如图2，连接线段，在D点的运动过程中，求的值；
(3)设，求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围（解析式中可以含有字母r）．
《湖南省长沙市雅礼系部分学校2024-2025学年九年级下学期入学考试数学试卷》参考答案
1．B
A、五角星沿着过其中心和每个角顶点的直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，有5条对称轴，是轴对称图形．
B、该图形找不到一条直线，使得图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形．
C、长方形沿着其对边中点的连线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，有2条对称轴，是轴对称图形．
D、等边三角形沿着过其顶点和对边中点的直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，有3条对称轴，是轴对称图形．
故选：B．
2．C
A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误，不符合题意；
B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误，不符合题意；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确，符合题意；
D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误，不符合题意．
故选C．
3．B
解：数据80000用科学记数法表示为．
故选：B．
4．D
解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
5．B
解：∵反比例函数，
∴反比例函数的两个分支分别在第一、三象限，
∴反比例函数随的增大而减小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
6．C
解：圆锥的母线长，
所以这个圆锥的侧面积＝×5×2π×3＝15π（cm2）．
故选C．
7．D
解：∵，相似比为，
∴点的对应点的坐标是，即或，即，
故选：．
8．A
解：由题意可得方程组为：
，
故选：A.
9．B
∵为的直径，
∴，
∵，∴，
∴.
故选B.
10．B
解：根据题意可得：，
，
，
即，
，
，
的值可正也可负，
不能确定的正负；故①错误；
，
抛物线开口向下，且关于直线对称，
当时，随的增大而减小；故②正确；
，
抛物线为，
，
，故③正确；
抛物线，
将向左平移1个单位得：，
抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误；
正确的有②③，
故选：B．
11．，且．
解：二次根式、分式要有意义，
，
解得：，且，
故答案为：，且．
12．10
由题意可得，，
解得，．
故估计大约有个．
故答案为：．
13．/135度
解：∵，
∴，
∵和平分和，
∴．
故答案为：．
14．或
解：由正比例函数和反比例函数的对称性得：点的横坐标为，
不等式表示的是正比例函数的图象位于反比例函数的图象的下方，
则的取值范围是或，
故答案为：或．
15．
解：如图，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
故答案为：．
16．6
解：∵m，n是一元二次方程的实根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：6．
17．
解：
．
18．，4．
解：
=，
∵当x+2≠0且x﹣2≠0，即x≠﹣2且x≠2时分式有意义，
∴取x=3，
当x=3时，原式==4．
19．(1)见解析
(2)的周长
（1）证明：连接，，
由作图知，，，
在与中，
，
，
，
平分；
（2）解：，，
，
平分；
，
，
，
，
，
的周长．
20．(1)见解析
(2)；．
(3)
（1）解：总人数为（人）
∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示，

（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，
选择A大学的大约有（人）
故答案为：；．
（3）列表如下，
共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．
21．(1)见解析；
(2)．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：如图，过点作于，
∵四边形是矩形
∴，，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（舍），，
∴．
22．(1)购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元
(2)元
（1）解：设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元；
（2）设学校还需购买件种器材，则还需购买件，
根据题意得：，
解得：．
设学校再次购买两种器材共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，最小值．
答：至少要花元钱．
23．(1)证明见解析
(2)6
（1）证明：如图所示，连接，
∵是切线，
∴，
∵的直径垂直于弦，
∴垂直平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
24．(1)
(2)直线的解析式为
(3)
（1）解：∵为函数的0系特征数，
∴，，，
∴，
∴函数解析式为，
故答案为：；
（2）解：∵为函数的特征数，
∴，
令，
∴，
∴，
∵二次函数图像截直线所得的线段长度恒为，
∴利用两点间的距离公式可得，
∴即对于任意的，恒成立，即，
解得：，
将代入上式可得，
解得：．
∴直线的解析式为；
（3）解：∵为函数的0系特征数，
∴，
∵一次函数和反比例函数的图像交于，两点，
联立得：，即，
则，
代入可得，
∵，
∴，
将代入上式得：，
又∵，
∴，，
解得：，
∴当时，，
当时，．
∴．
25．(1)
(2)1
(3)．
（1）∵，
∴，，
∵是的切线，如图1，
∴，
∴，
∴，
∵，的长度是关于t的一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
在中，，
∴；
（2）连接，如图2，
∵、分别与相切于P、Q，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵分别与相切于P、F、Q，
∴平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图3，连接，由（2）知：，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴，
∴．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
D
B
C
D
A
B
B
甲乙