湖南省长沙市2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷（解析版）

这是一份湖南省长沙市2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. 下列实数、、、、、中，无理数的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】为有理数、为无理数、为无理数、为有理数、为有理数、为无理数，其中无理数的个数为3个；
故选B．
2. 2021年2月20日，党史学习教育动员大会在北京召开．习近平总书记号召全党同志要以优异成绩迎接建党一百周年．中央组织部党内统计数据显示，截至2021年6月5日，中国共产党党员总数约为95150000人．将95150000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.9515×107B. 0.9515×108C. 9.515×107D. 9.515×108
【答案】C
【解析】由题可得：
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项正确，符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
4. 若，则下列不等式中不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A．∵，不等式两边同时加2，不等号方向不变，∴，故A不符合题意；
B．∵，不等式两边同时乘以-2，-2＜0，不等号方向改变，∴，故B符合题意；
C．∵，不等式两边同时加-2，不等号方向不变，∴，故C不符合题意；
D．∵，不等式两边同时乘以，＞0，不等号方向不变，∴，故D不符合题意；
故选B．
5. 如图，，，依次是的高、中线和角平分线，下列选项中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵是中线，
∴，故A选项正确，
∵是的高，
∴，故B选项正确，
∵是角平分线，
∴，故D选项正确，
∵是中线，不是角平分线，
∴无法得出，故C选项无法得出，
故选：C
6. 如图，平分，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴．
故选：C．
7. 关于的一元二次方程解的情况分析正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不能确定
【答案】A
【解析】
∵，
∴方程始终有两个不相等的实数根，
故选：A．
8. 如图是古诗《登飞来峰》，如果“云”用表示，“千”用表示，那么“升”可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】观察可知，升的位置相当于千向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度得到的，
∵“千”用表示，
∴“升”可以表示为，
故选：B．
9. 算法统宗里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？如果设李三公家的店有x间客房，来了y个房客，则可以列出的方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设该店有客房x间，房客y人，
根据题意得，
故选：．
10. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤的解为，．其中正确的是（ ）
A. ①②③④B. ①③④⑤C. ①②③⑤D. ①②④⑤
【答案】C
【解析】①抛物线与轴有2个交点，
，所以①正确；
②图象开口向下，得，
对称轴，
，
图象与轴的交点在轴的上方，得，
，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线，
，
，所以③正确；
④抛物线对称轴为直线，图象与轴的一个交点为，
图象与轴的另一个交点为，
当时，，
，故④错误；
⑤二次函数的图象过，，
方程的解是，，故⑤正确．
故选：C．
二、填空题（共18分）
11. 因式分解：________．
【答案】
【解析】．
故答案为：．
12. 已知x，y都是实数，且，则__________．
【答案】4
【解析】∵，
∴，，
∴，
将代入，
得：，
故答案为：4．
13. 若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由关于的一元一次不等式组有解可得：，
∴，
故答案为：．
14. 若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ________．
【答案】
【解析】∵点关于轴的对称点在第二象限，
∴点，
∴且，
解得，，
故答案为：．
15. 用“*”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么__________．
【答案】15
【解析】∵对于任意正实数，都有，
∴，
故答案为：15
16. 甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前2天完成任务；④甲、乙两队所挖管道长度相差100米时，x=6．正确的有：______．
【答案】①②③
【解析】横坐标为挖掘时间x（天），纵坐标为所挖管道长度y（米），
由甲的图象知，（6，600）表示甲队挖掘6天，所挖管道长度为600米，6天完成任务，则甲队每天挖100米．①正确；
由乙的图象知，（2，300）表示乙队前2天挖了300米，（6，500）表示乙队第6天时，所挖管道长度为500米，第2-6天的4天内，共挖管道500-300=200（米），平均每天挖200÷4=50（米/天）．②正确；
乙队完成任务所用的时间=6+（100÷50）=8天，
则甲队比乙队提前完成任务的天数=8-6=2（天）．③正确；
甲队第二天是所挖管道长度为200米，此时乙队所挖管道长度为300米，相差100米；由图像知，当x=6时，乙两队所挖管道长度相差100米．由此得出，甲、乙两队所挖管道长度相差100米时，x=2或6．④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题（共72分）
17. 计算：．
解：
．
18. （1）解不等式组：．
（2）解方程：．
解：（1），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为；
（2）∵，
∴，
∴或，
∴，．
19. 先化简：，然后从－2，－1，0，1中选一个你喜欢的x的值，代入求代数式的值．
解：
=== x+1.
∵当x=-1，0，1时，分母为零，无意义，所以x只能取-2，
故当x=-2时，原式=-1．
20. 2025年中央广播电视台春节联欢晚会，作为春节申遗成功后的首届春晚，整场晚会以“已已如意，生生不息”为主题，充分展示中华优秀传统文化的隽永魅力．为了解某校九年级学生春晚观看方式（A：平板观看；B：手机观看；C：电视观看；D：其他方式或没有观看），小明随机统计了部分学生的春晚观看方式，并绘制成如下统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）这次随机抽取的学生共有________人，并将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为________；
（3）该校九年级共有学生900人，请估计这次九年级学生用电视观看春晚的学生约有多少人？
解：（1）这次随机抽取的学生总人数：（人），
“电视观看”的人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）B“手机观看”所占圆心角，
故答案为：；
（3）这次九年级学生用“电视观看”春晚的学生约有（人），
答：这次九年级学生用“电视观看”春晚的学生为225人．
21. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值．
（1）证明：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：把代入，得：，
解得：或；
∵为正数，
∴．
22. 如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
（1）证明：∵点是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，即，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形的面积为．
23. 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚．
（1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率；
（2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？
（1）解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意，得．
解得（不合题意，舍去）．
答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，
根据题意，得，
整理得，
解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）．
答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．
24. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“伴随方程”
（1）在①，②，③三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有______（填序号）；
（2）若关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的“伴随方程”．
①求a的取值范围；
②直接写出代数式的最大值．
解：（1）解不等式得：，
解①得：，不在范围内，故不是“伴随方程”；
②得：，在范围内，故是“伴随方程”；
③得：，在范围内，故是的“伴随方程”；
故答案为：②③；
（2）①解得：，
解得：；
解得：，解得：，
由题意可得：，
解得：；
②表示数轴上与0和3的距离之和，
∵，
∴当时，最大，且为．
25. 已知二次函数图象的顶点是，且经过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点A，分别作轴于点，轴于点．
①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解；
②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
解：（1）依题意，，
解得
二次函数的解析式为．
（2）①依题意，即该一次函数的解析式为．
将代入，得，
即点的坐标为，
代入，得，
即一次函数的解析式为，
由，
解得点横坐标为
依题意，C，D横坐标分别与A，B横坐标相同，
所以，
由图像可知不等式解为．
②设，，则，．
将代入，得，
则，
解得，
，，
依题意得，
，
，
．
而
．
，，
，．
故
所以，，
即的值为定值，且该定值为．
登
飞
来
峰
飞
来
山
上
千
寻
塔
，
闻
说
鸡
鸣
见
日
升
，
不
畏
浮
云
遮
望
眼
，
自
缘
身
在
最
高
层
．