湖南省长沙市长沙县2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份湖南省长沙市长沙县2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在温度计上，以上的温度记作正数，以下的温度记作负数．据天气数据显示，2024年1月23日长沙县的最低气温为零下，记作（ ）
A．B．C．D．
2．2024年，我国农业农村经济运行总体平稳、稳中向好，粮食产量首次突破1400000000000斤，其中1400000000000用科学记数法表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，历史悠久，趣味浓厚．下列棋子图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．从长度分别为2，3，4，5，6的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有（ ）
A．4种B．5种C．6种D．7种
6．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．太阳从东边升起
B．布袋里有2个红球，1个白球，从中同时摸出2个球，其中必有红球
C．367人中至少有两人生日相同
D．走到十字路口正好是绿灯
7．已知一组数据：1，3，5，1，2，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．1，2B．1，3C．3，1D．1，5
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，直线与直线，都相交，若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．有三张牌，分别为红心A、红心2、红心8，将这三张牌按任意左右顺序排列，再根据下列步骤操作：
第一步：将红心2与左边的牌互换，如果红心2已经在最左边，则不动；
第二步：将红心8与右边的牌互换，如果红心8已经在最右边，则不动；
第三步：将红心A与左边的牌互换，如果红心A已经在最左边，则不动．
经过以上三步操作后，请问最右边的牌是（ ）
A．红心AB．红心2
C．红心8D．红心A、红心2、红心8都有可能
二、填空题
11．若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
12．一个不透明的布袋里装有3个红球，4个黄球，2个白球，2个黑球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为 ．
13．若点，都在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”）．
14．如图，在平行四边形中，延长到点，连接，使．若，则的度数为 ．
15．如图，在中，，，将沿边所在直线向右平移2个单位长度得到，与相交于点，则 ．
16．如图，是的直径，点，在上，点是的中点，点是直径上的一个动点，连接，，，若，，则的最小值为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在中，，，按下列步骤作图：
①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，连接分别交，于点，；
②以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；
③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．
(1)若，求的长；
(2)求证：是等腰三角形．
20．随着社会的发展和人们生活水平的提高，越来越多的人开始关注自己的生活品质和精神需求．在这个过程中，一部分人选择远离都市喧嚣，走进乡村，成为农业农村的参与者，解锁田园生活新体验．某市举办了“我最喜欢的田园生活体验”活动，共开展四个项目：A．我在星村有丘田；B．我在星村有块地；C．我在星村有棵树；D．我在星村有口塘．要求每个家庭只能参与一项．现从参与该项活动的家庭中随机抽取若干家庭进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查活动随机抽取了________个家庭；
(2)请补全条形统计图；
(3)请计算扇形统计图中“我在星村有丘田”所对应的圆心角的度数；
(4)若此次参加田园生活体验的家庭共有2000个，请你估计选择“我在星村有口塘”的家庭有多少个？
21．如图，是的直径，点是上一点，延长到点，连接，，，，若．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为1，是的中点，求劣弧的长（结果用表示）．
22．某社区计划将一个长12米、宽8米的长方形花坛扩建为公共休息区．扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米．
(1)求这条小道的宽度；
(2)如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要多少米篱笆？
23．如图，在矩形中，对角线，相交于点，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求矩形的面积．
24．不妨约定，关于的二次函数，若（为正整数），则称该函数为“函数”，为“值”．例如：二次函数，有，故该函数为“函数”，“值”．
(1)判断下列二次函数是否为“函数”，是的在括号里打“√”，不是的在括号里打“×”．
①；（ ）
②；（ ）
③．（ ）
(2)已知二次函数（，为常数，）是“函数”，且“值”．
①求证：该函数与轴总有两个交点；
②该函数经过某一定点，求出该定点的坐标．
(3)如图，在（2）的条件下，二次函数与轴交于两点，（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，过点作，交抛物线于点，过点作，当时，求点的坐标．
25．如图1，已知是等腰三角形的外接圆，，是上一点，连接，交于点．射线与的夹角的角平分线交于点，射线交射线于点．
(1)若，，，求的长度；
(2)求证：；
(3)如图2，当为直径时，若，，求的面积．
《2025年湖南省长沙市长沙县中考一模数学试题》参考答案
1．A
解：∵在温度计上，以上的温度记作正数，以下的温度记作负数，
∴零下，记作，
故选：A．
2．B
解：，
故选：B．
3．D
解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D既是中心对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
4．C
解：A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项正确，符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
5．D
解：∵，，，，，，，
∴能围成三角形的三条线段长度分别为、、、、、、，组合共有7种，
故选：D．
6．D
解：A、太阳从东边升起是必然事件，不符合题意；
B、布袋里有2个红球，1个白球，从中同时摸出2个球，其中必有红球是必然事件，不符合题意；
C、367人中至少有两人生日相同是必然事件，不符合题意；
D、走到十字路口正好是绿灯是随机事件，符合题意，
故选：D．
7．A
解：在这组数据中，1出现的次数最多，
所以这组数据的众数是1．
将这组数据从小到大进行排序为，
则其中位数是2，
故选：A．
8．B
解：，
由①得，，
由②得，，
∴原不等式组的解集为：，
∴在数轴表示为：
故选：B．
9．C
解：如图：
∵若，，
∴，
∴，
故选：C．
10．C
解：首先，三张牌的所有排列组合共有6种：
A， 2， 8，
A， 8， 2，
2， A， 8，
2， 8， A，
8， A， 2，
8， 2， A，
第一种初始排列：A，2，8，
第一步：红心2的位置是中间，左边是A．所以红心2与左边的A互换位置，变为2， A， 8，
第二步：处理红心8的位置，此时排列是2，A，8．红心8在最右边，所以不动．
第三步：处理红心A，此时红心A在中间位置，左边是2，所以A与左边的2互换位置，得到A，2，8．，所以第三步结束后的排列是A，2，8．所以最右边是8．
第二种初始排列：A，8，2，
第一步：红心2的位置是右边第三位，即最右边，所以红心2在初始排列的最右边，左边是8．所以第一步需要把红心2和左边的8互换位置，得到A，2，8．
第二步处理红心8的位置．此时排列是A，2，8，红心8在最右边，所以不动．
第三步处理红心A，此时红心A在第一位，已经是最左边，所以不动．最终排列还是A，2，8，最右边是8．
第三种初始排列：2，A，8，
第一步：红心2已经在最左边，所以不动，排列还是2，A，8，
第二步：红心8在最右边，所以不动，排列还是2，A，8，
第三步：红心A在中间位置，左边是2，所以红心A与2互换位置，得到A，2，8．最右边还是8．
第四种初始排列：2，8，A，
第一步：红心2在第一位，不动，排列保持2，8，A，
第二步：红心8在中间位置，右边是A．所以将红心8与右边的A互换位置，得到2， A，8，
第三步：处理红心A的位置，此时红心A在中间，左边是2，所以互换，得到A，2，8．最右边是8．
第五种初始排列：8，A，2，
第一步：红心2在最右边，所以需要将红心2与左边的A互换位置，得到8，2，A，
第二步：处理红心8的位置，此时红心8在第一位，左边没有牌，右边是2．但红心8的操作是与右边的牌互换．所以红心8现在在第一位，右边是2．将红心8与右边的2互换，得到2，8，A，
第三步：处理红心A的位置，此时排列是2，8，A．红心A在最右边，左边是8．所以需要将A与左边的8互换位置，得到2 ，A，8．最右边是8．
第六种初始排列：8，2，A，
第一步：红心2在中间位置，左边是8．所以将红心2与左边的8互换，得到2，8，A，
第二步：处理红心8的位置，此时红心8在中间位置，右边是A．所以将红心8与右边的A互换，得到2，A，8，
第三步：处理红心A的位置，此时红心A在中间，左边是2，所以互换后得到A， 2， 8．最右边是8．
综上所述，经过以上三步操作后，请问最右边的牌是红心8，
故选：C．
11．
解：若二次根式有意义，则，
解得，
故答案为：．
12．
解：一个不透明的布袋里装有3个红球，4个黄球，2个白球，2个黑球，
从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为．
故答案为：．
13．
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．
解：∵沿直角边所在直线向右平移2个单位得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴
∴，
在中，，
故答案为：．
16．
解：作点D关于的对称点为点E，连接交于点G，连接，，，，
∴，，
∴，当点P与点G重合时，此时有最小值，最小值为
∵，
∴，
∵点D是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
17．
解：原式
．
18．，
解：原式
，
将代入得：原式．
19．(1)
(2)见解析
（1）解：由作图可知：垂直平分，
∵，，
∴
（2）证明：由作图可得：平分，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
20．(1)200
(2)见解析
(3)
(4)700个
（1）解：（人），
故答案为：200；
（2）解：A项目的人数为：（人），
则补全统计图如图：
（3）解：由题意得，，
∴图中“我在星村有丘田”所对应的圆心角的度数为；
（4）解：由题意得，，
答：选择“我在星村有口塘”的家庭有700个．
21．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵的半径为1，
∴，
由（1）已得：，
∵是的斜边的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴劣弧的长．
22．(1)这条小道的宽度为2米
(2)需要56米篱笆
（1）解：设这条小道的宽度为米，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：这条小道的宽度为2米．
（2）解：由（1）可知，扩建后的长方形公共休息区的长为（米），宽为（米），
则（米），
答：如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要56米篱笆．
23．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：由（1）已证：四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴矩形的面积为．
24．(1)×，×，√
(2)①证明见详解；②
(3)
（1）解：①，
则，根据已知得，
∵不为正整数
∴不是“函数”；
②，
则，根据已知得，
∵不为正整数
∴不是“函数”；
③，
则，根据已知得，
∵为正整数
∴是“函数”；
故答案为：×，×，√；
（2）解：①根据题意得，得，
则二次函数（为常数，），
令，则，
∵
∴，
那么，该函数与轴总有两个交点；
②二次函数，
当，则，
则该函数经过定点；
（3）解：二次函数（为常数，），
令，解得，
当，，
则点，，，，
设直线的解析式为，则
，解得，
那么，直线的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
∵直线过点D，
∴，解得，
则直线的解析式为，
延长与y轴交于点G，延长与x轴交于点H，过点E作于点I，过点C作于点L，如图，
则四边形为矩形，，
∵点，
∴，
由，解得，
则的长为，
那么，点，
∵，，
∴，，
∴，
，，
∵
∴，解得，
∵，
∴，
则点．
25．(1)
(2)证明见解析
(3)
（1）解：由圆周角定理得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
（2）证明：∵平分，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
∴．
（3）解：如图，连接，延长交于点，过点作于点，连接，
设的半径为，则，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
由（2）已证：，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴的面积为．