【中考数学】专题4.4圆---利用“阿氏圆”模型求最值 课件-中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

这是一份【中考数学】专题4.4圆---利用“阿氏圆”模型求最值 课件-中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用），共40页。PPT课件主要包含了一线段系数不为1，两线段系数均不为1，求差最大的问题，∴DEDF，B加权点，A非加权点，M破题点，BC权心线，破题通法，求求AE的长等内容，欢迎下载使用。
近几年中考数学,有一些高频考题,如线段最值问题,动点路程问题,除了填空选择关于圆的计算以及解答题关于圆的证明以外,常常会以压轴题的形式考察圆的重要性质.在这些题目的图形中往往没有出现“圆”,但在解题时却要用到“圆”的知识点,我们把这种类型的题目称之为“隐圆模型”. 在辅助圆问题中,我们了解了求关于动点最值问题的方式之一---求出动点轨迹,即可求出关于动点的最值. 我们继续讨论另一类动点引发的最值问题,在此类题目中,题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的可以是另一点Q,当然P、Q之间存在某种联系,从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值,为常规思路.
在前面的“胡不归”问题中,我们见识了“kPA+PB”最值问题,其中P点轨迹是直线,而当P点轨迹变为圆时,即通常我们所说的“阿氏圆”问题. 已知平面上两点A、B,则所有满足PA:PB=k(k≠1)的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿波罗尼斯圆”简称“阿氏圆”.如图,其中PA:PB=OP:OB=OA:OP=k.
角平分线定理：如图,在△ABC中,AD是BAC的角平分线,则AB:AC=DB:DC.
证法一：过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∵S△ABD:S△ACD=(0.5AB·DE):(0.5AC·DF)=AB:AC,
∴AB:AC=DB:DC.
S△ABD:S△ACD=DB:DC,
∵AD是BAC的角平分线,
证法二：过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E,
∴△ABD∽△ECD.
外角平分线定理：如图,在△ABC中,外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则AB:AC=DB:DC.
证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,
即AB:AC=DB:DC.
则△ACD≌△AED(SAS),
∴CD=ED且AD平分BDE,
∴DB:DE=AB:AE,
∴P点轨迹是以MN为直径的圆.
证明：如图,PA:PB=k,作∠APB的角平分线交AB于M点,
根据角平分线定理,MA:MB=PA:PB=k,
故M点为定点,即∠APB的角平分线交AB于定点；
作∠APB外角平分线交直线B于N点,
根据外角平分线定理,NA:NB=PA:PB=k,
故N点为定点,即∠APB外角平分线交直线AB于定点；
∵∠MPN=90º,定边对定角,
法二：建系 不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称,设A(-m,0),则B(m,0),设P(x,y),PA=kPB,即：
∴(x+m)2+y2=k2(x-m)2+k2y2
∴(k2-1)(x2+y2)-(2m+2k2m)x+(k2-1)m2=0
解析式满足圆的一般方程,故P点所构成的图形是圆,且圆心与AB共线.除了证明之外,我们还需了解“阿氏圆”的一些性质：(1)PA:PB=MA:MB=NA:NB=k. 应用：根据点A,B的位置及k的值可确定M、N及圆心0.(2)△OBP∽△OPA,即变形为OB:OP=OP:OA,OP²=OA·OB. 应用：根据圆心及半径和A,B其中一点,可求A,B另外一点位置.(3)OP:OA=OB:OP=PA:PB=k. 应用：已知半径及A,B中的其中一点, 即可知道PA:PB的值.
已知P为⊙O上的动点,求kPA+PB的最小值.1.连接动点与圆心,将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连(即OP,OA)；2.找出(或计算出)这两条线段的长度；3.计算两线段的比值OP:OA=k；4.在OA或OA的延长线上取点M,使得OM:OP=k,此时△OMP∽△OPA,∴PM:PA=k,∴PM=kPA,∴kPA+PB就转化为PM+PB；5.连接BM,则kPA+PB的最小值就是BM的长. 上述步骤为基本题型的基本步骤,有时候系数不为1的线段不能直接转换,还需要利用提系数的方法进行转化,这样的题目还需要多尝试,题目并不是死的,它总是会有所变化,做得多了才能随机应变.例如下面的一些变式.
【引例】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,CB=4,CA=6,⊙C半径为2,P为圆上一动点,连结AP,BP,则AP+0.5BP的最小值为____.
计算依据：半径平方=破心线×权心线(子母共边相似)
①连接圆心与两个定点(OA,OB)；
②计算权心线上圆心与破题点M的距离: m=半径的平方÷权心线；
③在权心线(或延长线上)截取OM=m；
④连接破题点M与非加权点(与圆相交于点P,该点为满 足条件的动点),并计算其长度,该长读即为所求.
应用条件：半径:权心线长度=加权比.
⑥此时的△CPM∽△CAM,CP:CM=CB:CP,CP2=CM·CA
①连接OA、OB(已连).
②计算“破心点”(破题点与圆心的距离) 长度=半径的平方÷权心线=62÷4=9.
③在射线“心权线”上截取CM(破心线)=1(M为破题点).
④连接破题点M与非加权点,与⊙O相交于P点,P即为满足条件的动点.
⑤计算AM的长度(AM=PA+MP=PA+0.5PB).
1.连：连接圆心与动点CD
2.构：构“母子”型柳腰相似 ----缩小型内构；扩大型外构 ----半径CD为公共边
3.算：第三边CE的长度
【例3】如图,等边△ABC的边长为6,内切圆记为⊙O,P是圆上动点, 求2PB+PC的最小值.
1.在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2),P是△AOB外部的第一象限内一动点,且∠BPA=135º，则2PD+PC的最小值为_________.
两条线段都有系数时,又分为两种类型,一种是需要两条线段分别构造母子型相似,做两次转化(如例4),另一种解法是直接提出一个系数(如例5).【例4】如图,△ABC中AC=BC=4,ACB=90º,⊙C的半径为2,D是⊙C上一动点,E在CB上,CE=1,连接AD、DE,则0.5AD+2DE的最小值为________.
【分析】AD、DE 两线段系数均不为1,且已知线段长度有2倍关系和一半关系,因此可以将0.5AD和2DE构造两次母子型相似,分别进行转化.【提示】取CM=1,连接MD,CD,DB,则△CMD∽△CDA,△CED∽△CDB,∴DM=0.5AD,BD=2DE,∴AD+2DE=DM+BD≥BM=√17.
【例5】在△ABC中,AB=9,BC=8,∠ABC=60º,⊙A的半径为6，P是⊙A上的动点,连接PB、PC,则3PC+2PB的最小值为_____.
【分析】PB、PC的系数均不为1,已知线段长度也不含有2倍和3倍关系,因此3PC、2PB均不能直接构造,但根据AB=9,⊙A的半径为6,这两个条件可得：PA:PB=6:9=2:3,于是我们想到把3PC+2PB转化为3(PC+2/3PB),只需要求PC+2/3PB的最小值即可解决.
解析：连接PA,在AB上取一点D,使得AD=4,则AD:AP=AP:AB=2:3.∴△ADP∽△APB,相似比为2:3,∴PD:PB=2:3,∴PD=2/3PB,∴PC+2/3PB=PC+PD≥CD,过C作CH⊥AB,易求得CD=7，∴PC+2/3PB的最小值为7，∴3PC+2PB的最小值为21.
求带系数的两条线段差最大的问题,转化方法和前面所讲完全一样,只是最后求最值时有所不同,前面求和最小都是运用两点之间线段最短的原理,求差最大,我们需要运用“三角形两边只差小于第三边”这一原理来解决.【例6】(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,⊙B的半径为2,点P是⊙B上的一个动点,那么PD+0.5PC的最小值为____.PD-0.5PC的最大值为______.(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,⊙B的半径为6,点P是⊙B上的一个动点,那么PD+2/3PC的最小值为_____,PD-2/3PC的最大值为______.(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,B=60º,⊙B的半径为2,点P是⊙B上的一个动点,那么PD+0.5PC的最小值为____,PD-0.5PC的最大值为______.
1.如图,△ABC中AC=BC=4,△ACB=90º,⊙C的半径为2,D是⊙C上一动点,E在CB上,CE=1,连接AD、DE,则|0.5AD-DE|的最大值为______,2DE-0.5AD的最大值为______,
⑥此时的△OPA∽△OMP,OP:OM=OA:OP,OP2=OM·OA
【例1】已知扇形COD中,∠COD=90º,0C=6,0A=3,0B=5,点P是CD上一点",则2PA+PB的最小值为____.
②计算“破心点”(破题点与圆心的距离) 长度=半径的平方÷权心线=62÷3=12.
③在射线“心权线”上截取0M(破心线)=12(M为破题点).
④连接破题点M与非加权点,与⊙O相交于P点, P即为满足条件的动点.
⑤计算MB的长度(MB=MP+PB=2PA+PB).
3.如图,P是正方形ABCD内一动点,AD=6,CP=4,求：3PA+2PD的最小值.
1.已知在坐标系中,点A(-1,0),点B(3,0),P是平面中一点且PA:PB=3:1,求P点轨迹圆圆心位置.
【分析】既然已经了解的“阿氏圆”的相关内容,不妨直接用上结论.取M(2,0)满足MA:MB=3:1,取N(5,0)满足NA:NB=3:1.P点轨迹即是以MN为直径,MIN中点0为圆心的圆.
【分析】像这样的问题一般就是“阿氏圆”构图,已知圆与A点,求另外一点B. 【思路1】构造相似三角形. 考虑OP2=0A·0B,将OP=3/2,OA=9/2,代入可得：OB=1/2, 故B点坐标为(3,0).
【思路2】根据“阿氏圆”中的特殊位置.当P点运动到M点位置时,有MA:MB=3:1,考虑到A(-1,0),M(2,0),可得MB=1，考虑到A、M、B共线且B点在M点右侧,可得B点坐标为(3,0).
【补充】这里的圆0与点A及PA:PB的比值都是配套存在的,思路2虽有投机取巧之嫌,却是根据“阿氏圆”定义求出的B点,还好用.
【分析】问题中的PQ暂时不用管,先处理好1/3PA,考虑到P点轨迹是个圆,且要构造1/3PA.大胆猜测：平面中存在一点B使得P在圆上任意位置,均满足：PB:PA1:3,即有PB=1/3PA.其实就是逆用“阿氏圆”,这样的题目一般就是给出圆与A点位置,求另一点B的位置,即可转化1/3PA.点B求法如上练习2,剩下的求最小值就很简单了.
3.如图,在Rt△ABC中,C=90º,AC=4,BC=3,以点C为圆心,2为半径作圆,分别交AC,BC于D、E 两点,点P是圆C上一个动点,则0.5PA+PB的最小值为_____.
【思路】构造相似三角形点M与A,C共线,且M点必满足：CP2=CM·CA,代入CP、CA,即可得：22=4·CM,得：CM=1,即可确定M点位置,0.5PA+PB=PM+PB问题转化为PM+PB最小值,直接连BM即可.
【分析】确定了问题关键是构造“0.5PA”,即在平面中找一点M使得“PM=0.5PA”.
【问题剖析】(1)这里为什么是0.5PA?
答：因为圆C半径为2,CA=4,比值是1:2,∴△CMP与△CPA的相似比为1:2,所以构造的是0.5PA,也只能构造0.5PA.
(2)如果问题设计为PA+kPB最小值,k应为多少?
答：根据圆C半径与CB之比为2:3,k应为2/3.
1.如图,在△ABC中,∠CB=90º,BC=12,AC=9,以点C为圆心,6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD,则2AD+3BD的最小值是______.
【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=3(2/3AD+BD),故求2/3AD+BD最小值即可.考虑到D点轨迹是圆,A是定点,且要求构造2/3AD,条件已经足够明显.当D点运动到AC边时,DA=3,此时在线段CD上取点M使得DM=2,则在点D运动过程中,始终存在DM=2/3DA.
问题转化为DM+DB的最小值,直接连接BM,BM长度的3倍即为本题答案.
2.如图,已知正方ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,则PD-0.5PC的最大值为______.
【分析】当P点运动到BC边上时,此时PC=2,根据题意要求构造0.5PC,在BC上取M 使得此时PM=1,则在点P运动的任意时刻,均有PM=0.5PC,从而将问题转化为求PD-PM的最大值.
连接PD,对于△PDM,PD-PM＜DM,故当D、M、P共线时,PD-PM=DM为最大值.
如图1,在平面直角坐标系中,直线y=-5x+5与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一交点为B.(1)求抛物线解析式及B点坐标；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点,连接MA、MB、MC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC面积最大,求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；(3)如图2,若P点是半径为2的圆B上一动点,连接PC、PA,当点P运动到某一位置时,PC+0.5PA的值最小,请求出这个最小值,并说明理由.
解:(1)直线y=-5x+5,x=0时,y=5
y=-5x+5=0时,解得:x=1
∴抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点
∴抛物线解析式为y=x2-6x+5
当y=x2-6x+5=0时,
解得：x1=1,x2=5
∴当m=3,即M(3,-4)时,四边形AMBC面积最大等于18
(2)如图1,过点M作MH⊥x轴于点H
∵A(1,0),B(5,0),C(0,5)
∴S△ABC=0.5AB·OC=0.5×4×5=10
∵点M为x轴下方抛物线上的点
∴设M(m,m²-6m+5)(1＜m＜5)
∴MH=|m²-6m+5|=-m²+6m-5
∴S△ABM=0.5AB·MH=0.5×4(-m²+6m-5)=-2(m-3)2+8
∴S四边形AMBC=S△ABC+S△ABM=10+[-2(m-3)2+8]=-2(m-3)2+18
∴AB=5-1=4,0C=5
∴当点C,P,D在同一直线上时,PC+0.5PA=PC+PD=CD最小
(3)如图2,在x轴上取点D(4,0),连接PD、CD
∵AB=4,BP=2.
∴BD:BP=BP:AB=1:2
∵∠PBD=∠ABP.
∴△PBD∽△ABP.
∴PD:AP=PD:BP=1:2
∴PC+0.5PA=PC+PD
【例2】如图,已知扇形COD，∠COD=90º,0C=6,0A=3,OB=5,点P是弧CD上一点,试求2PA+PB的最小值.
解析：延长0C至Q使CQ=OC,连接PQ、PO,∵0A:OP=OP:0Q=1:2,∴△0AP∽△0PQ,∴PA:QP=1:2,∴QP=2PA,当点B、P、Q三点共线时,2PA+PB最小,最小值为BQ的长13.
1.如图,在扇形CAB中,CA=4,△CAB=120º,D为CA的中点,P为弧BC上一动点(不与C,B重合),则2PD+PB的最小值为_______.2.如图,AB是⊙O的直径,且AB=4,C是0A中点,过C作CD⊥AB交⊙O于D点,DE是⊙O的另一条直径,P是圆上的动点,求2PC+PE的最小值.
2.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0＜m＜4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.(1)求a的值和直线AB的函数表达式；(2)设△PMN的周长为C1,△AEN的周长为C2,若C1:C2=6:5,求m的值；(3)如图2,在(2)的条件下,将线段OE绕点0逆时针旋转得到OE´,旋转角为α(0º＜α＜90º),连接E´A,E´B,求E´A+2/3E´B的最小值.