湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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时量：120 分钟 分值：150 分
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
1. 的值（ ）
A. 小于 0 B. 大于 0 C. 等于 0 D. 不存在
2. 如下图所示，在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，则异面直线 与
所成的角的大小为（ ）
A. B. C. D.
3. 设复数 ， 在复平面内的对应点关于实轴对称， ，则
A. B. C. D.
4 设向量 满足 ， ，则 =
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
5. 已知 、 是球 的球面上的两点， ，点 为该球面上的动点，若三棱锥 体积
的最大值为 ，则球 的表面积为
A. B. C. D.
6. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 设 A，B，C，D 是平面上四个不同的点，其中任意三点不共线，若 ，
则 是（ ）
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A. 等边三角形 B. 直角三角形
C 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
8. 如图所示，在四边形 中， ， ， ，将四边形 沿对
角线 BD 折成四面体 ，使平面 平面 ，则下列结论正确 是（ ）
A.
B.
C. 与平面 所成的角为
D. 四面体 的体积为
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 已知复数 z 满足 ，则（ ）
A. 复数 z 虚部的最大值为 2
B. 复数 z 实部的取值范围是
C. 的最小值为 1
D. 复数 z 在复平面内对应的点位于第一、三、四象限
10. 下列四个选项中，化简正确 是（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 已知 ， 为异面直线，直线 与 ， 都垂直，则下列说法正确的是（ ）
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A. 若 平面 ，则 ，
B. 存在平面 ，使得 ， ，
C. 有且只有一对互相平行的平面 和 ，其中 ，
D. 至多有一对互相垂直的平面 和 ，其中 ，
三、填空题：（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 如果用半径为 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是___________.
13. 已知 是单位向量， .若向量 满足 ，则| |的最大值是________.
14. 已知 ，则 _________．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 函数 （ ）的最大值为 3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为
，
（1）求函数 的解析式；
（2）设 ，则 ，求 的值
16. 在四面体 ABCD 中，CB=CD， ，且 E，F 分别是 AB，BD 的中点，
求证：（I）直线 ；
（II） ．
17. 中， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值.
18. 半径为 1 的圆 内接 ，且 ．
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（1）求数量积 ， ， ；
（2）求 的面积．
19. 如图所示，在直角梯形 ABCD 中， ， ， ， ， ，边 AD 上
一点 满足 ．现将 沿 BE 折起到 的位置，使平面 平面 BCDE，如图所示．
（1）求证： ；
（2）求四棱锥 的体积；
（3）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
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