湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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时量：120 分钟 分值：150 分
命题人：刘一波 审题人：陈朝阳、肖雄
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 中，已知 ，则边c为（ ）
A. B. 或 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定理解三角形即可.
【详解】在 中，由余弦定理得， ，
所以 .
故选：C
2. 若 ，则 的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析： ，
∴ ，故选 D．
考点：诱导公式．
3. 已知非零向量 满足向量 与向量 的夹角为 ，那么下列结论中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】由向量 与向量 的夹角为 ，即向量垂直，从而可知他们的数量积为 0，则选项可判定.
【详解】 向量 与向量 的夹角为 ,
，
，可得 ,
∴ .
故选：B．
4. 若角 满足 ，则角 为（ ）
A. 第一或第四象限角 B. 第二或第三象限角
C 第三或第四象限角 D. 第一或第三象限角
【答案】B
【解析】
【分析】由弦切互化后结合三角函数的符号可得.
【详解】 ，
所以角 为第二或第三象限角.
故选：B
5. 设 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，如果 ，且
，那么 外接圆的半径为（ ）
A. 2 B. 4 C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由 可得 ，已知 ，由 即可得到半径.
【详解】∵ ，
∴ ，化为： .
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∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，由正弦定理可得 ，
解得 ，即 外接圆的半径为 2.
故选：A.
【点睛】本题考查余弦定理和正弦定理的应用，属于简单题.
6. 如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，测得点 A 的仰角
为 60°，再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 m 到位置 D，测得∠BDC＝45°，则塔 AB 的高是（ ）
A. 10 m B. 10 m C. 10 m D. 10 m
【答案】D
【解析】
【分析】在△BCD 中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，利用正弦定理
求得 BC，在 Rt△ABC 中，根据 ，即可得出答案.
【详解】解：在△BCD 中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
由正弦定理，得 ＝ ，
BC＝ ＝10 （m）.
在 Rt△ABC 中， tan 60°＝ ，AB＝BC×tan 60°＝10 （m）.
故选：D.
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7. 已知函数 在区间 上是增函数，若函数 在 上的图象与直线
有且仅有一个交点，则 的范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合函数的对称性，及 在区间 上的单调性，可知 ，又函数 与直线
交点的横坐标为 ，从而得 ，进而可求出 的取值范围.
【详解】因为函数 的图象关于原点对称，并且在区间 上是增函数，所以
，所以 ，
又 ，得 ，
令 ，得 ，
所以 在 上的图象与直线 的第一个交点的横坐标为 ，第二个交点的横坐标为
，
所以 ，解得 ，
综上所述，
故选： .
【点睛】关键点点睛：关于三角函数中的取值范围问题，结合三角函数的单调性与最大（小）值列关于 的
不等式，从而求解即可.
8. 如图，在 中， ， ， ，D 为线段 的中点， ，E 为线段
的中点，F 为线段 上的动点，则 的最大值与最小值的差为（ ）
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A. B. 5 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，表示各点坐标，利用平面向量的线性运算表示向量，结合平面向量的数量
积运算，即可得.
【详解】如图，以点 A 为坐标原点建立平面直角坐标系，
由题意 ， ， ， ，
设 ，（ ），
设 ，（ ），
由 ，则 ， ，
，
，
解得 ，则 ，
， ，
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又 ，
，
因为 ，所以 ，
的最大值为 ， 的最小值为 ，
的最大值与最小值的差为：4
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查向量的坐标表示，向量的数量积平面向量数量积的坐标运算，关键是由
，得出 M 坐标，结合平面向量的数量积运算即可.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】CD
【解析】
【分析】利用共线向量定理或坐标运算判断 是否共线.
【详解】对于 A， ， ，设存在 使得 ，即 ，明显不可能，则
不共线，所以可以作为一组基底，故 A 错误；
对于 B，假设 ， 共线，则 ，明显不可能，则 不共线，所以可以作
一组基底 ，故 B 错误；
C.因 ，则 共线，所以不可以作为一组基底，故 C 正确；
D. 因 ，则 共线，所以不可以作为一组基底，故 D 正确；
故选：CD.
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10. 已知函数 ，则下列命题正确的是（ ）
A. 的最小正周期为 ；
B. 函数 的图象关于 对称；
C. 在区间上 单调递减；
D. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后所得到的图象与函数 的图象重合.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据二倍角的正弦公式和辅助角公式可得 ，结合余弦函数的图象与性质依
次判断选项即可求解.
【详解】 ，
对于 A，函数 的最小正周期为 ，故 A 正确；
对于 B，由 ，所以 的图象关于 对称，故 B 正确；
对于 C，由 ，则 ，
因为 在 上不是单调递减，所以 在 上不是单调递减，故 C 错误；
对于 D，将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 ，故 D 正
确.
故选：ABD.
11. 在 中， 为 内的一点， ，则下列说法正确的是
（ ）
A. 若 为 的重心，则 B. 若 为 的外心，则
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C. 若 为 垂心，则 D. 若 为 的内心，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，对于 A、C、D：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；
对于 B：利用 展开计算即可．
【详解】在 中， ， ， 为 内的一点，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ， ， ，
对于选项 A：若 为 的重心，则 ， ，则 ，
所以 ，
若 ，由平面向量基本定理可得： ，
解得 ，所以 ，故选项 A 不正确；
对于选项 B：若 为 的外心，其必在直线 上，
所以 ，故选项 B 正确；
对于选项 C：若 为 的垂心，其必在 上，设 ，
则 ，解得 ，
此时 ，
若 ，由平面向量基本定理可得： ，
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解得 ，所以 ，故选项 C 正确；
对于选项 D：若 为 的内心，设内切圆半径为 ，
则 ，得 ，则 ，
此时 ，
若 ，由平面向量基本定理可得： ，
解得 ，所以 ，即选项 D 正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ，则 ____________.
【答案】
【解析】
【分析】已知 ，可借助两边平方带入 、 即可完成求解.
【详解】将 两边平方，得 ，得 .
故答案为： .
13. 已知 ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】观察出 ，然后利用诱导公式求解即可.
【详解】因为 ，所以 .
故答案为：
【点睛】本题考查 是三角函数的诱导公式，较简单.
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14. 对集合 ，其中 ，定义向量集合 ，若对任意
，存在 ，使得 ，则 ______.
【答案】5 或
【解析】
【分析】取 ,则存在 使得 ，由此可以推出 ，继续取
，则存在 使得 ，由此可得 ，则 ，或 ，则
，分类讨论即可求解.
【详解】取 ，则存在 使得 ，从而可得 ，即 ，
所以 一定是一正一负（因为 0 不属于集合 ），不妨令 ，则 ，
所以 ，所以 ，
取 ，则存在 使得 ，从而可得 ，
若 ，则 矛盾，故 不可能同时大于 0，
若 ，则 矛盾，故 不可能同时小于 0，
所以 必定有一正一负，
所以有： ，则 ，或 ，则 ，
情况一：当 ， 时， ，
从而 ，或 （舍去，集合元素间互异），或 ，即 （舍去，与 矛
盾），
此时 （这里不考虑具体 与 的对应关系，因为由加法交换律可知，两个加数
交换位置不影响结果），
情况一：当 ， ， ，
从而 ，即 （舍去，集合元素间互异），或 （舍去，集合元素间互异），或
，即 ，
此时 （这里不考虑具体 与 的对应关系，因为由加法交换律可知，两个加数交
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换位置不影响结果），
综上所述， 或 .
故答案为：5 或 .
【点睛】关键点点睛：关键在于得到 ，且 ，其中 满足： ， ，
或 ， ，由此即可顺利得解.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ，
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1） （2）最大值为 ，最小值为
【解析】
【分析】
（1）根据正弦函数周期公式求解；
（2）根据正弦函数单调性求最值.
【详解】解：（1）最小正周期为 .
（2） ，
.
即 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
【点睛】本题考查正弦函数周期以及最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
16. 如图所示，在 中，D 为 BC 边上一点，且 ．过 D 点的直线 EF 与直线 AB 相交于 E
点，与直线 AC 相交于 F 点（E，F 两点不重合）．
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（1）用 ， 表示 ；
（2）若 ， ，求 的值．
【答案】（1）
（2）3.
【解析】
【分析】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可；
（2）根据（1）的结论，转化用 ， 表示 ，
根据 三点共线找出等量关系；
【小问 1 详解】
在 中，由 ,
又 ，
所以 ，
所以
【小问 2 详解】
因为 ，
又 ，
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所以 ， ，
所以 ，
又 三点共线，且 在线外，
所以有： ，
即 .
17. 已知 ，其中 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦的倍角公式及条件得 ， ，再利用余弦的差角公式即可求出结果；
（2）先根据条件求出 ，构角 ，再利用正弦的差角公式即可求解出结果.
【小问 1 详解】
依题意， ，得到 ，
又 ，所以 ， ，
故
【小问 2 详解】
第 13页/共 18页
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，则 ，
故
.
18. 在 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c， 且
（1）求角 B 的值；
（2）若 ，求 的周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将条件 用正弦定理角化边，再结合余弦定理求得答案；
（2）根据题意，可判断 是锐角三角形，由正弦定理可得 ，
，利用三角恒等变换求出 的范围，进而得解.
【小问 1 详解】
由 ，
可得， ，即 ，
由余弦定理得： ，
因为 ，所以 .
【小问 2 详解】
由 ，则 ， ， ，
所以 均为锐角，
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在锐角 中， ， ，
由正弦定理得： ，
故 ， ，
则
，
因为锐角 中， ，
则 ， ，
解得： ，
故 ， ，
则 ， ，
故 ，
所以三角形周长的取值范围是 .
19. 城市住宅小区的绿化建设是提升小区品质､改善空气质量､创造美丽怡人的居住环境的重要组成部分.如
图 1，长沙市某小区居民决定在小区内部一块半径长为 的半圆形荒地上建设一块矩形绿化园 ，
其中 位于半圆 的直径上， 位于半圆 的圆弧上，记 .
（1）求矩形 面积 关于 的函数解析式，并求该矩形面积的最大值以及取得最大值时 的值.
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（2）部分居民提出意见，认为这样的绿化同建设太过单调，一名居住在本小区的设计师提出了如图 2 的绿
化园建设新方案：在半圆 的圆弧上取两点 ，使得 ，扇形区域 和
均进行绿化建设，同时，在扇形 内，再将矩形区域 也全部进行绿化建设，其中 分
别在直线 上， 与 平行， 在扇形 的圆弧上，请问：与（1）中的原方案相比，
选择哪一种方案所得到的绿化面积的最大值更大？
【答案】（1） ， ，400m2
（2）（2）中新方案的绿化面积最大值比（1）中原方案的绿化面积最大值更大.
【解析】
【分析】（1）作 与 平行，交 于 ，四边形 为矩形，可得
，可求最大值与此时 的值；
（2）作 平行于 ，交 于 于 ，连接 ，设 ，延长 交 于 ，可求
得 ， 进 而 可 得
，可求最大值，比较可得（2）中新方案的绿化
面积最大值比（1）中原方案的绿化面积最大值更大.
【小问 1 详解】
作 与 平行，交 于 ，
与 平行，四边形 为矩形，
，
平分 平分 ，
；
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，
，
当 时，矩形 面积最大，最大面积为 .
【小问 2 详解】
作 平行于 ，交 于 于 ，连接 ，设 ，延长 交 于 ，
平行于 ，交 于 于 ，
，
平分 平分
又 ，由圆的性质，有 ，
，
又 ，得到 平行于 ，显然四边形 为矩形，
故 ，而 ，
，
，
故矩形 面积为
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，
当 时，矩形 面积的最大值为 ，
故新方案的绿化园面积最大值为
，
所以（2）中新方案的绿化面积最大值比（1）中原方案的绿化面积最大值更大.
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