海南省海口市2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份海南省海口市2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.化简的结果是( )
A. 2B. C. 4D.
2.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知二次根式与是同类二次根式，则m的值可以是( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
4.当时，代数式的值是( )
A. 1B. 2C. D.
5.将一元二次方程化成的形式，则b等于( )
A. 3B. 4C. 7D. 13
6.关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和3，则( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
7.用一条长为40cm的绳子围成一个面积为的长方形，a的值不可能为( )
A. 20B. 40C. 100D. 120
8.如图，AD为的角平分线，交AC于点E，若，则等于( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在中，，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC边上的中点，若，，则▱ABCD的周长为( )
A. 9
B. 16
C. 18
D. 20
11.如图，矩形ABCD中，点P是AB边上一动点与点A、B不重合，连接PD，过点D作交BC的延长线于点E，若，则PD：DE的值为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处即米，测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是米，那么路灯A的高度AB是( )
A. 米B. 6米C. 米D. 8米
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若成立，则x的取值范围是______.
14.某药品经两次降价后，每瓶零售价比原来降低了，则平均每次降价的百分率是______.
15.某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1：改为1：如图，若改动后电梯的坡面AC长为13米，则改动后电梯水平宽度增加部分BC长为______米.
16.如图，在纸片中，，，，点D，E分别在AB，AC上，连结DE，将沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分，则AD的长为______.
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题16分
计算：
；
；
18.本小题10分
某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
19.本小题10分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，是的边AB上一点．
画出将向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的，并写出点A、P的对应点、的坐标；
以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出的一个位似，使它与的相似比为2：1，并分别写出点A、P的对应点、的坐标；
判断与，能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．
20.本小题10分
一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他都相同．甲先从袋中随机取出1个小球，记下数字后放回；乙再从袋中随机取出1个小球记下数字．
用画树形图或列表的方法，求取出的两个小球上的数字之和为3的概率；
求取出的两个小球的数字之和大于4的概率．
21.本小题10分
小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量.如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，点A、B、C、D在同一平面内.
填空：______，______；
求点D到点A的距离；
求隧道AB的长结果保留根号
22.本小题16分
如图1，把两个全等的等腰直角和叠放在一起，使的锐角顶点E与的斜边中点重合，其中，，固定不动，将绕点E沿顺时针方向旋转旋转角满足条件：设射线ED与射线BA相交于点P，射线EF与线段CA相交于点
如图1，当射线EF经过点A，即点Q与点A重合时，易证：∽此时，的值为______；
当旋转到图2的位置时，
①的值是否改变？请说明理由；
②与相似吗？请说明理由；
如图3，当时，线段EP交CA于点
①求证：；
②若，求CQ的值.
答案和解析
1.C
解：
故选：
根据算术平方根的性质直接进行计算即可．
本题考查的是算术平方根的定义，把化为的形式是解答此题的关键．
2.C
解：A、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：
根据二次根式的加法、减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.C
解：A、当时，，与不是同类二次根式，故本选项错误；
B、当时，，与不是同类二次根式，故本选项错误；
C、当时，，与是同类二次根式，故本选项正确；
D、当时，，与不是同类二次根式，故本选项错误．
故选：
将各选项的值分别代入，化简后被开方数为3的即为正确答案．
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
4.C
解：当时，
故选
先把x的值代入中，然后利用完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
5.D
解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得
则，
故选：
在本题中，把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：
形如型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
形如型，方程两边同时除以二次项系数，即化成，然后配方．
6.B
解：根据题意得，，
所以，
故选
根据根与系数的关系得到，，然后解一次方程即可得到b与c的值．
本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：，是一元二次方程的两根时，，
7.D
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，找到等量关系并列出方程是解题的关键．
设围成面积为的长方形的长为xcm，由长方形的周长公式得出宽为，根据长方形的面积公式列出方程，整理得，由，求出，即可求解．
【解答】
解：设围成面积为的长方形的长为xcm，则宽为，依题意，得
，整理，得
，
，
解得，
则a的值不可能是
故选：
8.B
解：为的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
故选：
根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，证明∽，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．
9.B
解：过点A作BC的垂线，垂足为M，
，，，
在中，
故选：
过点A作BC边的垂线，构造出直角三角形，再结合余弦的定义即可解决问题．
本题主要考查了解直角三角形及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质及余弦的定义是解题的关键．
10.C
解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
是BC边上的中点，
是的中位线，
，
，
▱ABCD的周长，
故选：
证明OE是的中位线，由三角形中位线定理得出，即可得出▱ABCD的周长．
本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理；熟练掌握平行四边形的性质，由三角形中位线定理得出是解决问题的关键．
11.A
解：四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
，
∽，
，
故选：
根据矩形的性质得到，求得，根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
12.B
解：，
∽，
，即①，
，
∽，
，即②，
，解得，
，解得，
即路灯A的高度AB为
故选
由可判断∽，根据相似三角形的性质得，同理可得，然后解关于AB和BC的方程组即可得到AB的长．
本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
13.
解：要使原式成立，必须，，
解得：，
故答案为：
根据二次根式的定义得出，，求出即可．
本题主要考查对二次根式的定义，二次根式的乘除法等知识点的理解和掌握，能根据法则得出和是解此题的关键．
14.
解：设平均每次降低的百分率是x，
或舍去
故平均每次降低的百分率是
故答案为：
设平均每次降低的百分率是x，根据某药品经过连续两次降价，价格下降了，可列方程求解．
此题主要考查了一元二次方程的应用，这是个增长率问题，经过了两次变化，且结果知道，从而可列方程求解．
15.3
解：在中，：：，米，
由，得，
负值不合题意，舍去，
米，
在中，：：，
米，
米，
故答案为：
在中，已知了坡面AC的坡比以及坡面AC的值，通过勾股定理可求AD，DC的值，在中，根据坡面AB的坡比可求BD的值，再根据即可求解．
此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
16.
解：如图，过点D作于H，
在纸片中，，
由勾股定理得：
将沿DE翻折得，
，，
平分，
，
，
设，
在中，，
，
，
∽，
，
，
，
故答案是：
由翻折得出，，再根据FD平分，得出，然后借助相似列出方程即可．
本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等、对应角相等来解决问题，通过相似表示线段和列方程是解题本题的关键．
17.解：原式
；
原式
；
原式

先化简二次根式，再计算减法即可；
先计算乘除，再计算加法即可；
先代入特殊角的函数值，再计算乘方和除法，最后算加减即可．
本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．
18.解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：，
整理，得，
解这个方程，得，
要使顾客得到实惠，应取
答：每千克水果应涨价5元．
设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利日销售量，依题意得方程求解即可．
解答此题的关键是熟知此题的等量关系是：盈利额=每千克盈利日销售量．
19.解：如图所示，，；
如图所示，，
能关于某一点Q为位似中心的位似图形，；

本题考查作图-位似变换，作图-平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握位似变换、平移变换的性质，属于中考常考题型．
根据平移规律，画出、、即可；
根据位似图形的性质，画出即可；
对应点连线的交点即为位似中心；
20.解：
或
和为；
因为共有9种等可能的情况，和大于4的有3种，
所以和大于
列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.75 90
解；由题意可知：，，
；
故答案为：，；
在中，
米，
答：点D与点A的距离为300米．
过点D作于点E，
甲
和
乙
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
是东西走向，
，，
在中，
米，
在中，
米，
米，
答：隧道AB的长为米．
根据方位角图，易知，，；
解即可求解；
过点D作于点分别解，求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
22.18
解：的锐角顶点E与的斜边中点重合，
是等腰的中线，
，AE平分，
，，
，
∽，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
；
解：①如图，的值不改变．
与是全等的等腰直角三角形，E是BC的中点，，
，，
，
∽，
，
②∽，
，
，
，
∽
①证明：如图，
，，
∽，
，
，
②解：由∽，，
，
过点E作于点
，
，
，，
证明∽，得出，即可推出结果；
①证明∽，得出，即可推出结论；②由∽结合，推出，可推出结论；
①证明∽，得出，推出；②由∽，，得出，过点E作于点由等腰三角形的性质得出，由，，得出，
即可推出结果．
本题是相似综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．