河南省郑州市枫杨外国语中学、朗悦慧外国语、行知中学等联考2024-2025学年下学期八年级第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份河南省郑州市枫杨外国语中学、朗悦慧外国语、行知中学等联考2024-2025学年下学期八年级第一次月考 数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了 下列命题是真命题的是， 如图，点A、B的坐标分别是为等内容，欢迎下载使用。
1. 下列不等式中，是一元一次不等式的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可．
【详解】解：A、该不等式符合一元一次不等式的定义，故此选项不符合题意；
B、该不等式中含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
C、未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故此选项符合题意；
D、该不等式中含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义．一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
2. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可．
本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【详解】A、∵，
∴，
故A选项错误；
B、当时，，
故B选项是错误；
C、∵
∴，
∴，
故C选项错误；
D、∵，
∴，
故D选项正确；
故选：D．
3. 的三边长分别为，，，由下列条件不能判断为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. ，，D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用和三角形的内角和定理．根据三角形内角和定理可分析出A、B的正误；根据勾股定理逆定理可分析出C、D的正误．
【详解】解：A、，，
，
为直角三角形，故A选项不符合题意；
B、设，，，
，
解得：，
则，
不是直角三角形，故B选项符合题意；
C、∵，，，
，
能构成直角三角形,故C选项不合题意；
D、，
，
能构成直角三角形，故D选项不合题意；
故选：B．
4. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 一边对应相等的两个等腰三角形全等
B. 有两边及第三边上的高对应相等的三角形全等
C. 三角形三条边上的高的交点到三个顶点的距离相等
D. 三角形三个内角的角平分线交点到三边的距离相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定、三角形的高和角平分线的性质判断即可．
【详解】解：A、一边对应相等的两个等腰三角形不一定全等，原命题是假命题；
B、有两边及第三边上的高对应相等的三角形不一定全等，原命题是假命题；
C、三角形三条边上的高的交点到三个顶点的距离不相等，原命题是假命题；
D、三角形三个内角的角平分线交点到三边的距离相等，是真命题；
故选：D．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的判定、三角形的高和角平分线的性质等知识，难度不大．
5. 用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空．设有辆货车，3位同学分别列出了关于的不等式组：① ② ③，则正确的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了列不等式组，根据题意分析不等式组即可得到答案．
【详解】解：设有辆货车，用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空．
则① ② ③，都成立，
故选：D
6. 如图，点A、B的坐标分别是为（-3，1），（-1，-2），若将线段AB平移至的位置，与坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（ ）
A. 18B. 20C. 28D. 36
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用平移中点的变化规律求出m，n的值，再根据线段AB在平移过程中扫过的图形面积=四边形的面积=2△的面积求解即可．
【详解】解：∵点A、B的坐标分别是为（-3，1），（-1，-2），若将线段AB平移至的位置，与坐标分别是（m，4）和（3，n），
∴可知将线段AB向右平移4个单位，向上平移3个单位得到的位置，
∴m=1，n=1，
∴与坐标分别是（1，4）和（3，1），
∴线段AB在平移过程中扫过的图形面积=四边形的面积=2△的面积=2××6×3=18，
故选：A．
【点睛】本题主要考查坐标系中线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
7. 若关于方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为 （ ）
A. 5B. 2C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的整数解、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次方程，学会根据不等式组的解的情况求参数是解题的关键．先求出的解为，从而推出，再整理不等式组为，结合不等式组无解得到，最后利用整数的值以及是自然数的条件即可解答．
【详解】解：由，解得，
方程的解为自然数，
，
解得：，
把整理得：，
不等式组无解，
，
，即整数，
是自然数，
或，
则符合条件的整数的值的和为．
故选：C．
8. 数形结合是非常重要的数学思想，利用数形结合可以帮助我们换个角度思考问题．例如我们可以从“图形”的角度来研究一元一次不等式：在解不等式时，我们可以令，，在平面直角坐标系中分别画出函数．和函数 的图象，如图所示，观察图象可知当时，，即，所以原不等式的解集为．请你用以上方法解决下面的问题：已知关于x的不等式的解集是，则下列选项中可能是一次函数图象的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，解题的关键是数形结合思想的应用．
求出直线过，可知当时，一次函数图象在直线的上方，观察图象可得答案．
【详解】解：当时，，
直线过，
不等式的解集是，
当时，一次函数图象在直线的上方，
观察各选项图象可知，符合条件的为，
故选：C．
9. 若一个等腰三角形的一个外角为，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A. B. 或C. 或或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角，等腰三角形的定义等知识，分是底角的外角和顶角的外角讨论即可．
【详解】解：当是底角的外角时，则顶角的外角为，
∴顶角的度数为；
当是顶角的外角，则顶角的度数为；
所以顶角的度数为或，
故选：D．
10. 如图，是等边三角形，是上一点，于点E，F为上一点且，连接垂直平分，交于点H，交于点G，连接、．下列结论中正确的有（ ）
①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④．
A. ①④B. ①②③C. ②③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】由线段垂直平分线的性质可知，即是等腰三角形，故①正确；由题意易证，结合等边三角形的性质，即可证是等边三角形，故②正确；由题意易证，结合平行线的性质即可求出，故③正确；根据，即可判断，故④错误．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，即是等腰三角形，故①正确；
∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故②正确；
∵垂直平分，，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，故④错误．
综上可知正确的结论为①②③．
故选B．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定．熟练掌握各知识点是解题关键．
二．填空题（共5小题，每题3分）
11. 小明和小华两人在一起讨论一个一元一次不等式：
小明：它的所有解都为非负数；
小华：不等式在求解过程中需要改变不等号的方向．
请你写出一个符合上述条件的不等式：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据一元一次不等式的解的概念和不等式的基本性质求解可得．
【详解】解∶符合以上2个条件的不等式可以是（答案不唯一），
故答案为：．
12. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不小于60°，应先假设_____________．
【答案】一个三角形中每个角都小于60°
【解析】
【分析】根据反证法的步骤，先假设结论不成立，即否定命题即可．
【详解】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即一个三角形中每个角都小于60°．
故答案为：一个三角形中每个角都小于60°．
【点睛】本题考查了反证法的知识，掌握反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立是解题的关键．
13. 若关于的不等式组的整数解有且只有一个，则的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解每个不等式，然后根据不等式组的整数解的个数，确定整数解，从而确定a的范围．
【详解】解，
解①得，
解②得，
则不等式组的解集是．
∴，
∴，
∵不等式组有1个整数解，则整数解是0．
∴，
解得：
综上：，
故答案是：．
14. 如图，中，，，，是内一点且平分，若的面积为6，则的面积为______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，勾股定理等知识，根据角平分线的性质得出，结合三角形面积公式可得出，根据勾股定理求出，然后代入数据求解即可．
【详解】解：过E作于M，于N，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
又的面积为6，
∴，
∴，
故答案为：10．
15. 如图，在中，，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点，当是直角三角形时，的长为______．
【答案】4或8
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质， 直角三角形的性质，平行线的性质，根据题意画出图形是解题的关键．
根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到的长度．
【详解】解析：∵，
∵将沿DE翻折，点的对应点为，
如图，当时，点在内，
∵，
∴，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∴；
当时，点F在外，
同理可得，
∴．
故答案为：4或8．
三．解答题（共7小题）
16. 下面是小明解不等式的过程：
①去分母，得，
②移项、合并同类项，得，
③两边都除以，得．
先阅读以上解题过程，然后解答下列问题．
（1）小明的解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ；
（2）错误的原因是 ；
（3）第③步的依据是 ；
（4）写出该不等式的正确解答过程．
【答案】（1）① （2）去分母时，不等式左边第二项没有乘2
（3）不等式的基本性质3
（4），见解析
【解析】
【分析】（1）观察小明解题过程，找出错误的步骤即可；
（2）分析错误的原因即可；
（3）利用不等式的基本性质判断即可；
（4）写出正确的解答即可．
【小问1详解】
解：小明的解题过程从第①步出现错误；
故答案为：①；
【小问2详解】
解：错误的原因是：去分母时，不等式左边第二项没有乘2；
故答案为：去分母时，不等式左边第二项没有乘2；
【小问3详解】
解：第③步的依据是不等式的基本性质3；
故答案为：不等式的基本性质3；
【小问4详解】
解：正确解答为：
去分母得：，
移项、合并得：，
系数化为1得：．
17. 如图所示，的各顶点坐标为，，，将先向上平移3个单位长度，再向右平移四个单位长度，得到．
（1）在图中画出；
（2）直接写出，，的坐标；
（3）如果将看成是由经过一次平移得到的，请直接指出这一平移的平移方向和距离．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）平移方向是由A到的方向，平移的距离是5个单位长度
【解析】
【分析】本题考查的是作图—平移变换
（1）根据题意找到点A，B，C的对应点，，，即可求解；
（2）由（1）先写出，，的坐标，即可；
先画出对应点，再根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可写出各点坐标；
（3）连接，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：，，的坐标分别为；
【小问3详解】
解：连接，
由图可知，
∴如果将将看成是由经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由A到的方向，平移的距离是5个单位长度．
18. 已知，如图，射线平分．
（1）请用尺规作出垂直平分线，交于点，交点，交于点，不写作法保留作图痕迹．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线、三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的尺规作法、利用三角形内角和定理计算角度是解题的关键．
（1）分别以点、为圆心，大于的长为半径，画弧交于两点，连接两个交点，交于点，交点，交于点即可；
（2）根据已知角度，结合三角形内角和定理，求出的度数，根据射线平分，求出的度数，根据直线是的垂直平分线，结合三角形内角和定理，求出的度数即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作的图形；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
又∵射线平分，
∴，
∴，
∵直线是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
19. 宣城市郎溪县是我国绿茶之乡，县内有八万亩茶园．为拓宽销售渠道，进一步向外扩大郎溪县茶叶市场，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的茶叶包装成茶叶礼盒后再出售．已知每件A品种茶叶礼盒比B品种茶叶礼盒的售价少20元，且出售2件A品种茶叶礼盒和1件B品种茶叶礼盒的总价共500元．
（1）求A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为多少元？
（2）已知A、B两种茶叶礼盒每件的成本分别为100元、110元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种茶叶礼盒共100盒，且A品种茶叶礼盒售出的数量不超过B品种茶叶礼盒数量的1.5倍，总成本不超过10500元，一共有多少种满足条件的方案？
（3）在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种茶叶礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
【答案】（1）A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为160元，180元
（2）共有11种满足条件的方案
（3）要使农户收益最大，销售方案为售出A种茶叶礼盒50盒，售出B种茶叶礼盒50盒，最大收益为6500元
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用．
（1）设A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程即可；
（2）设售出A种茶叶礼盒x盒，则售出B种茶叶礼盒盒，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论；
（3）设收益为y元，根据题意结合（2）列出y关于x的一次函数关系式，然后由一次函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：设A、B两种茶叶礼盒每件售价分别为a元，b元，根据题意得，
解得：
答：A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为160元，180元；
【小问2详解】
解：设售出A种茶叶礼盒x盒，则售出B种茶叶礼盒盒，
根据题意得，，
解得：，
∵，为正整数，
共有11种满足条件的方案；
【小问3详解】
解：设收益为y元，
根据题意得，，
，
随x的增大而减小，
当时，y取得最大值，最大值（元），
售出B种茶叶礼盒（盒），
答：要使农户收益最大，销售方案为售出A种茶叶礼盒50盒，售出B种茶叶礼盒50盒，最大收益为6500元．
20. 教材呈现：
我们在教材第28页已经学习过：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．我们可以用演绎推理的数学方法来证明这一定理．
定理证明：
（1）请结合图（1）写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程；
已知：
求证：
证明：
知识应用：
（2）如图（2）在四边形中，，点在边上，平分，平分．
①求证：；
②若四边形的周长为20，面积为26，，则的边上高的长度为 ．
【答案】（1）射线是的角平分线，于，于；；见解析；（2）①见解析；②3.25
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识；构造全等三角形是解题的关键．
（1）由角平分线的性质定理，通过作辅助线构造全等三角形，通过证明三角形全等，得出；
（2）证明，得出，同理，由①得出，得出，设，，，由四边形的周长得出，由四边形的面积得出，求出即可．
【详解】（1）已知：是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别是点D和E；
求证：；
证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①证明：过E作于F，于G，于H，
∵平分，平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
②解：由①得：，
在和中，
，
∴，
∴，
同理：，
由①得：，
∴，
设，，，
∵四边形的周长为20，，
∴，
∴，
∵四边形的面积为30，
∴，
整理得：，即，
∴，
即的边的高的长为3.25．
21. 阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离．
例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或．
例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为 ．
（2）解不等式：．
（3）解不等式：．
【答案】（1）或者
（2）
（3）或者
【解析】
【分析】本题考查了绝对值及不等式的知识． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离．
（1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或求解即可；
（2）先求出的解，再求出的解集即可；
（3）先在数轴上找出的解，即可得出的解集．
【小问1详解】
解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或
∴方程的解为或，
故答案为：或；
【小问2详解】
解：∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点的对应的数为或8
∴方程的解为或
∴的解集为．
【小问3详解】
解：由绝对值的几何意义可知，方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值．
∵在数轴上4和对应的点的距离是6
∴满足方程的x的点在4的右边或的左边
若x对应的点在4的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得
∴方程的解为或
∴的解集为或者．
22. 已知和都是等腰直角三角形，，，．
（1）如图1，连接，，请直接写出线段与的数量关系和位置关系；
（2）若将绕点顺时针旋转，
①如图2，当点恰好在边上时，求证：
②当点，，三点在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长．
【答案】（1）；；
（2）①见解析；②或
【解析】
【分析】（1）通过证明，得出，，在根据三角形外角的性质可证；
（2）①连接，由可证，再两次运用勾股定理可得出结论；
②根据点、、的位置关系，分两种情况考虑，将转化为求的长即可．
【小问1详解】
解： ，；
，
，
在和中，
，
，
，，
如图所示，设交于点，交于点，
，
，
；
【小问2详解】
①证明：如图，连接，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
在中，
，，
，
在中，
，
，
又，，
；
②如图，设交于点，过作于点，
，
，，
，
，
，，，
，，
，
如图，
同理可得：，则，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．