2024-2025学年河北省唐山一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省唐山一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设z(1−i)=2，则|z−|=( )
A. 1B. 2C. 2D. 2 2
2.“k0是z1>z2的充要条件
D. 若z1z2=0，则z1，z2中至少有一个为0
10.△ABC中，BC=2 2，BC边上的中线AD=2，则下列说法正确的有( )
A. |AB+AC|=4B. AB⋅AC为定值
C. AC2+AB2=20D. ∠BAD的最大值为45°
11.我们知道正、余弦定理推导的向量法，是在△ABC中的向量关系AB+BC=AC的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于点D，E，设AB=c，B=c，CA=b，∠ADE=θ，则下列结论正确的有( )
A. a2+b2+c2=2abcsC+2bccsA+2cacsB
B. ccsA+acsC=b
C. asin(B−θ)+bsin(A+θ)=csinθ
D. acs(B−θ)+bcs(A+θ)=ccsθ
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，∠A=π4,AC=2，设BC边长为x，若满足条件的△ABC有且只有一个，则x的取值范围是______．
13.如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=2.点P，Q分别在边BC，CD上，且∠PAQ=45°，则AP⋅AQ的最小值为______．
14.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a2+2b2+3c2=12，则△ABC面积最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a,b的夹角为60°，|a|=1，|b|=2，m=3a−b，n=ta+2b．
(1)若m⊥n，求实数t的取值范围；
(2)是否存在实数t，使得m//n，若存在，求实数t．
16.(本小题15分)
已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且 3asinB−bcsA=b．
(1)求A的值；
(2)若a=2，求2b−c的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥AC，AB⊥BC，AC平分∠BCD．
(1)若∠BAD=5π6，CD=2，求BD；
(2)若BD=CD，求cs∠BCD．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a(csC+ 3sinC)=b+c．
(1)求A．
(2)若b=5，c=2，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，
(Ⅰ)求AM；
(Ⅱ)求cs∠MPN．
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
(1)若cs(A−C)+csB=tanAtanCtanAtanC−1，且△ABC的面积为4 3，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PC的取值范围；
(2)若△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，且PB平分∠ABC，试问是否存在常实数t，使得b2=tac，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
2.C
3.A
4.B
5.A
6.A
7.A
8.B
9.BD
10.ABD
11.ABD
12.{x|x≥2或x= 2}
13.12( 2−1)
14.3 1111
15.解：(1)已知a,b的夹角为60°，|a|=1，|b|=2，m=3a−b，n=ta+2b，
则a⋅b=|a||b|cs60°=1×2×12=1，
由m⊥n，得m⋅n=(3a−b)⋅(ta+2b)=3t|a|2+(6−t)a⋅b−2|b|2
=3t+6−t−8=0，解得t=1；
(2)由m//n，得ta+2b=λ(3a−b)(λ≠0)，
即t=3λ2=−λ，解得t=−6λ=−2，
所以存在实数t=−6，使得m//n．
16.(1)解：因为 3asinB−bcsA=b，
由正弦定理得 3sinAsinB−sinBcsA=sinB，
又因为B∈(0,π2)，可得 3sinA−csA=1，可得2sin(A−π6)=1，即sin(A−π6)=12，
因为A∈(0,π2)，可得A−π6∈(−π6,π3)，所以A−π6=π6，所以A=π3；
(2)解：由(1)知A=π3，且a=2，可得△ABC外接圆的直径2R=asinA=4 3，
又由正弦定理得2b−c=2×4 3sinB−4 3sinC=4 3[2sinB−sin(2π3−B)]
=4 3[2sinB−( 32csB+12sinB)]=4 3⋅(32sinB− 32csB)=4sin(B−π6)，
因为△ABC为锐角三角形，可得0