河北省唐山一中2024-2025学年高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份河北省唐山一中2024-2025学年高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设z(1−i)=2，则|z−|=( )
A. 1B. 2C. 2D. 2 2
2.“k0是z1>z2的充要条件
D. 若z1z2=0，则z1，z2中至少有一个为0
10.△ABC中，BC=2 2，BC边上的中线AD=2，则下列说法正确的有( )
A. |AB+AC|=4B. AB⋅AC为定值
C. AC2+AB2=20D. ∠BAD的最大值为45°
11.我们知道正、余弦定理推导的向量法，是在△ABC中的向量关系AB+BC=AC的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于点D，E，设AB=c，B=c，CA=b，∠ADE=θ，则下列结论正确的有( )
A. a2+b2+c2=2abcsC+2bccsA+2cacsB
B. ccsA+acsC=b
C. asin(B−θ)+bsin(A+θ)=csinθ
D. acs(B−θ)+bcs(A+θ)=ccsθ
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，∠A=π4,AC=2，设BC边长为x，若满足条件的△ABC有且只有一个，则x的取值范围是______．
13.如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=2.点P，Q分别在边BC，CD上，且∠PAQ=45°，则AP⋅AQ的最小值为______．
14.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a2+2b2+3c2=12，则△ABC面积最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a,b的夹角为60°，|a|=1，|b|=2，m=3a−b，n=ta+2b．
(1)若m⊥n，求实数t的取值范围；
(2)是否存在实数t，使得m//n，若存在，求实数t．
16.(本小题15分)
已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且 3asinB−bcsA=b．
(1)求A的值；
(2)若a=2，求2b−c的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥AC，AB⊥BC，AC平分∠BCD．
(1)若∠BAD=5π6，CD=2，求BD；
(2)若BD=CD，求cs∠BCD．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a(csC+ 3sinC)=b+c．
(1)求A．
(2)若b=5，c=2，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，
(Ⅰ)求AM；
(Ⅱ)求cs∠MPN．
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
(1)若cs(A−C)+csB=tanAtanCtanAtanC−1，且△ABC的面积为4 3，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PC的取值范围；
(2)若△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，且PB平分∠ABC，试问是否存在常实数t，使得b2=tac，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意可知，z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，
由共轭复数的定义可知，z−=1−i，
所以|z−|= 12+(−1)2= 2．
故选：C．
根据复数除法运算求出z，然后由共轭复数概念和复数模公式可得．
本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的定义，复数模公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为向量a=(k,2)与向量b=(1,−1)的夹角为钝角，
所以a⋅b