湖南省郴州市2025年高中学业水平合格性考试第一次监测数学试题

这是一份湖南省郴州市2025年高中学业水平合格性考试第一次监测数学试题，共8页。
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共6页，有三道大题，共25道题目，满分100分.考试时间90分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置.
3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.
4.考试结束后，将答题卡小号在上，大号在下，装袋密封上交.
一、单选题（本大题共18题，每小题3分，共计54分.每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. 1B. C. D.
3. 命题：“”是命题：“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 命题：“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
5. 已知为第四象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
7. 恩格斯曾经把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价.根据对数的相关知识，下列四个命题中真命题的个数为（ ）个.
① ②，则
③ ④若，，
A 1B. 2C. 3D. 4
8. 如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（ ）
A. 120°B. 90°C. 60°D. 30°
9 若向量，，，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
10. 函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
11. 函数的最小值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
12. （ ）
A. B. C. D.
13. 已知直线平面，则（ ）
A. 与内所有直线都平行
B. 内不存在直线与垂直
C. 过的平面与必平行
D. 内有无数条直线与垂直
14. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译密码的概率分别为，，则恰有一人能成功破译的概率为（ ）
A. B. C. D.
15. 为了得到函数的图象，则只需将的图象（ ）
A. 向右平移个长度单位B. 向左平移个长度单位
C. 向右平移个长度单位D. 向左平移个长度单位
16. 某校高一年级个班参加广播体操比赛的比赛分数由小到大排列为：、、、、、、、、、，则这组数据的分位数为（ ）
A. B. C. D.
17. 函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
18. 在中，若，，，则角大小为（ ）
A. B. C. D. 或
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）
19. 若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是______.
20. 函数定义域为______.
21. 已知，，则的值为________．
22. 已知向量，，若，则________.
三、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
23. 已知函数.
（1）若为偶函数，求实数的值；
（2）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）若对一切实数都成立，求实数的取值范围.
24. 如图，四棱锥底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点.
（1）求四棱锥的体积；
（2）证明：平面；
（3）证明：.
25. 近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对1000名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示.

（1）求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数；
（2）在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取10名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？
（3）在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取2名学生，求这2名学生来自同一组学生的概率.
郴州市2025年高中学业水平合格性考试第一次监测
数学
（试题卷）
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共6页，有三道大题，共25道题目，满分100分.考试时间90分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置.
3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.
4.考试结束后，将答题卡小号在上，大号在下，装袋密封上交.
一、单选题（本大题共18题，每小题3分，共计54分.每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】D
【10题答案】
【答案】A
【11题答案】
【答案】D
【12题答案】
【答案】A
【13题答案】
【答案】D
【14题答案】
【答案】A
【15题答案】
【答案】B
【16题答案】
【答案】D
【17题答案】
【答案】D
【18题答案】
【答案】D
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）
【19题答案】
【答案】
【20题答案】
【答案】
【21题答案】
【答案】#0.6
【22题答案】
【答案】2或4
三、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【23题答案】
【答案】（1）
（2）或
（3）
【24题答案】
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）证明见解析
【25题答案】
【答案】（1）；平均数；中位数
（2）
（3）