2025年安徽省宿州市第九中学中考数学一模试卷

这是一份2025年安徽省宿州市第九中学中考数学一模试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.用两块完全相同的长方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，是由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格，其中有一”心形“图案.数学小组为了探究“心形”图案的面积，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
根据表中的数据，估计“心形”图案的面积为( )
A. 49B. 50C. 55D. 61
3.已知反比例函数，则下列结论不正确的是( )
A. 反比例函数的图象分别位于第二、四象限
B. 图象关于原点成中心对称
C. 若，为函数图象上两点，且，则
D. 图象关于直线成轴对称
4.如图，格点的顶点放置在正方形网格的格点上，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，AB是的直径，C，D是上的两点，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6.关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于( )
A. B. C. D.
7.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：：1，连接AE交BD于点F，则的面积与的面积之比为( )
A. 3：4
B. 1：3
C. 1：9
D. 9：16
8.如图，四边形ABCD是菱形，，，点P从D点出发，沿运动，过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，设点P运动的路程为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
9.二次函数的图象如图所示，则下列结论中：①；②；③当时，；④对于任意实数m，则有正确的个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10.如图，矩形ABCD中，，，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是( )
A. 2B. 4C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.若，则______.
12.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，，顶点C坐标为反比例函数的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当轴时，k的值是______.
13.如图，AB是的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交于点若，，则BC的长是______.
14.已知与是抛物线上的两点，且
若，则与的大小关系是______；
当与恰好是直线与抛物线两个交点时，若，则a的取值范围是______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题8分
计算：
16.本小题8分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，
画出关于y轴对称的图形；
以O点为位似中心，在原点O的异侧画出与位似，且位似比为2的位似图形，并写出点的坐标；
若点为边上的一点，写出经过第、两题的变换后对应点的坐标.
17.本小题8分
如图，在▱ABCD中，延长BC至点E，使，连接AE，DE，若AE平分，求证：四边形ACED为菱形.
18.本小题8分
如图，为某地下停车库的出入口坡道示意图，其中，，为确保车辆安全驶入须张贴限高标志，请你根据该图提供的数据计算限高CE的值参考数据，，，结果精确到
19.本小题10分
筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水.如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行；设筒车为，与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有，连接AB，求证：
；
为的切线.
20.本小题10分
2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红.
据统计某“巳升升”电商平台2024年12月份的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是万件，若月平均增长率相同，求月平均增长率；
某实体店“巳升升”的进价力每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件，经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则售价应降低多少元？
21.本小题12分
为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：跳绳；篮球；排球；足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加.全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩个/分钟绘制成频数分布直方图.
若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______；
根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中 D项目所占圆的圆心角为______度；
学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率.
22.本小题12分
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，点D的横坐标为3，轴，垂足为
写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式；
是反比例函数图象上的一个动点且在点D右侧，过点M作轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由.
23.本小题14分
如图，直线与x轴、y轴分别交于点A与点B，抛物线经过点A、B，在线段OA上有一动点，点D不与点O，A重合，过点D作x轴的垂线分别交直线AB于点C，交抛物线于点
求抛物线的函数表达式；
当点C是DE的中点时，求m的值；
过点E作，垂足为点F，当点E坐标为多少时，线段EF的长最大，最大值为多少？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：从物体正面看，左边1列、右边1列上下各一个正方形，且左右正方形中间是虚线，
故选：
根据主视图的定义，找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
2.【答案】B
【解析】解：估计“心形”图案的面积为，
故选：
总面积乘以落在“心形线“内部的频率稳定值即可．
本题主要考查利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
3.【答案】C
【解析】解：A、，图象位于第二、四象限，故本选项不符合题意；
B、图象关于原点成中心对称，故本选项不符合题意；
C、没有说明两点在第几象限内，不能判断与的大小，故本选项符合题意；
D、图象关于直线成轴对称，故该选项不符合题意；
故选：
根据反比例函数的图象和性质分别判断即可．
本题主要考查了反比例函数的图象和性质，能熟练地根据反比例函数的图象和性质进行判断是解此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：如图，连接CD，则，
由图可知：，
故选：
连接CD得到是直角三角形，，于是即可求解．
本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的三角函数定义．
5.【答案】A
【解析】解：如图所示，连接OC，
是的直径，，
，
，
，
故选：
如图所示，连接OC，由圆周角定理得到，由平角的定义可得，则由圆周角定理可得
本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆或等圆中，同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
为锐角，
故选：
由一元二次方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出，再由为锐角，即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及特殊角的三角函数值，解题的关键是求出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程不等式或不等式组是关键．
7.【答案】D
【解析】解：四边形ABCD为平行四边形，
，
∽，
：：1，
：：4，
：：4，
：：
故选：
可证明∽，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
8.【答案】D
【解析】解：由题意得，当时，；
当时，如图1，
过A作于点E，则，
，
，
，
；
当时，如图2，
过A作于点E，过P作于点F，则，，，
，，
，，
，
，
综上可知，当时，函数图象是开口向上的抛物线；当时，函数图象是从左到右呈上升趋势的线段；当时，函数图象是开口向上的抛物线，
符合上述特征的只有D，
故选：
分P点在AD、AB、BC边上时的三种情况，分别求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断．
本题综合考查了菱形性质和一次函数图象及性质，二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：由题意，抛物线的开口向上，且图象与y轴交于负半轴，
，
又抛物线的对称轴是直线，
，，故①②正确．
抛物线过，且对称轴是直线，
抛物线与x轴的另一个交点为
又抛物线的开口向上，
当时，
当时，，故③正确．
由题意，当时，y取最小值为，
对于任意实数m，则有，故④正确．
综上，正确的有①②③④共4个．
故选：
依据题意，根据抛物线的对称轴是直线，结合图象过，且抛物线的开口向上，再结合二次函数的性质，从而逐个判断可以得解．
本题二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能结合图象和二次函数的性质分析是关键．
10.【答案】D
【解析】解：如图：
当点F与点C重合时，点P在处，，
当点F与点E重合时，点P在处，，
且，
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有，
由中位线定理可知：且，
点P的运动轨迹是线段，
当时，PB取得最小值，
矩形ABCD中，，，E为AB的中点，
、、为等腰直角三角形，，
，，
，
，
，即，
的最小值为的长，
在等腰直角中，，
，
的最小值是，
故选：
根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故BP的最小值为的长，由勾股定理求解即可．
本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
11.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为
根据已知条件得出，再代入式子进行计算即可得出答案．
本题考查比例的性质．
12.【答案】
【解析】解：过点C作轴于点E，
顶点C的坐标为，
，，
菱形ABOC中，，
，，
轴，
，
点D的坐标为：，
反比例函数的图象与菱形对角线AO交D点，
，
故答案为
首先过点C作轴于点E，由，顶点C的坐标为，可求得OC的长，又由菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，可求得OB的长，且，继而求得DB的长，则可求得点D的坐标，又由反比例函数的图象与菱形对角线AO交D点，即可求得答案．
此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意准确作出辅助线，求得点D的坐标是关键．
13.【答案】2
【解析】解：，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
是的直径，
，，
，
故答案为：
由垂径定理得到，设，则，在中，由勾股定理得，解得，由AB是的直径得到，，则
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】> 且
【解析】解：抛物线解析式为，
抛物线对称轴为直线，
，
点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离，
，
抛物线开口向下，
离对称轴越远函数值越小，
，
故答案为：>；
联立得，
解得或，
，，
，
，
且，
故答案为：且
先求出抛物线对称轴为直线，再由得到点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离，结合抛物线开口向下，可得离对称轴越远函数值越小，据此可得答案；
联立两函数解析式可得，，进而可得不等式，解之即可得到答案．
本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点，掌握二次函数的性质是关键．
15.【答案】
【解析】解：
先化简负整数指数数，绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减运算，即可得到结果．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
16.【答案】见解答．
画图见解答；点的坐标为

【解析】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为
经过题变换后点的对应点的坐标为，
经过题变换后点的对应点的坐标为
根据轴对称的性质作图即可．
根据位似的性质作图，即可得出答案．
结合轴对称的性质、位似的性质可得答案．
本题考查作图-位似变换、作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质、位似的性质是解答本题的关键．
17.【答案】证明见解析．
【解析】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，，
四边形ACED为平行四边形，
平分，，
，，
，
，
平行四边形ACED为菱形．
由平行四边形的性质得，，再证明，，则四边形ACED为平行四边形，进而证明，然后由菱形的判定即可得出结论．
本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
18.【答案】CE的长约为
【解析】解：在中，，，，
，
在中，，，，
，
答：CE的长约为
在中，根据直角三角形的边角关系求出BD，进而求出CD，再在中求出CE即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
19.【答案】见解析； 见解析．
【解析】证明：，
，
又，
∽，
，
连接AO 并延长交 于M，连接BM，
为的直径，
，
，
又，
，
，
为的切线．
根据可证∽，可以得到；
连接AO 并延长交 于M，根据AM为的直径可以得到，继而得到，利用等量代换即可证明AD为的切线；
本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】；
20元．
【解析】解：设月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去
答：月平均增长率是；
设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽量减少库存，
答：售价应降低20元．
设月平均增长率为x，利用该“巳升升”电商平台2025年2月份的销售量=该“巳升升”电商平台2024年12月份的销售量月平均增长率相同，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售后获得的利润=每件的销售利润日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21.【答案】；
；
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
甲和乙同学同时被选中的概率为
【解析】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第3和第4的为162和162，
该组数据的中位数是
该组数据中出现次数最多的为162，
该组数据的众数为
故答案为：162；
全校的男生人数为人，
选择B项目的男生共有人
扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为
故答案为：175；
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
甲和乙同学同时被选中的概率为
根据中位数和众数的定义可得答案．
先用选择A项目的男生人数除以扇形统计图中A的百分比可得全校的男生人数，再用全校的男生人数乘以扇形统计图中B的百分比可得选择B项目的男生人数；用乘以扇形统计图中D得百分比即可．
画树状图得出所有等可能的结果数以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、频数率分布直方图、扇形统计图、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数和众数的定义是解答本题的关键．
22.【答案】解：由条件可知：
一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点D的横坐标为3，
，，，
在反比例函数上，
，
，
反比例函数的解析式为；
如图，于F，
，
点M、E、F为顶点的三角形与相似，M在D的右侧，
当∽时，
设，
，
解得：，不符合题意，舍去，
，
当∽时，
，
解得：，不符合题意，舍去，
，
综上：或
【解析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键．
由一次函数的，，，分别求解对应的y，x，从而可得点A、B、D的坐标，再代入D的坐标可得反比例函数解析式；
于F，证明，由M在D的右侧，分两种情况：当∽时，设，当∽时，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
23.【答案】；
；
当点E的坐标为时，线段EF的长最大，最大值为
【解析】解：直线与x轴、y轴分别交于点A与点B，
当时，；时，，
，，
将点，的坐标代入抛物线中，
得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为：；
如图1，轴，交直线AB于点C，交抛物线于点E，且，
，，
，
点C是DE的中点，
，
，
解得：，，
点D不与O，A重合，
，舍去，
；
如图2，连接BE，AE，
的长度不变，
当的面积最大时，EF的长最大，
，
，
当时，的面积最大是4，此时点E的坐标为，
由勾股定理得：，
，
，
，
综上，当点E的坐标为时，线段EF的长最大，最大值为
利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
根据函数的解析式，可得，，表示出EC的长，根据可得出关于m的方程，解方程求出m的值即可；
连接AE，BE，根据三角形的面积公式即可解答．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，勾股定理，线段的中点等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形解决问题，学会利用参数表示线段的长解决问题，属于中考压轴题．试验总次数
100
200
300
500
1500
2000
3000
落在”心形线”内部的次数
61
93
165
246
759
966
1503
落在“心形线“内部的频率