06（天津专用）-2025年高考数学模拟卷

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
10． 11． 12．
13． 14. ； /
15.
三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（14分）
【答案】(1)
(2)，
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、由向量共线（平行）求参数
【分析】（1）利用平行向量的坐标关系得，结合正弦定理与角度关系，即可得角；
（2）根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可.
【详解】（1）因为向量，，且
所以，由正弦定理得，
又，则，显然，
则，又，所以.
（2）由余弦定理得，
整理得，解得或（舍），
所以的面积.
17．（15分）
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、证明线面平行
【分析】（1） 根据空间向量法结合线面平行判定定理证明；
（2）应用空间向量法求出线面角正弦值.
【详解】（1）

依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），
可得，，，，，，.
因为，，，
设为平面的法向量，
则即，
不妨令x=1，可得为平面的一个法向量，
，则，又平面，
则平面；
（2）因为，，，
设为平面的法向量，
则即，
不妨令，可得为平面的一个法向量，
则，
则直线与平面所成角的正弦值为.
18．（15分）
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
【分析】（1）由题意可得出关于的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆的方程；
（2）由题可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，求出线段的垂直平分线的方程，可求得点的坐标，由可得，利用两点间的距离公式可求得的值.
【详解】（1）由题设得，解得，，，
所以椭圆的方程为.
（2）
由，得，
由，得，
设Ax1,y1、Bx2,y2，则，，
所以点的横坐标，纵坐标，
所以直线的方程为，
令，则点的纵坐标，则，
因为，所以点、点在原点两侧，
因为，所以，所以，
又因为，，
所以，解得，所以.
19．（15分）
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】错位相减法求和、根据数列的单调性求参数、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据条件得到，从而得出数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列，即可求出结果；
（2）根据（1）中结果，得出时，，再利用错位相减法，即可求出时，，进而可求出结果；
（3）将问题转化成，当时，，当时，通过构造，利用数列的单调性，得出，进而可求出结果.
【详解】（1）因为①，
当时，②，
由①②得，整理得到，
又由，当时，得到，即，
故数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，即，又时，，
所以.
（2）由（1）知，当时，，
当时，③，
④，
由③④得到，
整理得，又时，，
所以.
（3）因为，等价于，当时，，
由（1）知，当时，，
设，则对恒成立，
所以，故当时，，又，
所以.
20．（16分）
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】（1）求导，结合函数定义域为，分参数，来讨论导函数的符号即可；
（2）先根据导数的几何意义写出两条切线，联立切线得到的表达式，为证明题干只需证明，然后转化成双变量问题的不等式处理，接着通过换元：，把双变量问题转化成单变量问题解决；
（3）利用（1）的结论进行辅助证明.
【详解】（1）的定义域为，
当时，，在上单调递减；
当时，令，又因为，可解得
单调递增，
单调递减；
（2）因为函数有两个零点,而单调函数至多只有一个零点，根据（1）可知.
， 所以曲线在和处的切线分别是：
.
联立两条切线解得：.
要证小于和的等差中项，即证，整理得：
由题意得
即证
令，即证.
令.
所以在单调递减，所以
所以得证，故小于和的等差中项得证.
（3）由（1）知当时，所以，即 .
即当时，，将不等式累加后，得到：
，
即.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B
D
B
B
D
D.
B
B
B