08（浙江专用）-2025年高考数学模拟卷

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．。
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 【答案】266 13. 【答案】（﹣∞，−3]∪[3，+∞）． 14. 【答案】：63．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）【答案】见试题解答内容
【解】（Ⅰ）证明：过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，可得四边形BCGE为矩形．····2分
又ABCD为矩形，所以AD⊥∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG．····2分
因为AE⊄平面DCF，DG⊂平面DCF，所以AE∥平面DCF．····1分
（Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．····1分
由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF，····3分
所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角．····1分
在Rt△EFG中，因为EG＝AD=3，EF=2，所以∠CFE=60°，FG=1．····1分
又因为CE⊥EF，所以CF＝4，从而BE＝CG＝3．于是BH＝BE•sin∠BEH=332．····2分
因为AB＝BH•tan∠AHB，所以当AB=92时，二面角A﹣EF﹣G的大小为60°．······1分
16．(15分)【答案】（1）0.4；（2）P2=213−49；（3）n取工厂的总产量时，E（M）取最大值．
【解】：（1）由题意知X～B（10，P1），则E(X)=10P1=4D(X)=10P1(1−P1)=2.4，解得P1＝0.4；····3分
（2）由Y～B（20，P2），则P(Y=k)=C20kP2k(1−P2)20−k(k=0，1，2，⋯，20)，····2分
由P（Y＝6）＝P（Y＝8）得，C206⋅P26⋅(1−P2)14=C208⋅p28⋅⋅(1−P2)12，····2分
化简可得C206C208=P22(1−P2)2，即413=P22(1−P2)2，解得P2=213−49；····3分
（3）由题意知，M～B（n，P1+P2），又P1＝0.4，P2＝0.3，····2分
所以M～B（n，0.7），则E（M）＝0.7n，····2分
当n增大时，E（M）也增大，所以，当n→+∞，E（M）→+∞，故M的数学期望没有最大值．
但在实际情境中，n的取值是有限的，比如取工厂的总产量时，E（M）取最大值．····1分
17．（15分）【答案】（1）a∈[0，e2]；（2）见解析．
【解】：（1）因为f（x）＝ex﹣ax2，求导得f′（x）＝ex﹣2ax，····1分
令f′（x）＝0，即exx=2a，····1分
亦为等式两边函数的图象的交点横坐标，设g（x）=exx，····1分
则g′（x）=ex(x−1)x2，····1分
当x＜0以及0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，
则函数g（x）在（﹣∞，0）和（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，····1分
大致图象如图所示：∵函数f（x）＝ex﹣ax2没有极值点，∴0≤2a≤e，∴0≤a≤e2；····1分
（2）设m（x）＝lnx﹣x+1（x＞0），则m′（x）=1x−1=1−xx，····1分
当0＜x＜1时，m′（x）＞0；当x＞1时，m′（x）＜0，
所以m（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，····1分
所以m（x）max＝m（1）＝0，所以lnx﹣x+1≤0，所以lnx≤x﹣1，
要证明ex﹣ax2﹣xlnx﹣1＞0，
先把不等式左边看成关于a的一次函数h（a），显然h（a）单调递减，h（a）min＝h（1），······1分
即证ex﹣x2﹣xlnx﹣1＞0．再消去对数，由不等式ln≤x﹣1，x＞0，······1分
则只需证ex﹣x2﹣x（x﹣1）﹣1＞0（x＞0），等价于证明2x2−x+1ex−1＜0，······1分
令n（x）=2x2−x+1ex−1，
求导n′（x）=(x−2)(1−2x)ex，······1分
此时x∈（0，12），n′（x）＜0，n（x）单调递减；x∈（12，2），n′（x）＞0，n（x）单调递增；x∈（2，+∞），n′（x）＜0，n（x）单调递减．······2分
而n（0）＝0，n（2）=7e2−1＜0，······1分
∴n（x）＜0，原不等式成立，证毕！
18． 【解】：（Ⅰ）∵a1a2a3…an=(2)bn（n∈N*） ①，
当n≥2，n∈N*时，a1a2a3⋯an−1=(2)bn−1 ②，······1分
由①②知：an=(2)bn−bn−1，令n＝3，则有a3=(2)b3−b2．······2分
∵b3＝6+b2，∴a3＝8．∵{an}为等比数列，且a1＝2，∴{an}的公比为q，则q2=a3a1=4，······2分
由题意知an＞0，∴q＞0，∴q＝2．∴an=2n（n∈N*）．······1分
又由a1a2a3…an=(2)bn（n∈N*）得：21×22×23⋯×2n=(2)bn，
2n(n+1)2=(2)bn，∴bn＝n（n+1）（n∈N*）．······2分
（Ⅱ）（i）∵cn=1an−1bn=12n−1n(n+1)=12n−(1n−1n+1)．······2分
∴Sn＝c1+c2+c3+…+cn
=12−(11−12)+122−(12−13)+⋯+12n−(1n−1n+1) =12+122+⋯+12n−(1−1n+1)
=1−12n−1+1n+1 =1n+1−12n；······2分
（ii）因为c1＝0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，cn=1n(n+1)[n(n+1)2n−1]，······2分
而n(n+1)2n−(n+1)(n+2)2n+1=(n+1)(n−2)2n+1＞0，得n(n+1)2n≤5⋅(5+1)25＜1，······2分
所以，当n≥5时，cn＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4．······1分
19． 【解】：（Ⅰ）解：因为直线l：x﹣my−m22=0，经过F2（m2−1，0），
所以m2−1=m22，得m2＝2，·····1分
又因为m＞1，所以m=2，
故直线l的方程为x−2y﹣1＝0．·····2分
（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由x=my+m22x2m2+y2=1，消去x得
2y2+my+m24−1＝0·····2分
则由Δ＝m2﹣8（m24−1）＝﹣m2+8＞0，知m2＜8，·····2分
且有y1+y2=−m2，y1y2=m28−12．·····1分
由于F1（﹣c，0），F2（c，0），故O为F1F2的中点，
由AG→=2GO→，BH→=2H0→，可知G（x13，y1，3），H（x23，y23）·····1分
|GH|2=(x1−x2)29+(y1−y2)29·····1分
设M是GH的中点，则M（x1+x26，y1+y26），·····1分
由题意可知2|MO|＜|GH|·····1分
即4[（x1+x26）2+（y1+y26）2]＜(x1−x2)29+(y1−y2)29即x1x2+y1y2＜0·····2分
而x1x2+y1y2＝（my1+m22）（my2+m22）+y1y2＝（m2+1）（m28−12）·····2分
所以（m28−12）＜0，即m2＜4，又因为m＞1且Δ＞0，所以1＜m＜2．·····1分
所以m的取值范围是（1，2）．
1
2
3
4
5
6
7
8
C
C
C
D
A
D
A
B
9
10
11
AC
AD
ABD