安徽省安庆市部分示范高中2024-2025学年高一下学期第一次联考月考数学试卷（解析版）

这是一份安徽省安庆市部分示范高中2024-2025学年高一下学期第一次联考月考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 已知，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】因为，所以，即．
故选：A．
2. 瑞士数学家欧拉发现的欧拉公式：，其中为虚数单位，是自然对数的底数．公式非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来．根据欧拉公式，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
，
因为，所以当时，的最大值为2.
故选：D.
3. 如图，在中，，，，则（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】C
【解析】因为，所以，
即，
所以，即，
因为，
所以
.
故选：C.
4. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ）
A. 正三角形B. 等腰三角形
C. 直角三角形D. 钝角三角形
【答案】B
【解析】由几何意义知，对应向量在的角平分线上，
由，即的角平分线与边垂直，
所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形.
故选：B.
5. 记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A. 1B. C. D. 3
【答案】A
【解析】由函数的最小正周期T满足，
得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以.
故选：C.
7. 已知向量、满足：，，向量与向量的夹角为，则的最大值为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】由，
故，即，
如图，设，则是等边三角形，
向量满足与的夹角为， ，
因为点在外且为定值，
所以的轨迹是两段圆弧，是弦AB所对的圆周角，
因此：当是所在圆的直径时，取得最大值，
在中，由正弦定理可得：，故取得最大值4.
故选：D.
8. 如图，在中，，，与交于点，过点作直线，分别交，于点，，若，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】因三点共线，则存在，使，
因，则点为的中点，故，
又点在上，故，解得，故①，
因三点共线，则存在，使得②，
由①，②可得，消去，即得，即，
于是，
当且仅当时，的最小值为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知都是复数，下列选项中正确的是（ ）
A 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BD
【解析】对于选项A，取，，则，，
满足，但，则A不正确；
对于选项B，设，，
因为，所以不同时为0，
，则B正确；
对于选项C，取，，满足，则C不正确；
对于选项D，因为，所以，所以或，
则，则D正确．
故选：BD．
10. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. 与的图象关于直线对称
B. 与的图象关于点对称
C. 当时，
D. 当时，与的图象恰有4个交点
【答案】ACD
【解析】由题得，，
A：与的图象关于直线对称的函数为
，故A正确；
B：当时，，
，所以与的图象不关于点对称，故B错误；
C：，
当时，，
令，则，在上恒小于0，
所以在上恒大于0，即，即，故C正确；
D：令，即，
得（无解）或，
解得，
又，所以，
解得（），所以，
即函数图象共有4个交点，故D正确.
故选：ACD.
11. 在，角的对边分别为，且的面积满足，为的外心．若，下列结论中正确的有（ ）
A B.
C. D.
【答案】AB
【解析】对于A，由，得，
由余弦定理得，即，
得，又，故，
∴，即，所以A正确；
对于B，，所以B正确；
对于D，如图，分别取的中点，连接，，
所以，
，
，所以D错误；
对于C，，
由，可知，
得，解得：，，故，所以C错误．
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则__________.
【答案】
【解析】因为是关于的实系数方程的一个复数根，
所以是关于的实系数方程的另一个复数根，
因此.
13. 已知中，，，，为的外心，若，则的值为____________.
【答案】
【解析】由题意可知，为的外心，
设半径为r，在圆O中，过O作，垂足分别为，
因为 ，两边乘以，即，
的夹角为，而，
则 ，得①，
同理两边乘 ，即，，
则 得②，
①②联立解得，，所以.
14. 如图，在中，点在线段上，且，，则的面积的最大值为______.
【答案】
【解析】因为，，又，，
所以，
又，
所以，
又，的面积.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
15. 已知复数．
（1）若，求；
（2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小．
解：（1），
.
（2）依题意向量，
于是有，
，
为与的夹角，
，
，.
16. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）求csA+csB+csC的取值范围．
解：（1）[方法一]：余弦定理
由，得，即.
结合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵为锐角三角形，∴，
∴，
所以，
又B为的一个内角，故.
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由，结合正弦定理可得：，
为锐角三角形，故.
（2）[方法一]：余弦定理基本不等式
因为，并利用余弦定理整理得，即.
结合，得.
由临界状态（不妨取）可知.
而为锐角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化简得
故的取值范围是.
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合（1）的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角大小；
（2）若的角平分线交于D，且，求面积的最小值．
解：（1）由余弦定理，得，即，
整理得， 所以，
又，所以．
（2）因为，所以．
因为，即，
当且仅当时等号成立，
所以．故面积的最小值为．
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
解：（1）因为，
由正弦定理可得，
，
，则，，又，.
（2）在中，由正弦定理，
，
，
又为锐角三角形，，
，，，，
，
故周长的取值范围为．
19. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，
（1）请用来表示平行四边形的面积；
（2）若.
①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值；
②记（其中），求的取值范围.
解：（1）过点作的垂线，垂足为，在中，，
在中，，则，
所以，
所以
（2）①若，由题意可得，
由（1）知：，
故平行四边形的面积
，
由于，故，
故当时，即时，取得最大值为.
②根据题意，建立如图所示的坐标系，则，即，
又，则，
因，即，
则，，
解得：，，，
由点是弧上一动点，则，则，
所以，即.则的取值范围为.