河南省郑州市高新区2024-2025学年九年级下学期第一次联考月考数学试卷（解析版）

这是一份河南省郑州市高新区2024-2025学年九年级下学期第一次联考月考数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)
1. 2的绝对值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】．
故选A．
2. 近十年来，我国扎实开展国土绿化行动，持续推进科学绿化，累计完成国土绿化面积亿亩，其中亿用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】亿，，
故选：B．
3. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵 横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由几何体可得，从左边看到的平面图形为，
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A.，运算错误，不符合题意；
B.， 运算错误，不符合题意；
C.运算正确，符合题意；
D.运算错误，不符合题意．
故选：C．
5. 如图，已知，于点F，平分，若， 则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设与相交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故选：D．
6. a，b，c是三个连续的正偶数，以b为边长的正方形面积的为，分别以a，c为长和宽的长方形的面积为，则与的数量关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵a，b，c是三个连续的正偶数，
∴可设，则，，
∴，，
∴，
故选：D．
7. 如图， 四边形内接于，连接． 若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵与所对的弧都是，
∴．
故选：D．
8. 下面的三个问题中都有两个变量：
①某水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，小时后，这个水池有水；
②某电信公司手机的类收费标准为：每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元计．若一个月的通话时间为，应缴费用为元；
③用长度为1的铁丝围成一个矩形，设矩形的面积为，其中一边长．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
【答案】A
【解析】①由题意得，，故变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示；
②由题意得，，故变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示；
③用长度为1的铁丝围成一个矩形，设矩形的面积为，其中一边长．
则，此函数是二次函数，不能用如图所示的图象表示．
所以变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．
故选：A
9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O为坐标原点，，C是斜边的中点，且交x轴于点D．将沿x轴向右平移得到，当的中点E恰好落在y轴上时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D. (7， 0)
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，
∴；
∵C是斜边的中点，
∴，
∵，
∴在中，，
由平移的性质可得，，
∴，
∵点E为的中点，∴，
在中，，
∴，∴，
故选：A．
10. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，的高，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当点运动到点处时，，∴，
当点运动到点处时，，
∴，
过点作于点，如图，
当点运动到点处时，最短，
由等面积得：，∴，
∴点的纵坐标为，
在中，，
∴，
∴点的横坐标为，
∴点坐标，
故选：D．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. 平面上两条直线的位置关系是_______或_______．
【答案】 相交 平行
【解析】在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交或平行．
故答案为：相交、平行．
12. 不等式组的解集是_________________．
【答案】
【解析】，
解①得：x＞-5，
解②得：x＜-2，
则不等式组的解集是：-5＜x＜-2．
故答案是：-5＜x＜-2．
13. 人类的性别由一对染色体决定，称为性染色体．女性的性染色体是一对同型的染色体、用表示，男性的性染色体是一对异型的染色体，用表示，每个人的成对染色体只有一个能遗传给后代，且可能性相等．则一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是_______．
【答案】
【解析】一对夫妇的第一个孩子有女孩和男孩两种情况，
所以一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是，
故答案为：．
14. 如图，在中，，点O在边上，，以点O为圆心，长为半径作半圆，恰好与相切于点D，交于点E，则阴影部分的面积为_______
【答案】
【解析】连接，作于点H，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵与与相切于点D，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积==，
故答案：．
15. 如图，在菱形中，，将边绕点A顺时针旋转 ()得到，连接，当为直角三角形时，的度数为_______
【答案】或
【解析】∵为直角三角形，
∴①当时，点在以为圆心，长为半径的圆上，
∴为的直径，
∵菱形，，
∴和是等边三角形，
∴，∴，
∴旋转角的度数为：；
②当时，则为的直径，
∵，∴，
∵，，∴，∴，
∴旋转角的度数为：；
③当时，以为直径的圆与除外无交点，
∴此种情况不存在，
综上所述：的度数为或．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16. （1）计算：；
（2）化简：．
解：（1）原式；
（2）原式．
17. 某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为310元，370元，580元．洛洛打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
（1）洛洛已经对A，C型号汽车数据统计如表，请继续求出B型号汽车行驶里程的平均数、中位数和众数；
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的租车建议．
解：（1）型号汽车行驶里程的平均数是：
，
把这20个数据按从小到大的顺序排列，第10，11个数据均为，所以中位数为；
出现了六次，次数最多，所以众数为；
（2）选择型号汽车，理由如下：
型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于，且只有的车辆能达到行程要求，故不建议选择；
型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过，其中型号汽车有符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且型号汽车比型号汽车更经济实惠，故建议选择型号汽车．
18. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点．
（1）求k，m的值；
（2）已知点P为直线在第一象限上的一个动点，且点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，当时，求a的值；
（3）观察图象，直接写出当时，a的取值范围．
解：（1）∵点在直线上，
∴，
∴，
∵在反比例函数图象上，
∴，
∴．
（2）由（1）可知，反比例函数解析式为，
设点P坐标为，则，
∴，
∴，
解得：或（舍去）或或（舍去），
∴或，
（3）由图象可知，当时，或．
19. 随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：
（1）当购物金额为90元时，选择超市 （填“A”或“B”）更省钱；当购物金额为120元时，选择超市 （填“A”或“B”）更省钱；
（2）当购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
（3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为（注：优惠率=购物金额-实付金额）．若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．
解：（1）当购物金额为90元时，在超市购物实付金额(元)，在超市购物实付金额90元，
∵，
∴当购物金额为90元时，选择超市更省钱；当购物金额为120元时，在超市购物实付金额(元)，在超市购物实付金额(元)，
，
∴当购物金额为120元时，选择超市更省钱．
故答案为：．
（2）当时，在超市购物实付金额；
当时，在超市购物实付金额；
当时，在超市购物实付金额；
∴在超市购物实付金额，
当时，；
当时：；
当时：
若，解得；
若，解得；
若，解得．
综上，当或时，在超市购物更省钱；
当或时，在超市购物和超市购物实付金额一样多，任选一家即可；
当时，在超市购物更省钱．
（3）在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．
举例说明如下：
当在超市购物金额为100元时，返40元，
实付金额为(元)，
优惠率为；
当在超市购物金额为160元时，返40元，
实付金额为(元)，
优惠率为，
∴在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．
20. 风是一种可再生能源．利用风能进行发电既可以提供持续的电力供应，又可以减少温室气体排放，抑制全球气候变暖，还可以增加能源供应的多样性，降低对传统能源的依赖．某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶， ， 两两所成的角为 ，当其中一片风叶与塔干 叠合时，在与塔底 O 水平距离为 米的 E 处，测得塔顶部 A 的仰角． ，风叶 的视角 ，求风叶 的长度（结果精确到．参考数据：）
解：如图，自点B作，垂足为点F，过点A作，垂足为点G．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
由已知，
∴，
在中，．
∵，
∴，
又，则，
∴，则．
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，则，
∴．
答：风叶的长度约为．
21. 在平面直角坐标系中，设二次函数（b，c为常数）．
（1）写出一组b，c的值，使抛物线与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（2）若抛物线经过，．
①求抛物线的表达式，并写出顶点坐标；
②设抛物线与y轴交于点A，点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，点为抛物线上点A，B之间（不含点A，B）的一个动点，求点P的纵坐标n的取值范围．
解：（1），理由如下：
由题意，
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴Δ=b2-4×-1×c>0，
即，
可取，代入，
则Δ=32-4×-1×2=17>0，满足题意．
（2）①由题意，抛物线经过，，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为．
∵，
∴顶点为，
②由题意，对于，
令，则，∴，
∵点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，
∴或，
∴当时，；或当时，，
∴或，
a、当在，之间时，
∵抛物线开口向下，
又当时，y取最大值为4，
∴；
b、当在，之间时，
∴抛物线开口向下，
又对称轴是直线，且，
∴此时y随x的增大而增大，
∴，
综上，且．
22. 如图1，⊙O与直线l相离，过圆心O作直线l的垂线，垂足为P，且交于两点（M在之间）．我们把点N称为关于直线l的“远望点”，把的值称为关于直线l的“远望数”．

（1）如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为，过点E画垂直于x轴的直线a，则半径为1的关于直线a的“远望点”的坐标是________，关于直线a的“远望数”为________；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C坐标为，以点C为圆心、长为半径作．若与直线相离，点O是关于直线的“远望点”，且关于直线的“远望数”是求直线的函数表达式．
解：（1）根据“远望点”定义，可得半径为1的关于直线a的“远望点”的坐标是，
∴关于直线a的“远望数”为.
（2）设直线的解析式为
连接并延长，交于H，交直线于点G，过C作轴于点D，设，

∵点C坐标为，，
∵O是关于直线的“远望点”，且关于直线的“远望数”是，
即，，
∵点C坐标为，轴于点D，
，
，
，
，
∴，
，即，，，
同理得，
即，
，
，
∴，解得，
∴直线的函数表达式为.
23. 如图，的三边长分别为，，， 的三边长分别为，，，，相似比为（为常数且，）．
（1）若，用k表示a和c的数量关系．
（2）在（1）的条件下，请写出符合条件的一对和，使得a，b，c和，，都是正整数．
（3）若，，是否存在和相似使得k是正整数？请说明理由．
解：（1）且相似比为（为常数且，），
，；
又，
；
（2）取，，，同时取，，；
此时，
，且；
（3）不存在这样的和，理由如下：
，，
∴，
∴．
，
，
，
，
，
，
只能取正整数，
，
不存在和相似使得k正整数．型号
平均里程（）
中位数（）
众数（）
A
199
195
C
227
225
225
A超市
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