2024-2025学年宁夏银川一中高一（下）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年宁夏银川一中高一（下）第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z满足z⋅(1−i)=2i，则复数z对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知{a,b}是平面内的一个基底，则可以与向量m=a−b构成平面另一个基底的向量是( )
A. 0B. b−aC. a+bD. 2a−2b
3.在三角形ABC中，a=2，B=π3，b=2 3，则∠C=( )
A. π6B. π2C. π6或π2D. π3或π2
4.若两个非零向量a，b的夹角为θ，且满足|a|=2|b|，(a+3b)⊥a，则csθ=( )
A. −23B. −13C. 13D. 23
5.在平面直角坐标系xOy中，A(1,2)，B(3,3)则向量AB在向量OA上的投影向量为( )
A. (−125,−125)B. (45,85)C. (85,45)D. (125,125)
6.在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线的长度之比为 2−1的菱形称为“白银菱形”.如图，在白银菱形ABCD中，若AD⋅AB=λAC2，则λ=( )
A. 3 2−22 B. 3−2 22
C. 2−12 D. 2− 22
7.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2+ab=c2，若角C的内角平分线CM=2，则AC⋅CB的最小值为( )
A. 8B. 4C. 16D. 12
8.如图，边长为4的等边△ABC，动点P在以BC为直径的半圆上.若AP=λAB+μAC，则λ+12μ的取值范围是( )
A. [1,52] B. [12,1]
C. [13,65] D. [12,54]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a=(t,−2),b=(−4,t)，则( )
A. 若a//b，则t=±2 2
B. 若a⊥b，则t=0
C. |a−b|的最小值为 2
D. 若向量a与向量b的夹角为钝角，则t的取值范围为(0,+∞)
10.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b−2a+4asin2A+B2=0，则下列结论正确的是( )
A. 角C一定为锐角B. a2+2b2−c2=0
C. 3tanA+tanC=0D. tanB的最小值为 33
11.对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是( )
A. 若a=2，A=30°，则b+2csinB+2sinC=2b+c2sinB+sinC=4
B. 若a=8，b=10，B=60°，则符合条件的△ABC有两个
C. 若点P为△ABC所在平面内的动点，且AP=λ(AB|AB|csB+AC|AC|csC),λ∈(0,+∞)，则点P的轨迹经过△ABC的垂心
D. 已知O是△ABC内一点，若2OA+OB+3OC=0,S△AOC,S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC⋅S△ABC=1：6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z= 2+i，则其共轭复数z−的虚部为______．
13.已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，C=2π3，求sin2A+sin2B+sinAsinB的值______．
14.已知向量a，b为平面内的单位向量，且a⋅b=12，向量a+b共线，则|a−c|的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 3c=2asinC．
(1)求A；
(2)若a= 3，且△ABC的周长为3+ 3，求b．
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，已知|AB|=3，|AC|=2 3，∠BAC=30°，且BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求|AP|；
(2)求∠MPN的余弦值．
17.(本小题15分)
在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinA+bsinB=csinC+ 2bsinA．
(1)求角C的大小；
(2)若c=2，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
18.(本小题17分)
位于郑州海昌海洋旅游度假区内的“郑州之眼”摩天轮是目前中原地区最高的摩天轮.该摩天轮的最高点距离地面的高度约为105米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了60个座舱.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．

(Ⅰ)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求H(t)的解析式；
(Ⅱ)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为37.5米？
(Ⅲ)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔9个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为ℎ米，求ℎ的最大值及此时的时间t．
19.(本小题17分)
设△ABC是边长为1的正三角形，点P1，P2，P3四等分线段BC(如图所示)．
(1)求AB⋅AP1+AP1⋅AP3的值；
(2)若Q1，Q2，…，Qk，…，Qn−1是线段BC的n等分点，AQk=μAB+(1−μ)AC，其中1≤k≤n−1，n，k∈N∗，n≥2，求AB+AQ1+AQ2+…+AQ2021+AC的值；
(3)P为边BC上一动点，当PA⋅PC取最小值时，求AP的长．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.A
5.B
6.C
7.A
8.D
9.ABC
10.BC
11.ACD
12.−1
13.34
14.12
15.解：(1)在△ABC中，由 3c=2asinC及正弦定理得： 3sinC=2sinAsinC，
因为sinC>0，所以sinA= 32，
又因为0