2024-2025学年宁夏银川二十四中高一（下）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年宁夏银川二十四中高一（下）第一次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(1,m)，b=(2,−1)，且a⊥b，则m=( )
A. −12B. 12C. 2D. −2
2.如图，在△ABC中，BD+4CD=0，则AD=( )
A. 15AB+45AC
B. 45AB+15AC
C. 16AB+56AC
D. 56AB+16AC
3.已知角α∈(π4,π2)，且sin2α=45，则sinα=( )
A. 25B. 55C. 45D. 2 55
4.在△ABC中，AB=a，AC=b，当a⋅b0,ω>0)的部分图象如图所示，则f(−5)=( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
8.已知函数其中ω>0.若f(x)= 2sin(ωx+π4)，f(x)在区间(π2,3π4)上单调递增，则ω的取值范围是( )
A. (0,4]B. (0,13]C. [52,3]D. (0,13]∪[52,3]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法错误的是( )
A. 若a,b是共线的单位向量，则a=b
B. 若a=b，则|a|=|b|
C. 若a≠b，则a,b不是共线向量
D. 若a//b，则一定存在实数λ，使得a=λb
10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.已知摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，开启后按逆时针方向匀速旋转，摩天轮设置有36个座舱，转一周需要30min.游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱，tmin后距离地面的高度为H(t)(单位：m)，下述结论正确的是( )
A. H(t)=−55csπ15t+65
B. 甲进舱10分钟后距离地面的高度是82.5m
C. 在运行一周的过程中，H(t)>90的时间超过10min
D. 游客乙在甲后的第6个座舱进舱，乙进舱后12min内，存在某一时刻甲、乙距离地面高度相等
11.已知函数f(x)=2 3sinxcsx−2cs2x+1，则( )
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)的图象关于直线x=−π6对称
C. f(x)在区间[−π4,π6]上的取值范围为[−1,1]
D. f(x)的图象可由y=2cs(2x−π3)的图象向右平移π6个单位长度得到
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，正六边形ABCDEF中，化简BA−+CD−+EF−= ______．
13.已知向量a,b满足|a|=5,|b|=4,(a+b)⊥b，则|2a+b|= ______．
14.如图，在△ABC中，已知BD=12DC，AE=2EC，P是线段AD与BE的交点，若AP=mAB+nAC，则m+n的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设a,b是不共线的两个非零向量．
(1)若OA=4a−2b,OB=6a+2b,OC=2a−6b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若4a+12kb与12ka+b共线，求实数k的值．
16.(本小题15分)
(1)已知α、β均为锐角，sinα=45，cs(α+β)=513，求sin(α+β)，sin(2α+β)的值；
(2)化简：tan70°cs10°( 3tan20°−1)．
17.(本小题15分)
已知点A(1,−2)和向量a=(2,3)．
(1)若向量AB与向量a同向，且AB=2 13，求点B的坐标；
(2)若向量b=(1,1)且向量b与b+λa的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．
18.(本小题17分)
在长方形ABCD中，AB=4，AD=2.M，N分别是线段BC，CD的中点，P是长方形ABCD(含边界)内一点．
(1)求AM⋅AN；
(2)求sin∠MAN的值；
(3)求MN⋅MP的取值范围．
19.(本小题17分)
已知向量m=( 3sinωx,sinωx)，n=(csωx,sinωx)，ω>0，函数f(x)=m⋅n，且f(x)的最小正周期为π．
(1)若m⊥n，求满足条件的x的集合；
(2)求f(x)的值域；
(3)将f(x)的图象先向下平移12个单位长度，再向左平移m(m>0)个单位长度，最后将横坐标变为原来的两倍，所得函数图象与函数y=csx的图象重合，求实数m的最小值．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.C
5.B
6.C
7.B
8.D
9.ACD
10.ACD
11.ABD
12.CF
13.2 13
14.67
15.(1)证明：由OA=4a−2b,OB=6a+2b,OC=2a−6b，
得AB=OB−OA=2a+4b，BC=OC−OB=−4a−8b，
则BC=−2AB，所以AB//BC，且有公共点B，
所以A，B，C三点共线；
(2)解：由题意，4a+12kb与12ka+b共线，
则存在实数λ，使得4a+12kb=λ(12ka+b)，
即(4−12λk)a+(12k−λ)b=0，
又a,b是不共线的两个非零向量，
因此4−12λk=012k−λ=0，解得λ=2k=4，或λ=−2k=−4，
故实数k的值是±4．
16.解：(1)因为α、β均为锐角，所以α+β∈(0,π)，
由sinα=45，得csα= 1−sin2α=35，
由cs(α+β)=513，得sin(α+β)= 1−cs2(α+β)=1213，
所以sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]
=sin(α+β)csα+cs(α+β)sinα
=1213×35+513×45=5665；
(2)tan70°cs10°( 3tan20°−1)=sin70°cs70∘⋅cs10°( 3⋅sin20°cs20∘−1)
=cs20°cs10°sin20∘⋅ 3sin20°−cs20°cs20°
=cs10°sin20∘⋅2sin(20°−30°)
=−sin20°sin20∘
=−1．
17.解：(1)已知点A(1,−2)和向量a=(2,3)．
设B(x,y)，
则AB=(x−1,y+2)，
因为向量AB与向量a同向，且AB=2 13，
所以2(y+2)−3(x−1)=0且 (x−1)2+(y+2)2=2 13，
即(y+2)2=36，
即y=4或y=−8，
所以x=−3y=−8或x=5y=4，
当x=−3y=−8时，AB=(−4,−6)=−2a，此时向量AB与向量a反向，不符合；
当x=5y=4时，AB=(4,6)=2a，此时向量AB与向量a同向，符合，
故x=5y=4，
所以B(5,4)．
(2)若向量b=(1,1)，则b+λa=(1+2λ,1+3λ)，
因为向量b与b+λa的夹角是锐角，
所以b⋅(b+λa)=1×(1+2λ)+1×(1+3λ)=5λ+2>0⇒λ>−25，
又1×(1+3λ)−1×(1+2λ)≠0，
即λ≠0，
所以实数λ的取值范围为(−25,0)∪(0,+∞)．
18.解：(1)在长方形ABCD中，AB=4，AD=2，
以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，M(4,1)，N(2,2)，所以AM=(4,1),AN=(2,2)，
所以AM⋅AN=4×2+1×2=10；
(2)由平面向量数量积的坐标运算可得cs∠MAN=AM⋅AN|AM|⋅|AN|=10 17×2 2=5 34，
故sin∠MAN= 1−cs2∠MAN= 1−(5 34)2=3 3434；
(3)设点P(x,y)，则0≤x≤4，0≤y≤2，则MN=(−2,1)，MP=(x−4,y−1)，
所以，MN⋅MP=8−2x+y−1=7+y−2x，
因为0≤x≤4，0≤y≤2，则0≤2x≤8，则−8≤y−2x≤2，
所以，MN⋅MP=7+y−2x∈[−1,9]，即MN⋅MP的取值范围是[−1,9]．
19.解：(1)因为向量m=( 3sinωx,sinωx),n=(csωx,sinωx),ω>0，
函数f(x)=m⋅n= 3sinωxcsωx+sin2ωx= 32sin2ωx+1−cs2ωx2
= 32sin2ωx−12cs2ωx+12=sin(2ωx−π6)+12，
由于函数f(x)的最小正周期为π，则2ω=2ππ=2，
可得ω=1，即f(x)=sin(2x−π6)+12，
因为m⊥n，则f(x)=sin(2x−π6)+12=0，可得sin(2x−π6)=−12，
所以，2x−π6=2kπ−π6或2x−π6=2kπ−5π6(k∈Z)，
解得x=kπ或x=kπ−π3(k∈Z)，
所以，若m⊥n，满足条件的x的集合为{x| x=kπ−π3或x=kπ，k∈Z}；
(2)由(1)可知，函数f(x)=sin(2x−π6)+12的最大值为f(x)max=1+12=32，
最小值为f(x)min=−1+12=−12，
所以，函数f(x)的值域为[−12,32]；
(3)将f(x)的图象先向下平移12个单位长度，再向左平移m(m>0)个单位长度，
可得出函数y=sin[2(x+m)−π6]=sin(2x+2m−π6)的图象，
最后将所得图象上每点的横坐标变为原来的两倍，可得出函数g(x)=sin(x+2m−π6)，
又因为函数g(x)的图象与函数y=csx=sin(x+π2)的图象重合，
则2m−π6=π2+2nπ(n∈Z)，可得m=π3+nπ(n∈Z)，
因为m>0，故当n=0时，m取最小值π3．