广东省中山市2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份广东省中山市2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了 下列各数中最大的数是， 下列收集数据的方式合理的是， 下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟；
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. 下列各数中最大的数是（ ）
A. 10B. C. D.
答案：A
解：，
所给的各数中最大的数是10．
故选：A．
2. 下列垃圾分类的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A 可回收物B. 厨余垃圾
C. 有害垃圾D. 其它垃圾物
答案：C
解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3. 下列收集数据的方式合理的是（ ）
A. 为了解残疾人生活、就业等情况，在某网站设置调查问卷
B. 为了解一个省的空气质量，调查了该省省会城市的空气质量
C. 为了解某校学生视力情况，抽取该校各班学号为5的整数倍的同学进行调查
D. 为了解某校学生每天的平均睡眠时间，对该校学生周末的睡眠时间进行调查
答案：C
解：A、为了解残疾人生活、就业等情况，在某网站设置调查问卷，调查范围较小，不具有代表性，选项不符合题意；
B、为了解一个省空气质量，调查了该省省会城市的空气质量，调查范围较小，不具有代表性，选项不符合题意；
C、为了解某校学生视力情况，抽取该校各班学号为5的整数倍的同学进行调查，调查具有广泛性、代表性，选项符合题意；
D、为了解某校学生每天的平均睡眠时间，对该校学生周末的睡眠时间进行调查，调查范围较小，不具有代表性，选项不符合题意；
故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B正确，符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
5. 已知点在第三象限，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
答案：D
解：由题意得：，
解得：，
故选：D．
6. 如图，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠DAE=56°，则∠E的度数为（ ）
A. 56°B. 36°C. 26°D. 28°
答案：D
解：∵AE∥BC,∠DAE=56°，
∴∠DBC=56°，∠E=∠EBC，
∵BE平分∠DBC，
∴∠EBC=∠DBC=28°，
∴∠E=28°，
故选D.
7. 如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：连接OE，如图所示：
∵OB=OC，，
∴，
∴，
∵E是劣弧的中点，
∴，
∴；
故选C．
8. 若与的函数的图象与坐标轴只有两个交点，则满足条件的的值有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：B
解：当，即时，函数为，与坐标轴只有两个交点，
当时，，
抛物线与轴有两个交点，
函数的图象与坐标轴只有两个交点，
图象经过原点，此时，
故符合题意的的值有2个．
故选：B．
9. 如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）

A. 200tan70°米B. 米C. 200sin70°米D. 米
答案：B
解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°，
∴∠PTQ=70°，
∴，
∴，
即河宽米，
故选：B．
10. 如图，在正方形中，，O是的中点，，连接，将线段逆时针旋转得，连接，则线段长的最小值为（ ）
A. 8B. C. D.
答案：A
解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，

，
，
在与中，
，
，
，
正方形中，，是边的中点，
，
，
，
，
，
线段长的最小值为．
故选：A．
二．填空题（共5小题，每题4分，共20分）
11. 根据唐玄奘《大唐西域记》中记载，“一刹那”大概是0.013秒，用科学记数法表示0.013是__________．
答案：
故答案为：
12. 计算：________．
答案：
解：，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 如图，、是线段的两个黄金分割点，．则线段_______．
答案：
解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点，
∴AD=BC=AB==，
∴CD=AD+BC-AB==，
故答案为：．
14. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为__．
答案：3
连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM= =30°，
∴OM=OB•cs∠BOM=6× =3，
故答案为3．
15. 如图，反比例函数的图象与矩形的边交于点G，与边交于点D，过点A，D作，交直线于点E，F，若，，则的值为_______；四边形的面积为_______．

答案： ①. ②. 15
解：延长交x轴于K，作于H，

设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴
=；
故答案为：15．
三．解答题（共9小题，16-20每题6分，21-22每题8分，23题10分，24题12分。共70分）
16. 计算：．
答案：
解：
．
17. 先化简代数式，然后从﹣3＜x≤1的范围内选取一个合适的整数作为x的值，代入求代数式值．
答案：，当时，．
解：
，
∵，，
∴，，
当时，原式．
18. 文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1．4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．
（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完．）
答案：（1）甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元；（2）甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大．
解：（1）设乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元．由题意得：
，
解得：．
经检验，是原方程的解．
所以，甲种图书售价为每本元，
答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元．
（2）设甲种图书进货本，总利润元，则
．
又∵，
解得：．
∵随的增大而增大，
∴当最大时最大，
∴当本时最大，
此时，乙种图书进货本数为（本）．
答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大．
19. 如图，在平行四边形中，于，于，与、分别相交于、．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是菱形．
答案：（1）见解析；（2）见解析
证明：（1），，
．
四边形是平行四边形，
．
．
（2），
．
，
，
，
∴，
，
．
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
20. 小亮和同学们想用一些测量工具和所学的几何知识测量学校旗杆的高度，检验自己掌握知识和运用知识的能力，如图，在阳光下，小亮站在水平地面的D处，此时小亮身高的影子顶端与旗杆的影子顶端E重合，这时小亮身高CD的影长DE＝1米，一段时间后，小亮从D点沿BD的方向走了2.6米到达G处，此时小亮身高的影子顶端与旗杆的影子顶端H重合，这时小亮的影长GH＝1.4米，已知小亮的身高CD＝FG＝1.6米，点G、E、D均在直线BH上，AB⊥BH，CD⊥BH，GF⊥BH，请你根据题中提供的相关信息，求出旗杆的高度．
答案：12m
解：∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EAB，
∴，即①，
∵FG∥AB，
∴△HFG∽△HAB，
∴，即②，
由①②得，解得BD＝6.5，
∴，解得AB＝12．
答：旗杆的高度为12m．
21. 某中学举行“校园电视台主持人”选拔赛，将参加本校选拔赛的40名选手的成绩分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
（1）表中______，______．
（2）请在图中补全频数分布直方图；
（3）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
答案：（1）8，0.35
（2）见详解 （3）
【小问1详解】
解：，，
故答案为：8，0.35；
【小问2详解】
解：补全频数分布直方图如下：
【小问3详解】
解：由题意可知，成绩在94.5分以上的选手中，男生和女生各占一半，选手有4人，
有2名男生，2名女生，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
恰好是一名男生和一名女生的概率为．
22. 如图，在 中，，为的直径，与相交于点 D，过点D作于点E，延长线交于点F．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
答案：（1）见解析；
（2）．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
．
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，则，
四边形是矩形，
，，
，,
，
，
，，
，
，
．
23. 如图①，直线PQ同侧有两点M，N，点T在直线PQ上，若∠MTP＝∠NTQ，则称点T为M，N在直线PQ上的投射点．
（1）如图②，在Rt△ABC中，∠B＝60°，D为斜边AB中点，E为AC的中点．求证：点D为C，E在直线AB上的投射点；
（2）如图③，在正方形网格中，已知点A，B，C三点均在格点上，请仅用没有刻度的直尺在AC上画出点P，在BC上画出点Q，使A，P在BC上的投射点Q满足CQ＝2BQ；
（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，在AB，BC边上是否分别存在点D，E，使点D为E，C在AB上的投射点，点E为A，D在BC上的投射点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）证明见解析；（2）画图见解析；（3）存在，．
（1）∵在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，
∴CD＝BD＝BC，
又∵∠B＝60°，
∴∠BDC＝60°，
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE∥AC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，
∴∠ADE＝∠BDC，
∴点D为C，E在直线AB上的投射点；
（2）如图③，
作法：
1、在格点上取点G，H，连接HG交BC于Q，（理由：△BQG∽△HQC）
2、作点A关于BC的对称点A'，连接A'Q并延长交AC于P，（∠AQB＝∠A'QB＝∠PQC）
即：点P就是所求作的点；
（3）存在，
如图④，作点C关于AB的对称点C′，连接BC'，AC'，
则四边形ACBC′为正方形，
作点A关于BC的对称点A′，连接A'C'交AB于D，交BC于E，
即：点D，E是所求作的点，
∴C′，D，E，A在同一直线上，
CA′＝CA＝C′A＝C′B＝BC，CD＝C′D，
∴△C′BE≌△A′CE，
∴BE＝BC＝C′A，
∵AC′∥BC，
∴△BDE∽△ADC′，
∴，
∴．
24. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D是该抛物线的顶点，点P(m，n)是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA＝2∠CBD时，求m的值；
（3）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，＋为定值，请直接写出该定值．
答案：（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）－；（3）
（1）设OA＝a（a＞0），
∵OB＝OC＝3OA，
∴OB＝OC＝3a，
∴A（﹣a，0），B（3a，0），C （0，﹣3a），
∴该抛物线的对称轴为x＝＝a，
∴b＝﹣2a①，
将A（﹣a，0），C （0，﹣3a），代入得，
，
①②③联立解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，D（1，－4），∠BCD＝90°，
作BC的中垂线GH，则CD∥GH，H为BD中点
连接CH，过C作CN⊥BD于点N．
CH＝BH＝BD＝，CN＝ ＝，
∠CHN＝2∠CBD＝∠PBA，
∴NH＝，
∴tan∠CHN＝，
∴tan∠PBA＝，
∴＝，解得m1＝3，m2＝－．
∴m的值为－．
（3）过点M作MG∥x轴，交AC于点G，过点F作FT∥OA，交射线AM于点T，过点C作CQ∥OA，交射线AM于点Q，
∵MG∥FT∥CQ∥OA，
∴△CMG∽△COA，△ACQ∽△AGM，
∴，
∴，
∴
∵CQ∥OA，
∴∠Q=∠QAO，
∵∠CAM=∠OAM，
∴∠CAM=∠Q，
∴AC=CQ，
∴，
由（1）得OA=1，OC=3，∠AOM=90°，
∴，
∴，
∴，
∴＋为定值，该定值为.
分数段
频数
频率
2
0.05
0.2
12
0.3
14
4
0.1