人教A版（2019）高中数学高考一轮复习第四章三角函数4.7正弦函数的图像与性质（讲义）（原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc195099875" 1知识点01正弦函数的图像和性质 PAGEREF _Tc195099875 \h 2
\l "_Tc195099876" 2知识点02正弦型函数的性质 PAGEREF _Tc195099876 \h 2
\l "_Tc195099877" 3题型一、正弦函数的周期性 PAGEREF _Tc195099877 \h 3
\l "_Tc195099878" 4题型二、正弦函数的奇偶性 PAGEREF _Tc195099878 \h 6
\l "_Tc195099879" 5题型三、正弦函数的对称性 PAGEREF _Tc195099879 \h 10
\l "_Tc195099880" 6题型四、正弦函数的单调性 PAGEREF _Tc195099880 \h 14
知识点01正弦函数的图像和性质
知识点02正弦型函数的性质
注意：对于fx=asinωx+bcsωx ，周期T=2πω
题型一、正弦函数的周期性
1．函数fx=sinπx-2π3，x∈R的最小正周期是（ ）
A．1B．2C．πD．2π
【答案】B
【分析】由周期公式可得.
【详解】由fx=sinπx-2π3，
则f(x)的最小正周期是T=2ππ=2，
故选：B.
2．若a>0,b>0，则函数fx=asinbx的最小正周期为（ ）
A．2πB．2abπC．2πbD．2πa
【答案】C
【分析】利用正弦函数的周期公式即可求解.
【详解】∵a>0,b>0
∴函数fx=asinbx的最小正周期为2πb.
故选：C.
3．函数fx=sin-x3+cs-x3的最小正周期是（ ）.
A．6πB．-6πC．-3π2D．3π2
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简，根据正弦型函数的周期公式求解即可.
【详解】由题意，fx=sin-x3+cs-x3 =-sinx3-csx3 =-2sinx3-π4，
所以fx的最小正周期是2π13=6π.
故选：A.
4．函数f(x)=3sin2x-π3的最小正周期为（ ）
A．3πB．2πC．πD．π2
【答案】C
【分析】由正弦函数的周期公式求出即可；
【详解】由周期公式可得最小正周期为T=2π2=π，
故选：C.
5．函数fx=-3sinπ3-π2x的最小正周期是（ ）
A．4πB．6πC．4D．6
【答案】C
【分析】根据T=2πω求函数的最小正周期.
【详解】因为fx=-3sinπ3-π2x，所以函数fx的最小正周期T=2ππ2=4．
故选：C
6．已知函数fx=sin2ωx-π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω=（ ）
A．4B．5C．8D．10
【答案】B
【分析】由三角函数周期公式可得.
【详解】由题可知2π2ω=π5，则ω=5，又ω>0，则ω=5．
故选：B.
7．y=2sin12x+π3的最小正周期为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【答案】D
【分析】根据T=2πω求最小正周期即可.
【详解】函数的最小正周期T=2π12=4π，
故选:D.
8．函数fx=sin2x3的最小正周期为（ ）
A．3πB．2πC．3π2D．π
【答案】A
【分析】利用三角函数的周期公式求解.
【详解】fx=sin2x3的最小正周期为2π23=3π.
故选：A
9．函数y=2sin3xcs3x的最大值和最小正周期分别是（ ）
A．2，π3B．1，2π3C．1，π3D．2，2π3
【答案】C
【分析】利用二倍角公式化简函数为y=sin6x，根据正弦函数的图象和性质求解即可.
【详解】函数y=2sin3xcs3x=sin6x，
当6x=π2+2kπ,k∈Z ，即x=π12+kπ3,k∈Z时，sin6x取最大为1，
所以函数y取最大值为1，
T=2π6=π3 ，所以函数y的周期为π3.
故选：C.
10．设k为正数，若函数fx=sinkx-π6的最小正周期为2π3，则k=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用正弦型三角函数，代入计算即可.
【详解】由fx=sinkx-π6，且k为正数，可得T=2πω=2πk=2π3，解得k=3.
故选：C.
11．函数f(x)=sin2x-π3的最小正周期是（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
【答案】C
【分析】根据y=Asin(ωx+φ)的周期概念求解．
【详解】由已知最小正周期是T=2π2=π，
故选：C．
题型二、正弦函数的奇偶性
1．下列函数是偶函数的是（ ）
A．y=sin3xB．y=-sin5xC．y=sinxD．y=sinx-3
【答案】C
【分析】先得到函数的定义域，再利用函数的奇偶性得到答案.
【详解】A选项，fx=sin3x的定义域为R，
且f-x=sin-3x=-sin3x=-fx，故fx=sin3x为奇函数，A错误；
B选项，gx=-sin5x的定义域为R，
且g-x=-sin-5x=sin5x=-gx，故gx=-sin5x为奇函数，B错误；
C选项，hx=sinx的定义域为R，
且hx=sin-x=sinx=hx，故hx=sinx为偶函数，C正确；
D选项，ux=sinx-3的定义域为R，
且u-x=sin-x-3=-sinx-3≠ux，故ux=sinx-3不是偶函数，D错误.
故选：C
2．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）
A．y=sinxB．y=sin2x
C．y=csxD．y=cs2x
【答案】B
【分析】求出周期排除AC；判断奇偶性即可得解.
【详解】函数y=sinx、y=csx的最小正周期为2π，AC不是；
函数y=cs2x是偶函数，D不是，y=sin2x是奇函数，且最小正周期为π，B是.
故选：B
3．函数fx=2cs2x+π2是（ ）.
A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数
【答案】C
【分析】利用诱导公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可.
【详解】因为fx=2cs2x+π2=-2sin2x，
所以fx的最小正周期T=2π2=π，且为奇函数.
故选：C
4．下列函数中，周期是π，又是奇函数的是（ ）
A．y=sinxB．y=cs2x
C．y=sin2x+π4D．y=tanx
【答案】D
【分析】根据周期公式和奇函数定义判断各个选项；
【详解】对于A.y=sinx周期是2π，A错误；
对于B.y=cs2x周期是2π2=π，因为cs(-2x)=cs2x是偶函数，B错误；
对于C.y=sin2x+π4周期是2π2=π，因为y=sin2x+π4=sin(2x+π2)=cs2x是偶函数，C错误；
对于D.y=tanx周期是π，又是奇函数，D正确；
故选：D.
5．函数y=cs2(x-π4)-sin2(x-π4)是（ ）
A．最小正周期为π2的偶函数B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π的奇函数
【答案】D
【分析】由二倍角公式、诱导公式得y=sin2x，结合三角函数的周期性、奇偶性即可判断.
【详解】y=cs2(x-π4)-sin2(x-π4)=cs2x-π2=sin2x，
由于sin-2x=-sin2x，且y=sin2x的定义域为全体实数，
所以y=sin2x是奇函数，
注意到它的周期为2π2=π.
故选：D.
6．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A．fx=sinxB．fx=csxC．fx=tanxD．fx=2x
【答案】B
【分析】利用基本初等函数的奇偶性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，函数fx=sinx为奇函数；
对于B选项，函数fx=csx为偶函数；
对于C选项，函数fx=tanx为奇函数；
对于D选项，函数fx=2x为非奇非偶函数.
故选：B.
7．函数f(x)=22sin4x是（ ）
A．周期为π2的奇函数B．周期为π2的偶函数
C．周期为π4的奇函数D．周期为π4的偶函数
【答案】A
【分析】根据给定的函数，利用正弦函数的性质求出周期，并判断奇偶性.
【详解】函数f(x)=22sin4x的定义域为R，
由f(-x)=22sin(-4x)=-22sin4x=-f(x)，得f(x)为奇函数，其周期T=2π4=π2.
故选：A
8．已知f(x)=sin2(x+π4)-12，则f(x)是（ ）
A．奇函数且最小正周期为πB．偶函数且最小正周期为πC．奇函数且最小正周期为2πD．偶函数且最小正周期为2π
【答案】A
【分析】利用三角降幂公式和诱导公式将函数f(x)化简为12sin2x，即可判断奇偶性和周期性.
【详解】因f(x)=sin2(x+π4)-12=1-cs(2x+π2)2-12=12sin2x，
故f(x)为奇函数，且最小正周期为T=2π2=π.
故选：A.
9．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（ ）
A．y=tan2xB．y=tanx+π4
C．y=cs2x+32πD．y=sin2x+π2
【答案】C
【分析】根据正弦函数、余弦函数，正切函数的奇偶性以及周期公式逐项判断即可.
【详解】对于A，y=tan2x的最小正周期T=π2，故A错误；
对于B，y=tanx+π4为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，y=cs2x+32π=sin2x为奇函数，且最小正周期为T=2π2=π，故C正确；
对于D，y=sin2x+π2=cs2x为偶函数，故D错误.
故选：C.
10．函数y=sin3xcs3x是（ ）
A．最小正周期为π3的奇函数B．最小正周期为π3的偶函数
C．最小正周期为2π3的奇函数D．最小正周期为2π3的偶函数
【答案】A
【分析】利用二倍角正弦公式化简得y=sin3xcs3x=12sin6x，由此判断.
【详解】因为y=sin3xcs3x=12sin6x，
所以函数y=sin3xcs3x为奇函数，且周期为2π6=π3.
故选：A.
题型三、正弦函数的最值
1．函数f(x)=-2sin13x+2π3+1的最大值和最小正周期分别是（ ）
A．-1,2π3B．3,2π3C．-1,6πD．3,6π
【答案】D
【分析】根据正弦函数有界性得到最大值，根据T=2πω求出最小正周期.
【详解】因为sin13x+2π3∈-1,1，所以-2sin13x+2π3+1∈-1,3，
故最大值为3，
且最小正周期为2π13=6π.
故选：D
2．函数y=2sin3x-5的最大值与最小值分别是（ ）
A．最大值是-3，最小值是-8B．最大值是2，最小值是-2
C．最大值是-3，最小值是-7D．最大值是2，最小值是-7
【答案】C
【分析】根据正弦函数的有界性可得.
【详解】由正弦函数性质可知，-1≤sin3x≤1，
所以-2≤2sin3x≤2，所以-7≤2sin3x-5≤-3，
所以，函数y=2sin3x-5的最大值是-3，最小值是-7.
故选：C
3．函数f(x)=sin(2x+π6),x∈[0,π2]的最大值和最小值分别为（ ）
A．1,-12B．1,-32C．12,-1D．1,-1
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.
【详解】由x∈[0,π2]，得2x+π6∈[π6,7π6]，则当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)max=1，
当2x+π6=7π6，即x=π2时，f(x)min=-12，
所以所求最大值、最小值分别为1,-12.
故选：A
4．函数y=sinx2sinx2-csx2 的最大值是（ ）
A．1+22B．1-22C．1+22D．1
【答案】C
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，从而得到函数最大值；
【详解】y=sinx2sinx2-csx2=sin2x2-sinx2csx2=12(1-csx)-12sinx
=12-12csx-12sinx=12-22(22csx+22sinx)=12-22sin(x+π4)
所以函数的最大值为1+22.
故选：C.
5．函数f(x)=3sinx的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据三角函数的知识求得正确答案.
【详解】由于-1≤sinx≤1，所以-3≤3sinx≤3，
所以fx的最大值为3，此时x=2kπ+π2,k∈Z.
故选：C
6．函数y=3sin2x-π4,x∈R的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据三角函数图象及其值域即可得出结果.
【详解】易知当sin2x-π4=1时，函数y=3sin2x-π4,x∈R取得最大值为3.
故选：C
7．已知函数f(x)=sin3(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在[-π12,π6]的最小值为（ ）
A．-32B．-32C．0D．32
【答案】A
【分析】由正弦函数周期公式求出ω，再作出函数在[-π12,π6]上的图象，判断单调性求出最小值.
【详解】依题意，f(x)=sin(3ωx+π)=-sin3ωx，由最小正周期为π，得T=2π3ω=π，解得ω=23，
则f(x)=-sin2x，当x∈[-π12,π6]时．2x∈[-π6,π3]，
画出f(x)=-sin2x图象，如图，由图知，f(x)=-sin2x在[-π12,π6]上单调递减，
所以当x=π6时，f(x)min=-sinπ3=-32.
故选：A

8．函数fx=23cs2π4-x-cs2x-3在0,π2上的值域为（ ）
A．-1,2B．-1,1C．1,2D．-2,2
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换化简得到fx=2sin2x-π6，整体法得到2x-π6∈-π6,5π6，结合图象求出函数值域.
【详解】fx=23cs2π4-x-cs2x-3=23×1+csπ2-2x2-cs2x-3
=3csπ2-2x-cs2x=3sin2x-cs2x=2sin2x-π6，
当x∈0,π2时，2x-π6∈-π6,5π6，故2sin2x-π6∈-1,2，
故fx的值域为-1,2.
故选：A
9．函数fx=sinx-csx的最小正周期和最大值分别为（ ）
A．π2,2B．π,2C．2π,2D．4π,2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简，再由正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为fx=sinx-csx=222sinx-22csx=2sinx-π4，
所以fx的最小正周期T=2π，
令x-π4=π2+2kπ,k∈Z，解得x=3π4+2kπ,k∈Z，所以当x=3π4+2kπ,k∈Z时fx取得最大值2.
故选：C
10．已知函数fx=acsx+b的最大值为1，最小值为-3，则函数gx=absinx+3的最大值为（ ）
A．5B．－5C．1D．－1
【答案】A
【分析】分a>0，a0，则a+b=1-a+b=-3 ⇒ a=2b=-1，
所以gx=-2sinx+3≤5（当sinx=-1时取“=”）；
若a