苏教版（2024）五年级下册简易方程课后作业题

这是一份苏教版（2024）五年级下册简易方程课后作业题，共58页。

“深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。”
“Deep glimpse f their heart,and then find all the miracles in yurself.”

2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列
期中复习专题一：简易方程篇【两大篇目】
专题解读
本专题是期中复习专题一：简易方程篇。本部分内容包括简易方程及列方程解应用题，考点涵盖较广，部分内容和题型较复杂，建议作为期中复习核心内容进行讲解，一共划分为两大篇目，欢迎使用。
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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc7666" 【第一篇】解方程
\l "_Tc29501" 【知识总览】 PAGEREF _Tc29501 \h 3
\l "_Tc25075" 【考点一】解基础方程 PAGEREF _Tc25075 \h 3
\l "_Tc24462" 【考点二】解含括号的方程 PAGEREF _Tc24462 \h 5
\l "_Tc21950" 【第二篇】列方程解应用题
\l "_Tc11952" 【知识总览】 PAGEREF _Tc11952 \h 6
\l "_Tc8969" 【考点一】代数式与等量关系式、图形面积、数形规律 PAGEREF _Tc8969 \h 6
\l "_Tc29540" 【考点二】看图列方程解应用题 PAGEREF _Tc29540 \h 8
\l "_Tc14674" 【考点三】列方程解应用题“基础型” PAGEREF _Tc14674 \h 9
\l "_Tc17662" 【考点四】列方程解应用题“提高型” PAGEREF _Tc17662 \h 11
\l "_Tc16967" 【考点五】倍数问题（和差倍问题） PAGEREF _Tc16967 \h 12
\l "_Tc32629" 【考点六】相遇问题 PAGEREF _Tc32629 \h 15
\l "_Tc9981" 【考点七】鸡兔同笼问题 PAGEREF _Tc9981 \h 16
\l "_Tc22684" 【考点八】盈亏问题 PAGEREF _Tc22684 \h 17
【第一篇】解方程
【知识总览】
小学部分的方程主要有以下两种方式的解法：
1. 利用等式的基本性质解方程。
（1）等式的两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立。
（2）等式的两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式仍然成立。
2. 利用四则运算的关系解方程。
（1）加法：
加数＋加数=和 和-加数=另一个加数
（2）乘法：
因数×因数=积 积÷因数=另一个因数
（3）减法：
被减数-减数=差 减数=被减数-差 被减数=减数＋差
（4）除法：
被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=除数×商
（补充部分：移项法解方程。
等式左边的数移至等式右边，把这个数原来的运算符号变为其逆运算的符号。同样的，等式右边的数移至等式左边，把这个数原来的运算符号变为其逆运算的符号。）
【考点一】解基础方程。
【典型例题】
解下列方程。
1.9x＝7.6 6x－3.5x＝1.8
1.8×4＋2.5x＝17.2 2x＋4.8＝5.6
【对应练习】
1．解方程。
4x＋6x＝26 6x＋10.2＝25.2
3×14＋2x＝98 2.8x÷2＝7
2．解方程。
x＋15＝60 9.7－x＝3.6 130＋6x＝178
x÷13＝20 21x－14x＝175 2.2x－1.5×2＝5.8
【考点二】解含括号的方程。
【典型例题】
解方程。
8x＋5x＝78 18＋2x＝81.6
（x－6）÷4＝3.5
【对应练习】
1．解方程。
6x＋15＋6＝141 15x＋6x＝168
12（x＋3.7）＝144 4.2×3＋3x＝15.3
2．解方程。
5（2x－4）＝80 （2x－4）÷3＝14
3.3x＋2.2x＝44 13.8x－11.3x＝10
【第二篇】列方程解应用题
【知识总览】
1. 列方程解应用题。
列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值，从而解出应用题的办法。解这类题的核心是正确找出等量关系，然后根据等量关系列出合适的方程。
2. 列方程解应用题的一般步骤。
审题：找出已知量和未知量。
设未知数：找关键词。
①直接设未知数，即问什么设什么。
②间接设未知数，应设小不设多，设少不设多。
找等量关系（列方程解应用题的核心）
①根据语言描述来找等量：
出现“比多（少）”、“是”、“共”、“等于”、“总”、“和”、“差”、“倍”、“一样多”等。
②公式法：
图形问题：长方形周长=（长+宽）×2 正方形周长=边长×4
长方形面积=长×宽 正方形面积=边长×边长
行程问题：路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度
价格问题：总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价
年龄问题：年龄差不变
工程问题：工作总量=工作效率×工作时间
列方程，根据等量关系列方程。
解方程。
检验，检验答案正确与否。
【考点一】代数式与等量关系式、图形面积、数形规律。
【典型例题】
1．师傅每小时加工个零件，徒弟每小时加工个零件，师徒两人一起工作3小时，共加工( )个零件。
2．芳芳看一本书，她每天看a页，一周（7天）后还剩下b页没有看，这本书一共有( )页，当a＝15，b＝210时，这本书一共有( )页。
3．
(1)像这样摆下去，摆n个正方形需要( )根小棒。
(2)用第（1）题中的式子计算摆21个正方形需要( )根小棒。
4．看图填一填。
正方形甲的面积是( )cm2；阴影部分的面积是( )cm2。
【对应练习】
1．用含有字母的式子表示下面的数量关系。
(1)a除b的商再加上16：( )。
(2)b的平方与c的2倍的和：( )。
2．刘刚在人工智能课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数（如图）。根据这个计算程序：
(1)输入数6会输出数( )；
(2)输入数( )会输出数25；
(3)小程序的运算规律是什么？用你喜欢的方式写出来：
( )。
3．仔细观察下图阴影方框中正中间的数与其他四个数的关系，并完成下列各题。
(1)
如果正中间的数是n，那么它左边的数是( )，下面的数是( )。
(2)如果正中间的数是a，那么阴影方框中5个数的和是( )。
4．下图中的大小正方形的边长分别为a分米、b分米，空白部分的面积是( )平方分米。
5．妈妈买了苹果和梨各3kg，每千克苹果a元，每千克梨b元。一共用去( )元钱。当a＝10，b＝8时，苹果比梨多花( )元钱。
【考点二】看图列方程解应用题。
【典型例题】
看图列方程，并求出方程的解。
【对应练习】
1．看图列方程，并求解。
2．列方程计算。
【考点三】列方程解应用题“基础型”。
【典型例题】
1.五年级（5）班原来有84名学生，又转来x人，现在一共有86人。转来的学生是多少人？（列方程解答）
2.工程队铺一条路，原计划每天铺320米，15天铺完，实际施工时，由于改进了技术，平均每天铺路400米，照这样计算，可以比原计划提前几天完成任务？（列方程解答）
3.实验小学一共买来多少棵小树苗？（列方程解答）
4.修一条长360米的路，每天修80米，修了若干天后，还剩40米，已修了多少天？（列方程解答）
【对应练习】
1．一只长颈鹿的身高是5.5米，比一只大猩猩高3米。这只大猩猩身高多少米？（列方程解）
2．一个玩具汽车原价x元，优惠20元，现价48元，求原价。
3．每盏路灯要装5个灯泡，解放街一共需要装140个灯泡。这条街一共有多少盏路灯？（列方程解决实际问题。）
【考点四】列方程解应用题“提高型”。
【典型例题】
1.甲厂有钢材148吨，乙厂有112吨，如果甲厂每天用18吨，乙厂每天用12吨，多少天后两厂剩下的钢材相等？（列方程解答）
2.李大爷家有一块长方形菜地，周长是494米，长是宽的1.6倍，这块菜地的长和宽各是多少米？（列方程解）
3.书香满校园，阅读伴成长。近日，学校图书馆购进12包故事书和15包科技书，共计660本。已知每包故事书30本，每包科技书多少本？（列方程解答）
4.小刚和小强买同样的圆珠笔6支和4支，小刚比小强多付7元，每支圆珠笔多少元？（列方程解答）
【对应练习】
1．办公室买进一些A4纸，如果平均每天用20张，可以用28天，实际每天节约用纸4张，这些A4纸实际可用多少天？
2．小红和妈妈一起坐火车去姥姥家。买票时，妈妈付了100元，找回40.6元，小红买的是学生票，学生票价是成人票价的一半。你知道小红的票价是多少钱吗？
3．甲乙两个工程队同时开凿一条长800米的隧道，他们从两端相向施工，40天打通，甲队每天开凿12米，乙队每天开凿多少米？（用方程解）
【考点五】倍数问题（和差倍问题）。
【典型例题1】基础型。
某疫苗接种点6月5日的接种人数为1524人，是6月4日接种人数的4倍，该接种点6月4日的接种人数是多少人？
【典型例题2】几倍多几。
港珠澳大桥全长55千米，比洛溪大桥的2.3倍还多2.1千米，洛溪大桥全长约多少千米？（列方程解决）
【典型例题3】几倍少几。
实验小学买来绘本和故事书共1000本，其中故事书比绘本的2倍少50本。两种书各买了多少本？（用方程解）
【典型例题4】和倍问题。
1.某钢厂有职工1800人，其中男职工是女职工人数的4倍，这个钢厂男、女职工各有多少人？
2.果园里苹果树和梨树共有365棵，苹果树的棵数比梨树的2倍多5棵。果园里苹果树和梨树各有多少棵？（用方程方法解答）
【典型例题5】差倍问题。
1.松树比柏树多3000棵，松树的棵树是柏树的2.5倍，松树和柏树各有多少棵？（用方程解答）
2.学校买的白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍还多3箱，学校买来的白粉笔和彩色粉笔各多少箱？
【典型例题6】多个倍数问题。
果园里共种240棵果树，其中桃树是梨树的2倍，杏树是梨树的 3倍，这三种树各有多少棵？
【典型例题7】和差问题。
故事书比科技书多8本，两种书一共92本。两种书各有多少本？（列方程解答）
【对应练习】
1．第七届世界军人运动会于2019年10月在湖北武汉举行。为了办好这次军运会——历史上规模最大、参赛人员最多的运动会，组委会招募的城市志愿者和赛会志愿者共计23.6万人，其中城市志愿者人数比赛会志愿者的8倍多0.2万人。参与服务的赛会志愿者和城市志愿者各有多少万人？
2．第七届世界军人运动会吉祥物名为“兵兵”，它的设计灵感来源于中国一级重点保护野生动物中华鲟。雌性中华鲟体长2.3米，比雄性中华鲟体长的2倍少1.1米。雄性中华鲟的体长是多少米？（用方程解）
3．依依去文具店买了一个日记本和一支新款钢笔，共花了20.4元。钢笔的价钱正好是日记本的3倍。依依买的日记本和钢笔分别是多少元？
4．妈妈比小明大24岁，妈妈今年的年龄是小明的3倍，小明和妈妈今年分别是多少岁？（列方程解答）
5．周末，甜甜和媛媛制作了一些幸运星，准备在重阳节送给敬老院的爷爷奶奶们。甜甜做的幸运星的数量是媛媛的1.2倍，如果甜甜把18个幸运星给媛媛，她们幸运星的个数就一样多。甜甜和媛媛各做了多少个幸运星？
【考点六】相遇问题。
【典型例题1】求相遇时间。
截至2021年5月，郑州铁路沿线新增游园102个，打造出了一个安全宜居的铁路沿线生态环境，同时给附近居民提供了更好的活动场所。同同和蓝蓝早上在游园晨练，她们沿着一条长2500米的跑道从两端同时出发，相向而行。蓝蓝每分钟跑260米，同同每分钟跑240米，几分钟后她俩相遇？
（1）画线段图分析题中的数量关系。
（2）列方程解答。
【典型例题2】求速度。
甲、乙两地高铁专线全长800千米。A、B两列动车从两地同时相对开出甲地开出的A动车组列车平均每小时行驶240千米，出发后1.6小时与从乙地开出的B动车组列车相遇。从乙地开出的B动车组列车的速度是多少？（列方程解决）
【典型例题3】中点相遇问题。
甲、乙两列火车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过1.5小时在离中点18千米处相遇。已知甲车速度是乙车的1.2倍，相遇时，两车各行了多少千米？（用方程解答）

【答案】甲车216千米；乙车180千米
【对应练习】
1．小明和小红同时从相距800米的两地相对走来，小明每分钟走48米，10分钟后两人相遇，小红每分钟走多少米？
2．两地间的路程是500千米，甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过4小时相遇，乙车每小时比甲少行5千米，乙车每小时行多少千米？（先写出等量关系，再列方程解答）
3．甲地到乙地的公路长436千米。两辆汽车从两地出发，相向而行，甲车每小时行42千米，乙车每小时行46千米。甲车开出2小时后，乙车才出发，再经过几个小时两车相遇？
4．一辆快车和一辆慢车分别从南京和扬州两地同时相向而行，经过15小时在离中点3千米处相遇。已知快车平均每小时行75千米，慢车平均每小时行多少千米？
【考点七】鸡兔同笼问题。
【典型例题】
在一个笼子里，有鸡又有兔，数一下头，共有20个，数一下它们的腿，共有54条，请问笼子里，鸡、兔各几只？
【对应练习】
1．今有鸡兔同笼，从上面数共有35个头，从下面数共有100只脚，问：鸡，兔各有几只？
2．鸡兔同笼，从上面数12个头，从下面数34只脚，问鸡有几只？兔有几只？（用方程解）
【考点八】盈亏问题。
【典型例题】
《九章算术》第七章“盈不足”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。
问：人数、鸡价各几何？
译释：几人凑钱买鸡，每人出9元，则多11元；每人出6元，则差16元。有几人？鸡的价格是多少元？
【对应练习】
1．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送。若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件。该分派站现有包裹多少件？快递员多少名？
2．一个植树小组植树。如果每人植3棵，还剩14棵，如果每人植5棵，还剩4棵。这个植树小组一共有多少人？一共要植多少棵树？
“深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。”
“Deep glimpse f their heart,and then find all the miracles in yurself.”

2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列
期中复习专题一：简易方程篇【两大篇目】
专题解读
本专题是期中复习专题一：简易方程篇。本部分内容包括简易方程及列方程解应用题，考点涵盖较广，部分内容和题型较复杂，建议作为期中复习核心内容进行讲解，一共划分为两大篇目，欢迎使用。
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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc7666" 【第一篇】解方程
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\l "_Tc21950" 【第二篇】列方程解应用题
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\l "_Tc14674" 【考点三】列方程解应用题“基础型” PAGEREF _Tc14674 \h 18
\l "_Tc17662" 【考点四】列方程解应用题“提高型” PAGEREF _Tc17662 \h 21
\l "_Tc16967" 【考点五】倍数问题（和差倍问题） PAGEREF _Tc16967 \h 23
\l "_Tc32629" 【考点六】相遇问题 PAGEREF _Tc32629 \h 30
\l "_Tc9981" 【考点七】鸡兔同笼问题 PAGEREF _Tc9981 \h 35
\l "_Tc22684" 【考点八】盈亏问题 PAGEREF _Tc22684 \h 37
【第一篇】解方程
【知识总览】
小学部分的方程主要有以下两种方式的解法：
1. 利用等式的基本性质解方程。
（1）等式的两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立。
（2）等式的两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式仍然成立。
2. 利用四则运算的关系解方程。
（1）加法：
加数＋加数=和 和-加数=另一个加数
（2）乘法：
因数×因数=积 积÷因数=另一个因数
（3）减法：
被减数-减数=差 减数=被减数-差 被减数=减数＋差
（4）除法：
被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=除数×商
（补充部分：移项法解方程。
等式左边的数移至等式右边，把这个数原来的运算符号变为其逆运算的符号。同样的，等式右边的数移至等式左边，把这个数原来的运算符号变为其逆运算的符号。）
【考点一】解基础方程。
【典型例题】
解下列方程。
1.9x＝7.6 6x－3.5x＝1.8
1.8×4＋2.5x＝17.2 2x＋4.8＝5.6
【答案】x＝4；
x＝4；x＝0.4
【分析】1.9x＝7.6，方程两边同时除以1.9，方程得解；
6x－3.5x＝1.8，合并未知数后得2.5x＝1.8，方程两边同时除以2.5，方程得解；
1.8×4＋2.5x＝17.2，计算方程中的算术运算得7.2＋2.5x＝17.2，等式两边同时减7.2后再同时除以2.5，方程得解；
2x＋4.8＝5.6，等式两边同时减4.8后再同时除以2，方程得解；
【详解】1.9x＝7.6
解：1.9x÷1.9＝7.6÷1.9
x＝4
6x－3.5x＝1.8
解：2.5x＝1.8
2.5x÷2.5＝1.8÷2.5
1.8×4＋2.5x＝17.2
解：7.2＋2.5x＝17.2
7.2＋2.5x－7.2＝17.2－7.2
2.5x＝10
2.5x÷2.5＝10÷2.5
x＝4
2x＋4.8＝5.6
解：2x＋4.8－4.8＝5.6－4.8
2x＝0.8
2x÷2＝0.8÷2
x＝0.4
【对应练习】
1．解方程。
4x＋6x＝26 6x＋10.2＝25.2
3×14＋2x＝98 2.8x÷2＝7
【答案】x＝2.6；x＝2.5
x＝28；x＝5
【分析】（1）先将4x＋6x化简成10x，然后利用等式的性质2，在等式的左右两边同时除以10即可；
（2）先利用等式的性质1在等式的左右两边同时减去10.2，再利用等式的性质2在等式的左右两边同时除以6即可；
（3）先求出3×14＝42，利用等式的性质1在等式的左右两边同时减去42，再利用等式的性质2在等式的左右两边同时除以2即可；
（4）先利用等式的性质2在等式的左右两边乘2，再同时除以2.8即可。
【详解】（1）4x＋6x＝26
解：10x＝26
10x÷10＝26÷10
x＝2.6
（2）6x＋10.2＝25.2
解：6x＋10.2－10.2＝25.2－10.2
6x＝15
6x÷6＝15÷6
x＝2.5
（3）3×14＋2x＝98
解：42＋2x＝98
42＋2x－42＝98－42
2x＝56
2x÷2＝56÷2
x＝28
（4）2.8x÷2＝7
解：2.8x÷2×2＝7×2
2.8x＝14
2.8x÷2.8＝14÷2.8
x＝5
2．解方程。
x＋15＝60 9.7－x＝3.6 130＋6x＝178
x÷13＝20 21x－14x＝175 2.2x－1.5×2＝5.8
【答案】x＝45；x＝6.1；x＝8；
x＝260；x＝25；x＝4
【分析】x＋15＝60，等式两边同时减15，方程得解；
9.7－x＝3.6，等式两边同时加x后，得方程3.6＋x＝9.7，两边再同时减3.6，方程得解；
130＋6x＝178，等式两边同时减130后，两边再同时除以6，方程得解；
x÷13＝20，等式两边同时乘13，方程得解；
21x－14x＝175，合并未知数后得7x＝175，等式两边同时除以7，方程得解；
2.2x－1.5×2＝5.8，先计算方程中算术运算得2.2x－3＝5.8，等式两边同时加3后再同时除以2.2，方程得解。
【详解】x＋15＝60
解：x＋15－15＝6015
x＝45
9.7－x＝3.6
解：9.7－x＋x＝3.6＋x
3.6＋x＝9.7
3.6＋x－3.6＝9.7－3.6
x＝6.1
130＋6x＝178
解：130＋6x－130＝178－130
6x＝48
6x÷6＝48÷6
x＝8
x÷13＝20
解：x÷13×13＝20×13
x＝260
21x－14x＝175
解：7x＝175
7x÷7＝175÷7
x＝25
2.2x－1.5×2＝5.8
解：2.2x－3＝5.8
2.2x－3＋3＝5.8＋3
2.2x＝8.8
2.2x÷2.2＝8.8÷2.2
x＝4
【考点二】解含括号的方程。
【典型例题】
解方程。
8x＋5x＝78 18＋2x＝81.6
（x－6）÷4＝3.5
【答案】x＝6；x＝31.8
x＝1.2；x＝20
【分析】第一小题方程先计算含有x的加法得到13x，再在等式两边同时除以13，计算得出x的值；第二小题先在等式两边同时减去18，再在等式两边同时除以2，得出答案；第三小题先在等式两边除以3.2，再在等式两边减去，得出答案；第四小题先在等式两边同时乘4，再同时加上6，可得出答案。
【详解】8x＋5x＝78
解：13x＝78
13x÷13＝78÷13
x＝6
18＋2x＝81.6
解：18＋2x－18＝81.6－18
2x＝63.6
2x÷2＝63.6÷2
x＝31.8
解：
x＝1.2
（x－6）÷4＝3.5
解：（x－6）÷4×4＝3.5×4
x－6＝14
x－6＋6＝14＋6
x＝20
【对应练习】
1．解方程。
6x＋15＋6＝141 15x＋6x＝168
12（x＋3.7）＝144 4.2×3＋3x＝15.3
【答案】x＝20；x＝8
x＝8.3；x＝0.9
【详解】①先化简方程，即先计算15＋6，再根据等式的性质1和性质2，方程两边同时减去15＋6的和，然后除以6，解出方程；
②先化简方程，即先计算 15＋6，再根据等式的性质2，方程两边同时除以 15＋6的和，解出方程；
③根据等式的性质1和性质2，方程两边同时除以12，再减3.7，解出方程；
④先化简方程，即先计算 4.2×3，再根据等式的性质1和性质2，方程两边同时减 4.2×3的积，再除以3，解出方程。
【解答】①6x＋15＋6＝141
解：6x＋21＝141
6x＝141－21
6x＝120
x＝120÷6
x＝20
②15x＋6x＝168
解：21x＝168
x＝168÷21
x＝8
③12（x＋3.7）＝144
解：x＋3.7＝144÷12
x＋3.7＝12
x＝12－3.7
x＝8.3
④4.2×3＋3x＝15.3
解：12.6＋3x＝15.3
3x＝15.3－12.6
3x＝2.7
x＝2.7÷3
x＝0.9
2．解方程。
5（2x－4）＝80 （2x－4）÷3＝14
3.3x＋2.2x＝44 13.8x－11.3x＝10
【答案】x＝10；x＝23
x＝8；x＝4
【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时除以5，再同时加上4，最后同时除以2即可解出方程；
（2）方程两边同时乘3，再同时加上4，最后同时除以2即可解答；
（3）化简方程左边得5.5x，方程两边同时除以5.5即可解答；
（4）化简方程左边得2.5x，方程两边同时除以2.5即可解出方程。
【详解】5（2x－4）＝80
解：5（2x－4）÷5＝80÷5
2x－4＝16
2x－4＋4＝16＋4
2x＝20
2x÷2＝20÷2
x＝10
（2x－4）÷3＝14
解：（2x－4）÷3×3＝14×3
2x－4＝42
2x－4＋4＝42＋4
2x＝46
2x÷2＝46÷2
x＝23
3.3x＋2.2x＝44
解：（3.3＋2.2）x＝44
5.5x＝44
5.5x÷5.5＝44÷5.5
x＝8
13.8x－11.3x＝10
解：（13.8－11.3）x＝10
2.5x＝10
2.5x÷2.5＝10÷2.5
x＝4
【第二篇】列方程解应用题
【知识总览】
1. 列方程解应用题。
列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值，从而解出应用题的办法。解这类题的核心是正确找出等量关系，然后根据等量关系列出合适的方程。
2. 列方程解应用题的一般步骤。
审题：找出已知量和未知量。
设未知数：找关键词。
①直接设未知数，即问什么设什么。
②间接设未知数，应设小不设多，设少不设多。
找等量关系（列方程解应用题的核心）
①根据语言描述来找等量：
出现“比多（少）”、“是”、“共”、“等于”、“总”、“和”、“差”、“倍”、“一样多”等。
②公式法：
图形问题：长方形周长=（长+宽）×2 正方形周长=边长×4
长方形面积=长×宽 正方形面积=边长×边长
行程问题：路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度
价格问题：总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价
年龄问题：年龄差不变
工程问题：工作总量=工作效率×工作时间
列方程，根据等量关系列方程。
解方程。
检验，检验答案正确与否。
【考点一】代数式与等量关系式、图形面积、数形规律。
【典型例题】
1．师傅每小时加工个零件，徒弟每小时加工个零件，师徒两人一起工作3小时，共加工( )个零件。
【答案】3a＋3b
【分析】用a加上b先求出师徒两人工作1小时可以加工多少个零件，再用两人工作1小时加工零件的个数乘3即可求出3小时共可以加工多少个零件。
【详解】（a＋b）×3＝（3a＋3b）个
则师徒两人一起工作3小时，共加工（3a＋3b）个零件。
【点睛】本题考查用字母表示数，求出师徒两人工作1小时可以加工多少个零件是解题的关键。
2．芳芳看一本书，她每天看a页，一周（7天）后还剩下b页没有看，这本书一共有( )页，当a＝15，b＝210时，这本书一共有( )页。
【答案】 7a＋b 315
【分析】根据题意可得出数量关系：每天看的页数×看的天数＋剩下的页数＝这本书的总页数，据此用含字母的式子表示数量关系；
再把a＝15，b＝210代入式子中，计算出得数即可。
【详解】a×7＋b＝（7a＋b）页
这本书一共有（7a＋b）页；
当a＝15，b＝210时
7a＋b
＝7×15＋210
＝105＋210
＝315（页）
这本书一共有315页。
【点睛】本题考查用字母表示式子以及含有字母式子的求值，从题目中找到数量关系式，按数量关系式写出含字母的式子，把未知数的值代入式子中，求出得数。
3．
(1)像这样摆下去，摆n个正方形需要( )根小棒。
(2)用第（1）题中的式子计算摆21个正方形需要( )根小棒。
【答案】(1)3n＋1
(2)64
【分析】（1）根据图示发现：摆1个正方形需要小棒：4根；摆2个正方形需要（4＋3）根小棒；摆3个正方形需要（4＋3＋3）根小棒；……摆n个正方形需要小棒的根数是：4＋3（n－1）。据此解答。
（2）当n＝21时，代入数据解答即可。
【详解】（1）根据分析可知，摆n个正方形需要小棒：
4＋3×（n－1）
＝4＋3n－3
＝（3n＋1）根
摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒。
（2）当n＝21时，
3×21＋1
＝63＋1
＝64（根）
用第（1）题中的式子计算摆21个正方形需要64根小棒。
4．看图填一填。
正方形甲的面积是( )cm2；阴影部分的面积是( )cm2。
【答案】 b2 b2－a
【分析】正方形面积＝边长×边长，阴影部分的面积＝正方形甲的面积－正方形乙的面积，据此用字母表示出正方形甲和阴影部分的面积。
【详解】正方形甲的面积是（b2）cm2；阴影部分的面积是（b2－a）cm2。
【点睛】关键是掌握并灵活运用正方形面积公式，理解字母可以表示任意数。
【对应练习】
1．用含有字母的式子表示下面的数量关系。
(1)a除b的商再加上16：( )。
(2)b的平方与c的2倍的和：( )。
【答案】(1)b÷a＋16
(2)b2＋2c/2c＋ b2
【分析】（1）a除b表示b除以a，加上一个数用加法，据此用字母表示即可；
（2）根据平方和乘法的意义先表示出b的平方和c的2倍，再相加即可。
【详解】（1）a除b的商再加上16：b÷a＋16。
（2）b的平方与c的2倍的和：b2＋2c。
【点睛】关键是理解字母可以表示任意数，可以用字母将数量关系表示出来。
2．刘刚在人工智能课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数（如图）。根据这个计算程序：
(1)输入数6会输出数( )；
(2)输入数( )会输出数25；
(3)小程序的运算规律是什么？用你喜欢的方式写出来：
( )。
【答案】(1)13
(2)12
(3)见详解
【分析】观察发现：
输入5，输出11；11＝2×5＋1；
输入8，输出17；17＝2×8＋1；
输入10，输出21；21＝2×10＋1；
……
发现规律：输入数为n，则输出数为（2n＋1）。
按此规律解答。
【详解】（1）2×6＋1
＝12＋1
＝13
输入数6会输出数13。
（2）（25－1）÷2
＝24÷2
＝12
输入数12会输出数25。
（3）小程序的运算规律：输出的数＝输入数×2＋1；如果输入数为n，则输出数为（2n＋1）。
（答案不唯一）
【点睛】本题考查找规律，根据给出的已知数据找出规律，按规律解决问题。
3．仔细观察下图阴影方框中正中间的数与其他四个数的关系，并完成下列各题。
(1)
如果正中间的数是n，那么它左边的数是( )，下面的数是( )。
(2)如果正中间的数是a，那么阴影方框中5个数的和是( )。
【答案】(1) n－1 n＋7
(2)5a
【分析】（1）观察发现，这5个数中，左边的数比中间的数少1，右边的数比中间的数多1，上边的数比中间的数少7，下边的数比中间的数多7，据此用中间的数表示出其他的数即可；
（2）通过观察发现，这5个数的和是中间的数的5倍，据此用中间的表示出五个数的和。
【详解】（1）如果正中间的数是n，那么它左边的数是（n－1），下面的数是（n＋7）。
（2）a－1＋a＋1＋a＋a－7＋a＋7＝5a
如果正中间的数是a，那么阴影方框中5个数的和是5a。
【点睛】本题主要考查了数表中的规律，解答本题的关键是判断5个数的和与中间的数的关系。
4．下图中的大小正方形的边长分别为a分米、b分米，空白部分的面积是( )平方分米。
【答案】a2－b2
【分析】由题意可知，空白部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，据此进行计算即可。
【详解】由分析可知：
空白部分的面积是（a2－b2）平方分米。
【点睛】本题考查用字母表示数，结合正方形的面积的计算方法是解题的关键。
5．妈妈买了苹果和梨各3kg，每千克苹果a元，每千克梨b元。一共用去( )元钱。当a＝10，b＝8时，苹果比梨多花( )元钱。
【答案】 3（a＋b） 6
【分析】根据单价×数量＝总价，分别求出苹果和梨的总价，再相加即可，即一共用去（3a＋3b）＝3（a＋b）元钱；苹果比梨多花（3a－3b）＝3（a－b）元，再把a＝10，b＝8代入到3（a－b）中进行计算即可。
【详解】由分析可知：
妈妈买了苹果和梨各3kg，每千克苹果a元，每千克梨b元。一共用去3（a＋b）元钱；
当a＝10，b＝8时
3（a－b）＝3×（10－8）
＝3×2
＝6
则当a＝10，b＝8时，苹果比梨多花6元钱。
【点睛】本题考查含有字母的式子的化简和求值，明确数量关系是解题的关键。
【考点二】看图列方程解应用题。
【典型例题】
看图列方程，并求出方程的解。
【答案】3x＋25＝352；
x＝109
【分析】由图可得：x＋x＋x＋25＝352，再解方程即可求出方程的解。
【详解】x＋x＋x＋25＝352
解：3x＋25＝352
3x＋25－25＝352－25
3x＝327
x＝109
【对应练习】
1．看图列方程，并求解。
【答案】4x＋20＝400
x＝95
【分析】单价×数量＝总价，据此可以用字母x表示出4个排球的钱数，根据4个排球的钱数＋找回的钱数＝付出的钱数，即可列出方程：4x＋20＝400，根据等式的性质1和2，两边同时减20，再同时除以4，即可求出x的值。
【详解】4x＋20＝400
解：4x＋20－20＝400－20
4x＝380
4x÷4＝380÷4
x＝95
2．列方程计算。
【答案】＋3＝180；＝45
【分析】从线段图中可得出等量关系：小麦的吨数＋稻谷的吨数＝小麦和稻谷的总吨数，据此列出方程，并求解。
【详解】＋3＝180
解：4＝180
4÷4＝180÷4
＝45
【考点三】列方程解应用题“基础型”。
【典型例题】
1.五年级（5）班原来有84名学生，又转来x人，现在一共有86人。转来的学生是多少人？（列方程解答）
解析：
84＋x＝86
x＝86－84
x＝2
答：转来的学生是2人。
2.工程队铺一条路，原计划每天铺320米，15天铺完，实际施工时，由于改进了技术，平均每天铺路400米，照这样计算，可以比原计划提前几天完成任务？（列方程解答）
解析：
解：设现在铺路需要x天完成，
400×x＝320×15
400x＝4800
x＝4800÷400
x＝12
即现在铺路需要12天。
15－12＝3（天）
答：可以比原计划提前3天完成任务。
3.实验小学一共买来多少棵小树苗？（列方程解答）
解析：
解：设实验小学一共买来x棵小树苗。
x－29＝92
x－29＋29＝92＋29
x＝121
答：实验小学一共买来121棵小树苗。
4.修一条长360米的路，每天修80米，修了若干天后，还剩40米，已修了多少天？（列方程解答）
解析：
解：设已修了x天。
360-80x=40
x=4
答：略。
【对应练习】
1．一只长颈鹿的身高是5.5米，比一只大猩猩高3米。这只大猩猩身高多少米？（列方程解）
【答案】2.5米
【分析】设这只大猩猩身高x米，根据大猩猩身高＋3米＝长颈鹿身高，列出方程解答即可。
【详解】解：设这只大猩猩身高x米。
x＋3＝5.5
x＋3－3＝5.5－3
x＝2.5
答：这只大猩猩身高2.5米。
【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。
2．一个玩具汽车原价x元，优惠20元，现价48元，求原价。
【答案】68元
【分析】找出题目中的数量关系，即原价－现价＝优惠价，据此列出方程，并根据等式的性质求解即可解答。
【详解】x－48＝20
解：x－48＋48＝20＋48
x＝68
答：这个玩具汽车的原价是68元。
【点睛】解答本题的关键是找出原价、优惠价和原价三者之间的数量关系，再列式计算即可。
3．每盏路灯要装5个灯泡，解放街一共需要装140个灯泡。这条街一共有多少盏路灯？（列方程解决实际问题。）
【答案】28盏
【分析】设这条街一共有x盏路灯，根据每盏路灯装的灯泡数量×路灯数量＝140，列出方程解答即可。
【详解】解：设这条街一共有x盏路灯。
5x＝140
5x÷5＝140÷5
x＝28
答：这条街一共有28盏路灯。
【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。
【考点四】列方程解应用题“提高型”。
【典型例题】
1.甲厂有钢材148吨，乙厂有112吨，如果甲厂每天用18吨，乙厂每天用12吨，多少天后两厂剩下的钢材相等？（列方程解答）
解析：
解：设x天后剩下的钢材相等。
148-18x=112-12x
x=6
答：略。
2.李大爷家有一块长方形菜地，周长是494米，长是宽的1.6倍，这块菜地的长和宽各是多少米？（列方程解）
【答案】152米；95米
【分析】设宽是x米，则长是1.6x米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，列出方程求出x的值是宽，宽×1.6＝长，据此得解。
【详解】解：设宽是x米，则长是1.6x米。
（1.6x＋x）×2＝494
2.6x×2＝494
5.2x＝494
5.2x÷5.2＝494÷5.2
x＝95
95×1.6＝152（米）
答：这块菜地的长和宽各是152米、95米。
【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。
3.书香满校园，阅读伴成长。近日，学校图书馆购进12包故事书和15包科技书，共计660本。已知每包故事书30本，每包科技书多少本？（列方程解答）
解析：
解：设每包科技书有x本，
15×x＋12×30＝660
15x＋360＝660
15x＝660－360
15x＝300
x＝300÷15
x＝20
答：每包科技书20本。
4.小刚和小强买同样的圆珠笔6支和4支，小刚比小强多付7元，每支圆珠笔多少元？（列方程解答）
解析：
解：设每支圆珠笔x元
6x－4x＝7
2x＝7
x＝3.5
答：每支圆珠笔3.5元。
【对应练习】
1．办公室买进一些A4纸，如果平均每天用20张，可以用28天，实际每天节约用纸4张，这些A4纸实际可用多少天？
【答案】35天
【分析】根据题意可知A4纸的总张数一定，等量关系：实际平均每天用A4纸的张数×实际用的天数＝计划平均每天用A4纸的张数×计划用的天数，据此列出方程，并求解。
【详解】解：设这些A4纸实际可用天。
（20－4）＝20×28
16＝560
16÷16＝560÷16
＝35
答：这些A4纸实际可用35天。
2．小红和妈妈一起坐火车去姥姥家。买票时，妈妈付了100元，找回40.6元，小红买的是学生票，学生票价是成人票价的一半。你知道小红的票价是多少钱吗？
【答案】19.8元
【分析】用100－40.6，求出买学生票和成人票的价钱，设小红的票价是x元，学生票价是成人票价的一半，则成人票价是2x元，学生票价＋成人票价＝学生票价＋成人价钱，列方程：x＋2x＝100－40.6，解方程，即可解答。
【详解】解：设小红的票价是x元，则成人票价是2x元。
x＋2x＝100－40.6
3x＝59.4
3x÷3＝59.4÷3
x＝19.8
答：小红的票价是19.8元。
3．甲乙两个工程队同时开凿一条长800米的隧道，他们从两端相向施工，40天打通，甲队每天开凿12米，乙队每天开凿多少米？（用方程解）
【答案】8米
【分析】根据“工作效率×工作时间＝工作总量”可得出等量关系：甲队每天开凿的长度×天数＋乙队每天开凿的长度×天数＝这条隧道的总长，据此列出方程，并求解。
【详解】解：设乙队每天开凿米。
40×12＋40＝800
480＋40＝800
480＋40－480＝800－480
40＝320
40÷40＝320÷40
＝8
答：乙队每天开凿8米。
【点睛】本题考查列方程解决问题，根据工作效率、工作时间、工作总量之间的关系得出等量关系，按等量关系列出方程。
【考点五】倍数问题（和差倍问题）。
【典型例题1】基础型。
某疫苗接种点6月5日的接种人数为1524人，是6月4日接种人数的4倍，该接种点6月4日的接种人数是多少人？
解析：
解：设该接种点6月4日的接种人数是x人。
4x＝1524
x＝1524÷4
x＝381
答：该接种点6月4日的接种人数是381人。
【典型例题2】几倍多几。
港珠澳大桥全长55千米，比洛溪大桥的2.3倍还多2.1千米，洛溪大桥全长约多少千米？（列方程解决）
【答案】23千米
【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，比一个数多几就加几，设洛溪大桥全长约x千米，根据洛溪大桥全长×2.3＋2.1＝港珠澳大桥全长，列出方程解答即可。
【详解】解：设洛溪大桥全长约x千米。
2.3x＋2.1＝55
2.3x＋2.1－2.1＝55－2.1
2.3x＝52.9
2.3x÷2.3＝52.9÷2.3
x＝23
答：洛溪大桥全长约23千米。
【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。
【典型例题3】几倍少几。
实验小学买来绘本和故事书共1000本，其中故事书比绘本的2倍少50本。两种书各买了多少本？（用方程解）
【答案】绘本有350本；故事书有650本
【分析】根据题意可知，绘本的本数×2－50本＝故事书的本数，绘本的本数＋故事书的本数＝1000本，设绘本有x本，故事书有（2x－50）本，列方程为x＋2x－50＝1000，然后解出方程即可，进而求出故事书的本数。
【详解】解：设绘本有x本，故事书有（2x－50）本。
x＋2x－50＝1000
3x－50＝1000
3x－50＋50＝1000＋50
3x＝1050
3x÷3＝1050÷3
x＝350
2×350－50
＝700－50
＝650（本）
答：绘本有350本，故事书有650本。
【点睛】本题主要考查了列方程解决问题，找到相应的关系式是解答本题的关键。
【典型例题4】和倍问题。
1.某钢厂有职工1800人，其中男职工是女职工人数的4倍，这个钢厂男、女职工各有多少人？
【答案】男职工：1440；女职工：360人
【分析】设这个钢厂女职工有x人，男职工是女职工人数的4倍，则男职工有4x人，一共有1800人，即男职工人数＋女职工人数＝1800，列方程：x＋4x＝1800，解方程，即可解答。
【详解】解：设这个钢厂女职工有x人，则男职工有4x人。
x＋4x＝1800
5x＝1800
5x÷5＝1800÷5
x＝360
男职工：360×4＝1440（人）
答：这个钢厂男职工有1440人，女职工有360人。
【点睛】本题考查方程的实际应用，利用男、女职工人数与总人数之间的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。
2.果园里苹果树和梨树共有365棵，苹果树的棵数比梨树的2倍多5棵。果园里苹果树和梨树各有多少棵？（用方程方法解答）
【答案】苹果树245棵；梨树120棵
【分析】把梨树的棵数设为未知数，苹果树的棵数＝梨树的棵数×2＋5棵，等量关系式：苹果树的棵数＋梨树的棵数＝苹果树和梨树的总棵数，据此解答。
【详解】解：设果园里梨树有x棵，则苹果树有（2x＋5）棵。
2x＋5＋x＝365
2x＋x＋5＝365
3x＋5＝365
3x＝365－5
3x＝360
x＝360÷3
x＝120
2×120＋5
＝240＋5
＝245（棵）
答：果园里苹果树有245棵，梨树有120棵。
【点睛】准确设出未知数并分析题意找出等量关系式是解答题目的关键。
【典型例题5】差倍问题。
1.松树比柏树多3000棵，松树的棵树是柏树的2.5倍，松树和柏树各有多少棵？（用方程解答）
【答案】松树有5000棵，柏树有2000棵
【分析】设柏树有x棵，则松树2.5x棵，根据等量关系：松树的棵数－柏树的棵数＝3000棵，列方程解答即可。
【详解】解：设柏树有x棵，则松树2.5x棵。
2000＋3000＝5000（棵）
答：松树有5000棵，柏树有2000棵。
【点睛】本题考查了用方程解决实际问题，关键是理清题中的等量关系。
2.学校买的白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍还多3箱，学校买来的白粉笔和彩色粉笔各多少箱？
解析：
解：设彩色粉笔有x箱，则白粉笔有（4x+3）箱。
4x+3-x=15
x=4
白粉笔：4+15=19（箱）
答：略。
【典型例题6】多个倍数问题。
果园里共种240棵果树，其中桃树是梨树的2倍，杏树是梨树的 3倍，这三种树各有多少棵？
解析：
解：设梨树有x棵，则桃树有2x棵，杏树有3x棵。
x+2x+3x=240
x=40
桃树：80棵
杏树：120棵。
答：略。
【典型例题7】和差问题。
故事书比科技书多8本，两种书一共92本。两种书各有多少本？（列方程解答）
【答案】科技书有42本；故事书有50本
【分析】可以设科技书有x本，题中存在的等量关系是：故事书的本数＋科技书的本数＝故事书和科技书一共的本数，据此代入数值作答即可。
【详解】解：设科技书有x本，故事书有（x＋8）本，
x＋8＋x＝92
2x＋8＝92
2x＋8－8＝92－8
2x＝84
2x÷2＝84÷2
x＝42
8＋42＝50（本）
答：科技书有42本，故事书有50本。
【点睛】本题考查了列方程解应用题，关键是找出等量关系，再进行解答。
【对应练习】
1．第七届世界军人运动会于2019年10月在湖北武汉举行。为了办好这次军运会——历史上规模最大、参赛人员最多的运动会，组委会招募的城市志愿者和赛会志愿者共计23.6万人，其中城市志愿者人数比赛会志愿者的8倍多0.2万人。参与服务的赛会志愿者和城市志愿者各有多少万人？
【答案】赛会志愿者：2.6万人；城市志愿者：21万人
【分析】假设参与服务的赛会志愿者有x万人，则城市志愿者有（）万人，根据数量关系：城市志愿者＋赛会志愿者＝23.6，列出方程，解答方程即可。
【详解】解：设参与服务的赛会志愿者有x万人，则城市志愿者有万人。

（万人）
答：参与服务的赛会志愿者有2.6万人，城市志愿者有21万人。
2．第七届世界军人运动会吉祥物名为“兵兵”，它的设计灵感来源于中国一级重点保护野生动物中华鲟。雌性中华鲟体长2.3米，比雄性中华鲟体长的2倍少1.1米。雄性中华鲟的体长是多少米？（用方程解）
【答案】1.7米
【分析】可设雄性中华鲟的体长为x米，根据数量关系：雌性中华鲟体长＝雄性中华鲟体长×2－1.1，据此列出方程，解答方程即可。
【详解】解：设雄性中华鲟的体长是x米。
答：雄性中华鲟的体长是1.7米。
3．依依去文具店买了一个日记本和一支新款钢笔，共花了20.4元。钢笔的价钱正好是日记本的3倍。依依买的日记本和钢笔分别是多少元？
【答案】日记本5.1元；钢笔15.3元
【分析】设依依买的日记本是x元，则钢笔是3x元，根据日记本价格＋钢笔价格＝总钱数，列出方程求出x的值是日记本价格，日记本价格×3＝钢笔价格。
【详解】解：设依依买的日记本是x元，则钢笔是3x元。
x＋3x＝20.4
4x＝20.4
4x÷4＝20.4÷4
x＝5.1
5.1×3＝15.3（元）
答：依依买的日记本是5.1元，钢笔是15.3元。
4．妈妈比小明大24岁，妈妈今年的年龄是小明的3倍，小明和妈妈今年分别是多少岁？（列方程解答）
【答案】小明12岁；妈妈36岁
【分析】根据“妈妈今年的年龄是小明的3倍”，设小明今年是岁，则妈妈今年是3岁；
根据“妈妈比小明大24岁”可得出等量关系：妈妈今年的年龄－小明今年的年龄＝妈妈比小明大的年龄，据此列出方程，并求解。
【详解】解：设小明今年是岁，则妈妈今年是3岁。
3－＝24
2＝24
2÷2＝24÷2
＝12
妈妈：12×3＝36（岁）
答：小明今年是12岁，妈妈今年是36岁。
【点睛】本题有两个未知数且有倍数关系，要设“是”后面的量为，找到另一个未知数与的关系，然后根据等量关系列出方程。
5．周末，甜甜和媛媛制作了一些幸运星，准备在重阳节送给敬老院的爷爷奶奶们。甜甜做的幸运星的数量是媛媛的1.2倍，如果甜甜把18个幸运星给媛媛，她们幸运星的个数就一样多。甜甜和媛媛各做了多少个幸运星？
【答案】216个；180个
【分析】假设媛媛做了x个幸运星，则甜甜做了1.2x个幸运星，根据题意，甜甜做的幸运星数量－18＝媛媛做的幸运星数量＋18，代入数据列出方程，解方程即可分别求出甜甜和媛媛各做了多少个幸运星。
【详解】解：设媛媛做了x个幸运星，则甜甜做了1.2x个幸运星。
1.2x－18＝x＋18
1.2x－18＋18＝x＋18＋18
1.2x＝x＋36
1.2x－x＝x＋36－x
0.2x＝36
0.2x÷0.2＝36÷0.2
x＝180
1.2×180＝216（个）
答：甜甜做了216个幸运星，媛媛做了180个幸运星。
【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把媛媛做幸运星的数量设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。
【考点六】相遇问题。
【典型例题1】求相遇时间。
截至2021年5月，郑州铁路沿线新增游园102个，打造出了一个安全宜居的铁路沿线生态环境，同时给附近居民提供了更好的活动场所。同同和蓝蓝早上在游园晨练，她们沿着一条长2500米的跑道从两端同时出发，相向而行。蓝蓝每分钟跑260米，同同每分钟跑240米，几分钟后她俩相遇？
（1）画线段图分析题中的数量关系。
（2）列方程解答。
【答案】（1）见详解；（2）5分钟
【分析】（1）已知蓝蓝每分钟跑260米，同同每分钟跑240米，她们沿着一条长2500米的跑道从两端同时出发，相向而行，从他们出发到相遇，所用时间相同，且两人的路程和等于跑道的长度，据此可列数量关系式：蓝蓝的速度×相遇时间＋同同的速度×相遇时间＝两人的路程和，据此画图。
（2）假设两人x分钟后相遇，根据（1）可列方程：260x＋240x＝2500，然后解出方程即可。
【详解】（1）
数量关系式：蓝蓝的速度×相遇时间＋同同的速度×相遇时间＝两人的路程和
（2）解：设两人x分钟后相遇。
260x＋240x＝2500
500x＝2500
500x÷500＝2500÷500
x＝5
答：两人5分钟后相遇。
【点睛】本题考查了列方程解决问题，找到对应的数量关系式是解题的关键。
【典型例题2】求速度。
甲、乙两地高铁专线全长800千米。A、B两列动车从两地同时相对开出甲地开出的A动车组列车平均每小时行驶240千米，出发后1.6小时与从乙地开出的B动车组列车相遇。从乙地开出的B动车组列车的速度是多少？（列方程解决）
【答案】每小时260千米
【分析】速度×时间＝路程，设从乙地开出的B动车组列车的速度是每小时x千米，根据A动车组列车平均速度×相遇时间＋B动车组列车的速度×相遇时间＝甲、乙两地高铁专线全长，列出方程解答即可。
【详解】解：设从乙地开出的B动车组列车的速度是每小时x千米。
240×1.6＋1.6x＝800
384＋1.6x＝800
384＋1.6x－384＝800－384
1.6x＝416
1.6x÷1.6＝416÷1.6
x＝260
答：从乙地开出的B动车组列车的速度是每小时260千米。
【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。
【典型例题3】中点相遇问题。
甲、乙两列火车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过1.5小时在离中点18千米处相遇。已知甲车速度是乙车的1.2倍，相遇时，两车各行了多少千米？（用方程解答）

【答案】甲车216千米；乙车180千米
【分析】根据“甲车速度是乙车的1.2倍”，可以设乙车的速度是千米/时，则甲车的速度是1.2千米/时；
根据线段图以及“经过1.5小时在离中点18千米处相遇”，可知相遇时甲车比乙车多行了（18×2）千米；
根据“路程＝速度×时间”可得出等量关系：甲车的速度×相遇时间－乙车的速度×相遇时间＝相遇时甲车比乙车多行的路程，据此列出方程，并求解，进而求出两车各行的路程。
【详解】解：设乙车的速度是千米/时，则甲车的速度是1.2千米/时。
1.5×1.2－1.5＝18×2
1.8－1.5＝36
0.3＝36
0.3÷0.3＝36÷0.3
＝120
乙车行了：120×1.5＝180（千米）
甲车行了：120×1.2×1.5＝216（千米）
答：相遇时，甲车行了216千米，乙车行了180千米。
【点睛】本题有两个未知数且有倍数关系，要设“是”后面的量为，找到另一个未知数与的关系，根据速度、时间、路程之间的关系得出等量关系，按等量关系列出方程。
【对应练习】
1．小明和小红同时从相距800米的两地相对走来，小明每分钟走48米，10分钟后两人相遇，小红每分钟走多少米？
【答案】32米
【分析】根据题意可知，小明速度×时间＋小红速度×时间＝总路程，题目中已知小明速度为每分钟走48米，时间为10分钟，总路程为800米，所以设小红速度为每分钟x米，据此列出方程求解即可。
【详解】由分析可得：
解：设小红速度为每分钟x米，
48×10＋10×x＝800
480＋10x＝800
480＋10x－480＝800－480
10x＝320
x＝320÷10
x＝32
答：小红每分钟走32米。
【点睛】本题考查了速度、时间和总路程三者之间的关系以及应用，找出他们之间的等量关系，结合实际列出方程，在解方程的过程中要注意运算的正确性。
2．两地间的路程是500千米，甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过4小时相遇，乙车每小时比甲少行5千米，乙车每小时行多少千米？（先写出等量关系，再列方程解答）
【答案】（甲车行驶的速度＋乙车行驶的速度）×相遇时间＝甲、乙两地的路程；60千米
【分析】找出等量关系，即（甲车行驶的速度＋乙车行驶的速度）×相遇时间＝甲、乙两地的路程，据此设乙车每小时行x千米，列方程解答即可。
【详解】解：设乙车每小时行x千米。
答：乙车每小时行60千米。
【点睛】明确题中的等量关系是解题的关键。
3．甲地到乙地的公路长436千米。两辆汽车从两地出发，相向而行，甲车每小时行42千米，乙车每小时行46千米。甲车开出2小时后，乙车才出发，再经过几个小时两车相遇？
【答案】4小时
【分析】根据速度×时间＝路程，设再经过x小时两车相遇，根据甲车速度×行驶总时间＋乙车速度×行驶时间＝总路程，列出方程解答即可。
【详解】解：设再经过x个小时两车相遇，
42×（x＋2）＋46×x＝436
42x＋42×2＋46x＝436
（42＋46）x＋84＝436
88x＋84－84＝436－84
88x＝352
88x÷88＝352÷88
x＝4
答：再经过4个小时两车相遇。
【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把相遇时间设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。
4．一辆快车和一辆慢车分别从南京和扬州两地同时相向而行，经过15小时在离中点3千米处相遇。已知快车平均每小时行75千米，慢车平均每小时行多少千米？
【答案】74.6千米
【分析】由题意可知，设慢车平均每小时行x千米，根据等量关系：快车行驶的路程－3＝慢车行驶的路程＋3，据此列方程解答即可。
【详解】解：设慢车平均每小时行x千米。
75×15－3＝15x＋3
1125－3＝15x＋3
15x＋3＝1122
15x＋3－3＝1122－3
15x＝1119
15x÷15＝1119÷15
x＝74.6
答：慢车平均每小时行74.6千米。
【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。
【考点七】鸡兔同笼问题。
【典型例题】
在一个笼子里，有鸡又有兔，数一下头，共有20个，数一下它们的腿，共有54条，请问笼子里，鸡、兔各几只？
【答案】鸡有13只，兔有7只．
【详解】抓住关键：头都只有一个，鸡有2条腿，兔有4条腿．
解：设有x只鸡，则有（20-x）只兔，
2x+4(20-x)=54
2x+80-4x=54
80-2x=54
2x=80-54
2x÷2=26÷2
x=13
20-x=20-13=7（只）
答：鸡有13只，兔有7只．
【对应练习】
1．今有鸡兔同笼，从上面数共有35个头，从下面数共有100只脚，问：鸡，兔各有几只？
【答案】20只；15只
【分析】设鸡有x只，则兔有（35－x）只，根据鸡的数量×每只鸡的脚数＋兔的只数×每只兔的脚数＝总脚数，列出方程求出x的值，是鸡的只数，总只数－鸡的只数＝兔的只数。
【详解】解：设鸡有x只。
2x＋（35－x）×4＝100
2x＋140－4x＝100
4x－2x＝140－100
2x÷2＝40÷2
x＝20
35－20＝15（只）
答：鸡，兔各有20只、15只。
【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系，本题也可以用假设法进行解答。
2．鸡兔同笼，从上面数12个头，从下面数34只脚，问鸡有几只？兔有几只？（用方程解）
【答案】7只；5只
【分析】假设鸡有x只，兔子则有（12－x）只，一只鸡有2只脚，一只兔子有4只脚，根据数量关系：每只鸡的脚数×鸡的数量＋每只兔子的脚数×兔子的数量＝34，代入未知数，列出方程，求解即可。
【详解】解：设鸡有x只，则兔有（12－x）只，
2×x＋4×（12－x）＝34
2x＋48－4x＝34
48－34＝4x－2x
2x＝14
x＝7
12－7＝5（只）
答：鸡有7只，兔有5只。
【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把鸡的数量设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。
【考点八】盈亏问题。
【典型例题】
《九章算术》第七章“盈不足”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。
问：人数、鸡价各几何？
译释：几人凑钱买鸡，每人出9元，则多11元；每人出6元，则差16元。有几人？鸡的价格是多少元？
【答案】9人；70元
【分析】根据题意可知，鸡的总价、总人数是不变的，总人数×9元－11元＝总人数×6元＋16元，设一共有x人，列方程为9x－11＝6x＋16，然后解出方程即可。
【详解】解：设一共有x人。
9x－11＝6x＋16
9x－11＋11＝6x＋16＋11
9x＝6x＋27
9x－6x＝6x＋27－6x
3x＝27
3x÷3＝27÷3
x＝9
9×9－11
＝81－11
＝70（元）
答：有9人；鸡的价格是70元。
【点睛】本题主要考查了盈亏问题，可用列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。
【对应练习】
1．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送。若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件。该分派站现有包裹多少件？快递员多少名？
【答案】快递员：6名；包裹：66件
【分析】可列方程解决盈亏问题。根据题意可知，无论按哪种派送方法，包裹的总件数是一定的。若每个快递员派送10件，还剩6件，则包裹的总件数是10×快递员的人数＋6；若每个快递员派送12件，还差6件，则包裹的总件数是12×快递员的人数－6。所以此题的等量关系为“10×快递员的人数＋6＝12×快递员的人数－6”。设快递员x名，则可列出方程10x＋6＝12x－6，解方程即可求出快递员的人数；再用10×快递员的人数＋6可求出包裹的件数。
【详解】解：设快递员x名。
10x＋6＝12x－6
10x＋6＋6＝12x－6＋6
10x＋12＝12x
10x＋12－10x＝12x－10x
12＝2x
2x＝12
2x÷2＝12÷2
x＝6
10×6＋6
＝60＋6
＝66（件）
答：该分派站现有包裹66件，快递员6名。
【点睛】此题考查了运用抓不变量法列方程解决盈亏问题。根据包裹的总件数不变建立等量关系是解答此题的关键。
2．一个植树小组植树。如果每人植3棵，还剩14棵，如果每人植5棵，还剩4棵。这个植树小组一共有多少人？一共要植多少棵树？
【答案】5人；29棵
【分析】根据题意，设这个植树小组一共有x个人。如果每人植3棵，还剩14棵，则一共有（3x＋14）棵数；如果每人植5棵，还剩4棵，则一共有（5x＋4）棵树；不管怎么植树，树的总棵树不变，据此列方程解答即可。
【详解】解：设这个植树小组一共有x个人。
3x＋14＝5x＋4
3x＋14－3x＝5x＋4－3x
14＝2x＋4
2x＋4＝14
2x＋4－4＝14－4
2x＝10
2x÷2＝10÷2
x＝5
5×5＋4＝29（棵）
答：这个植树小组一共有5人，一共要植29棵树。
【点睛】此题考查的是用方程解决问题，找到等量关系式，根据等量关系式列出方程并求得解是解决此题的关键。