高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册导数的运算精品教案及反思

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1．已知函数，其中，且，则a的值为（ ）．
A．1B．C．D．0
【答案】A
【知识点】导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数
【分析】利用可得答案.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，所以．
故选：A.
2．函数在处的切线斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、导数的加减法
【分析】利用导数的几何意义可求得所求切线的斜率.
【详解】因为，则，所以，.
因此，函数在处的切线斜率为.
故选：B.
3．若函数满足，则的值为（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】C
【知识点】求某点处的导数值、导数的运算法则
【分析】求解导函数，再赋值，解关于的方程可得.
【详解】由，得，
则，解得，
故选：C.
4．函数在点处切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】先求导，再求出，再利用点斜式可得切线方程.
【详解】由已知，
，
函数在点处切线方程为，
即.
故选：C.
5．下列求导数的运算中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】导数的运算法则
【解析】根据导数的运算法则进行计算后判断各选项．
【详解】由指数函数求导法则得A正确；
，B正确；
，C错误；
，D正确．
故选：C．
【点睛】本题考查导数的运算法则，掌握导数运算法则是解题关键．
6．曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、直线的点斜式方程及辨析
【分析】已知点在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程．
【详解】由已知得：曲线为;
则：对其进行求导得；
当时，
曲线在点处的切线方程为：
化简得：；
故选：D.
【点睛】本题主要考查了求曲线切线方程，解题关键是掌握根据导数求切线的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
7．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】导数的运算法则、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】先求出曲线在点处的切线方程,设切线与曲线的切点为，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果.
【详解】的导数，令，则，
所以曲线在处的切线方程为，
即
的导数，设直线与曲线切于点，
则曲线在点处的切线方程为，
即，所以解得．
故选：D
8．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则
【分析】根据导数运算法则依次运算求解即可.
【详解】解：对于A选项，，故错误；
对于B选项，，正确；
对于C选项，，故错误；
对于D选项，，故正确.
故选：BD
9．函数的导数是 .
【答案】
【知识点】导数的乘除法
【分析】利用导数的运算法则可求得结果.
【详解】因为，故.
故答案为：.
10．曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】根据导数的几何意义即得.
【详解】因为，
所以，，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
11．已知函数，则 ．
【答案】/1.6
【知识点】求某点处的导数值、导数的运算法则
【分析】求出函数的导数，再赋值计算作答.
【详解】函数，求导得，
令，则，解得，
所以.
故答案为：
12．求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)；
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式
【分析】利用基本函数的求导公式及导数的运算法则可得结果.
【详解】（1）.
（2）.
（3）因为，
所以.
（4）.
（5）.
（6）因为，
所以
.
能力提升
13．已知，则（ ）
A．B．C．4D．
【答案】C
【知识点】导数的运算法则
【分析】由题意可知，，利用导数的四则运算即可求出，代入数值即可求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以．
故选：C．
14．已知曲线在处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】B
【知识点】导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数
【分析】通过求导数，得到切线斜率的表达式，求得，将切点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】求导函数可得，所以，
因为切线方程的斜率为1，所以
所以
所以切点坐标为，代入切线方程得，
故选：B．
15．函数图象上的点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【知识点】求点到直线的距离、基本初等函数的导数公式、已知切线（斜率）求参数
【分析】设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为，利用导数的几何意义求得切点，再求出切点到直线的距离，即得答案.
【详解】设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为，
设切点为，
又因为，所以，解得，
所以切点，
又因为点到直线的距离为，
所以函数图象上的点到直线的距离的最小值是.
故选：A.
16．已知函数，且，则实数（ ）
A．2024B．2023C．D．
【答案】A
【知识点】导数的乘除法
【分析】观察函数特征，不妨令，所以，则，再代入运算即可.
【详解】令，所以，
所以，
所以，
解得．
故选：．
17．已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知某点处的导数值求参数或自变量、导数的运算法则
【分析】求出根据导函数的几何意义，分别解以及，得出切点坐标，代入点斜式方程求解，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
由导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率.
对于A、B项，由可得，，解得.
当时，切点为，此时切线方程为，
整理可得，切线方程为，故B项正确.
当时，切点为，此时切线方程为，
整理可得，切线方程为，故A项正确；
对于C、D项，由可得，，解得，切点为，
此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故C项正确，D项错误.
故选：D.
18．已知函数，则在处的切线方程为 .
【答案】
【知识点】简单复合函数的导数、求某点处的导数值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】先求函数定义域，再用导数几何意义求出切线斜率，之后求出点坐标，点斜式解出切线方程并化为直线的一般式即可.
【详解】由题意知：，x∈0,+∞，
，则切线斜率，
又，所以，
所以在点处的切线方程为：，
即.
故答案为：.
19．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【知识点】由奇偶性求参数、导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】根据条件得到，从而有，再利用导数的几何意义，即可求出结果.
【详解】因为为奇函数，且定义域为，
所以，得到，
当时，，，
所以满足题义，故，所以，
故，又，所以曲线在点处的切线方程为，
故答案为：.
20．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式
【分析】（1）利用倍角公式，基本函数的导数公式和导数的四则运算法则求解；
（2）（3）（4）利用基本函数的导数公式和导数的四则运算法则求解．
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）
.
21．已知抛物线，其中，直线 l 为抛物线在点处的切线．
(1)求切线 l 的方程；
(2)求证：抛物线上除切点外，其余各点都在该切线 l 的上方．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、作差法比较代数式的大小
【分析】（1）根据导数的几何意义即得；
（2）由题可得时，，进而即得.
【详解】（1）由已知得，则，
于是所求切线的斜率为，
所以切线 l 的方程为，即；
（2）将切线l的方程化为，
当时，恒成立，
因此抛物线上除切点外，其余各点都在该切线l的上方．
拓展延伸
22．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】基本初等函数的导数公式、反函数的性质应用、求点到直线的距离、已知切线（斜率）求参数
【分析】先判断出与关于直线对称，然后说明与无交点，再求出曲线上的点到直线的最小距离，则的最小值为，即可得出答案．
【详解】解：与互为反函数，
所以与的图像关于直线对称，
设，则，
令得，
则当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
所以与无交点，则与也无交点，
下面求出曲线上的点到直线的最小距离，
设与直线平行且与曲线相切的切点，，
，
，解得，
，
得到切点，到直线的距离，
的最小值为，
故选：D．
23．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．
若，请你根据这一发现，求：
（1）函数对称中心为 ；
（2）计算 ．
【答案】 /
【知识点】导数新定义、由函数对称性求函数值或参数
【分析】（1）解方程，可求得函数的对称中心坐标；
（2）由已知可得，利用倒序相加法可求得所求代数式的值.
【详解】（1）因为，则，，
由，可得，且，
所以，函数的对称中心为；
（2）由（1）可知对任意的，，
所以，
，
因此，.
故答案为：（1）；（2）.
24．小明同学是班上的“数学小迷精”，高一的时候，他跟着老师研究了函数当时的图像特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼，感觉颇有趣味.后来，他独自研究了函数当时的图像特点与基本性质，发现这类函数在轴两边“同升同降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”.现在小明已经上高二了，目前学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数：和.得出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下两个问题，请你解答：
(1)当，时，经过点作曲线的切线，切点为.求证：不论p怎样变化，点总在一个“双升双降函数”的图像上；
(2)当，，时，若存在斜率为的直线与曲线和都相切，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】基本（均值）不等式的应用、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求过一点的切线方程、null
【分析】(1) 先把，代入的方程，然后求出在点处的切线方程，再把点代入切线方程，可得点坐标满足，即可证明结论.(2)先根据斜率为分别求出直线与曲线和的切点，再把的坐标代入直线的斜率公式,从而得到的关系式，代入消去，用基本不等式即可求的最小值.
【详解】（1）当，时，，，
设，切线方程为，
代入，得，又因为，
于是可得，
即点P在“双升双降函数”的图像上.
（2）当，时，，
，，
设曲线在点处的切线斜率为，
则，所以，则，
设曲线在点处的切线斜率为，
则，
所以，点，
所以直线的斜率，
所以，
由于，
所以（当且仅当时取等号）
所以，的最小值为．
【点睛】方法点睛：新文化题出题的特点，就是先给出一段材料，然后利用材料中的有用信息解决问题，这种题目的特点，就是要把要解决的问题转化为材料中的公式或者概念，难度较大.