黑龙江省龙东地区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 含解析

这是一份黑龙江省龙东地区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 含解析，共18页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为 120 分钟，满分 150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 在等差数列 中， ，则 （ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列项的性质计算即可.
【详解】因为 是等差数列，
所以 ,所以 .
故选：D.
2. 正方体 的棱长为 1，则 （ ）
A. 1 B. 0 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解.
【详解】 ,
故选：A
3. 已知点 ， ，若直线 过点 且与线段 相交，则直线 的斜率 的取值范围是
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（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两点间斜率公式计算即可.
【详解】直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
结合图象可得直线 的斜率 的取值范围是 .
故选：D
4. 在平面直角坐标系中，已知两点 ，点 为动点，且直线 与 的斜率之积为 ，
则点 的轨迹方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设点 再根据斜率公式计算即可.
【详解】设 ，可得 ,x 不为 0，
所以 .
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故选：D.
5. 设数列 的前 项和为 ，则 的值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 即可得到答案.
【详解】 ．
故选：C．
6. 已知直线 交圆 C： 于 M，N 两点，则“ 为正三角形”是
“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】求出圆的圆心及半径后，结合正三角形的性质可计算出当 为正三角形时 的值，结合充
分条件与必要条件定义即可判断.
【详解】由 C： 可得其圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离 ，
若 为正三角形，则有 ，即 ，
即 ，解得 或 ，
故“ 为正三角形”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
7. 在矩形 中， ， ，沿对角线 将矩形折成一个大小为 的二面角 ，
当点 与点 之间的距离为 3 时， （ ）．
A. B. C. D.
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【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的线性运算可得 ，利用模长公式，结合数量积的运算即可求解.
【详解】分别作 ， ，垂足为 ，则 ．
由 ，可得 ，
所以 ．
因为 ，
则
即 ，
故 ，
故选：B．
8. 已知数列 满足： ， （ ）.正项数列 满足：对于每个
， ，且 ， ， 成等比数列，则 的前 n 项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用数列的累乘法求得 ，再由等比数列的中项性质可得 ，再由数列的
裂项相消求和，计算可得所求和.
【详解】 （ ），
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可得 ，
由 ，可得
，
可得 ，
由 ， ， 成等比数列，
可得 ，
可得 ，
则 ，
所以
.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，等比数列，累乘法，数列求和，属于中档题.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列直线中，与抛物线 只有一个公共点，且过点 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】讨论直线的斜率，结合方程联立，以及直线与抛物线的位置关系，即可求解.
【详解】当直线 的斜率 存在且 时,设 ，
与抛物线方程联立得 ，令 ，解得 ，
则直线 的方程为 ；
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当 时,直线 的方程为 ，此时直线 平行于抛物线的对称轴,且与抛物线只有一个公共点 ；
当 不存在时,直线 与抛物线也只有一个公共点 ，此时直线 的方程为 .
故选：ABD
10. 已知数列 ， 满足 ，且 ，则（ ）
A. B. 当 时， 是等比数列
C. 当 时， 是等差数列 D. 当 时， 是递增数列
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A，直接由已知得到 ，即可说明 A 错误；对于 B，证明 ，结合 即可
验证；对于 C，说明 即可；对于 D，验证 ，再利用 即可验证.
【详解】对于 A，由已知有 ，故 A 错误；
对于 B，当 时，由于 ，且 ，故 是等比数列，故 B 正确；
对于 C，当 时，由 ，归纳即知 .
所以 ，从而 ，故 是等差数列，故 C 正确；
对于 D，当 时，由于 ，故 .
所以 ，从而 是递增
数列，故 D 正确.
故选：BCD.
11. 已知三棱锥 ， ， 是边长为 2 的正三角形，E 为 中点， ，
则下列结论正确的是（ ）
A. B. 异面直线 与 所成的角的余弦值为
C. 与平面 所成的角的正弦值为 D. 三棱锥 外接球的表面积为
【答案】ACD
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【解析】
【分析】对于 A：取 AC 的中点 F，连接 PF,BF，证明出 面 ，即可得到 .对于 B、C：
先证明出 ， ， .可以以 P 为原点， 为 xyz 轴正方向建立空间直角
坐标系.利用向量法求解；对于 D：把三棱锥 还以为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接
球.即可求解.
【详解】对于 A：
在三棱锥 ， ， 是边长为 2 的正三角形，取 AC 的中点 F，连接 PF,BF，则
.
又 ，所以 面 ，所以 .故 A 正确.
对于 B：因为 ， ， ,所以 面 ，所以 ， .
在三棱锥 ， ， 是边长为 2 的正三角形，所以三棱锥 为正三棱锥，
所以 .
所以 .
可以以 P 为原点， 为 xyz 轴正方向建立空间直角坐标系.
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则 ， ， ， ， .
所以 , .
设异面直线 与 所成的角为 ，则
.
即异面直线 与 所成的角的余弦值为 .故 B 错误；
对于 C： ， .
设平面 ABC 的一个法向量为 ，则 ,不妨设 x=1，则 .
设 与平面 所成的角为 ，则
.
即 与平面 所成的角的正弦值为 .故 C 正确.
对于 D：把三棱锥 还以为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球.
设其半径为 R，由正方体的外接球满足 ,所以 .
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所以球的表面积为 .故 D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知双曲线 的离心率为 ，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线中的平方关系、离心率公式列出等式直接计算即可.
【详解】由题意 ，
从而双曲线 的离心率为 ，
结合 ，解得 满足题意.
故答案为： .
13. 已知数列 是单调递增的等比数列，且 ， ，则 =______．
【答案】81
【解析】
【分析】利用等比数列的通项公式列方程组求出 进而秋季即可.
【详解】因为数列 是单调递增的等比数列，即 ，则 解得 或
（舍去），
所以 ，解得 ，
所以 ，
故答案为：81
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14. 已知点列 ，其中 ， ， 是线段 的中点， 是线段 的中
点，…… 是线段 的中点，……．记 ，则． ______； ______．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】利用中点坐标公式结合题意可求出 ，从而可求出 ，再由 以及等比数列的定
义、通项公式与求和公式即可求出 .
【详解】因为 是线段 的中点， ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
，
所以 ，
因为 ， ，
所以
，
即 ，
所以数列 是以 为公比， 为首项的等比数列，
所以 ，
所以
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，
故答案为： ； .
【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列的定义、通项公式与求和公式的应用，解题的关键是根据已知的
递推式化简变形得数列 是以 为公比，2 为首项的等比数列，考查数学计算能力，属于较难题.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等比数列 为递增数列，其前 项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 是首项为 1，公差为 3 的等差数列，求数列 的通项公式及前 项和 .
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）设等比数列 的首项为 ，公比为 ，依题意得到关于 、 的方程组，解得 、 ，即
可求出通项公式；
（2）依题意可得 ，利用分组求和法计算可得.
【小问 1 详解】
设等比数列 的首项为 ，公比为 ，
根据题意可得 ，解得 或 ，
因为等比数列 为递增数列，所以 ，
所以数列 的通项公式为 .
【小问 2 详解】
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因为数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，
所以 ，
所以
.
16. 已知数列 的前 n 项和为 ，且关于 x 的方程 ， 有两个相等的实数
根．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前 n 项和为 ，且 对任意的 恒成立，求实数 的最
大值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）利用方程有等根可知判别式为 0，求出 ，根据 关系即可得出通项公式；
（2）利用错位相减法求出 ，再分离参数后求解即可.
【小问 1 详解】
由关于 方程 ， 有两个相等的实数根，
可得 ，即 ， ，
当 时， ．
当 时， ．
当 时，上式也成立，所以 ．
【小问 2 详解】
由（1）可知， ，
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，①
，②
得：
，
所以 ．
又 对任意的 恒成立，即 对任意的 恒成立，
故 ，
因 数列 在 时单调递增，
所以 ，当且仅当 时取得最小值．
所以实数 最大值为 3．
17. 已知三棱柱 ，侧棱 底面 ，底面 是等边三角形， 是 的中点，
．
（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
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（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据题目所给信息，求出 面 ，再利用线面垂直推出线线垂直即可求解.
（2）首先建立空间直角坐标系，再求出平面 与面 的法向量，再利用向量求角的公式即可求解.
【小问 1 详解】
∵底面 为等边三角形， 为 中点，∴ ，又 面 ，∴ ，又
， 面 ，又 面 ，∴ ．
【小问 2 详解】
取 中点 ，∴ 、 、 两两垂直．
如下图，分别以 、 、 为 、 、 轴，建立空间直角坐标系 ．
设 ，∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴设面 的法向量为 ，
∴ ，令 ，∴ ，
同理面 法向量 ，∴ ，
∵二面角为 锐二面角，∴二面角 的余弦值为 ．
18. 已知椭圆 的短轴长为 2，离心率为 .
（1）求 的方程;
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（2）过点 作直线 与椭圆 相交于 两点，若 ，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）由题意得 ，求出 ，从而可求出椭圆方程；
（2）当直线 l 的斜率不存在时，不合题意，当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程 ，设
，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，利用弦长公式列方程可求
出 ，从而可求出直线方程.
【小问 1 详解】
依题意： ，解得 ，
所以 E 的方程为 ．
【小问 2 详解】
当直线 l 的斜率不存在时， ，与题意不符，舍去；
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程 ，设 ，
联立 ，消 y 得： ，
整理得： ，
，则 ，
，
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则 ，
即 ，
则 ，即 ，
解得 或 ，
则直线 l 的方程为 或 ．
19. 给定数列 ，若对任意 m， 且 ， 是 中 项，则称 为“H 数列”．设数
列 的前 n 项和为
（1）若 ，试判断数列 是否为“H 数列”，并说明理由；
（2）设 既是等差数列又是“H 数列”，且 ， ， ，求公差 d 的所有可能值；
（3）设 是等差数列，且对任意 ， 是 中的项，求证： 是“H 数列”．
【答案】（1）是“H 数列”；理由见解析
（2）1，2，3，6；
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据“H 数列”定义判断即可.
（2）由等差数列和“H 数列”的定义得到公差 的等式关系即可求解.
（3）由等差数列的定义与求和公式，进行分情况讨论，即可证明 是“H 数列”.
【小问 1 详解】
因为 ，当 时， ，
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当 时， 也成立，
所以 ，
对任意 m， 且 ， ，
是“H 数列”.
【小问 2 详解】
因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
由已知得 也为数列中的项，
令 ，即 ，
所以 ，所以 d 为 6 正因数，
故 d 的所有可能值为 1，2，3，6.
【小问 3 详解】
设数列 的公差为 d，所以存在 ，对任意 ， ，即 ，
当 时，则 ，故 ，此时数列为“H 数列”；
当 时， ，取 ，则 ，所以 ， ，
当 时， 均为正整数，符合题意，
当 时， 均为正整数，符合题意，
所以 ， ，
设 ， ， ，即 ，
所以任意 m， 且 ， ，
显然 ，所以 为数列中的项，
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是“H 数列”.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列定义问题.其中关键点是理解“H 数列”定义，并与已学知识等差数列进
行结合，利用等差数列的定义与求和公式，分情况讨论即可证明结论.
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