2024—2025学年度黑龙江省高二上学期期中考试数学试题[含解析]

这是一份2024—2025学年度黑龙江省高二上学期期中考试数学试题[含解析]，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知随机事件，满足，，，则（ ）
A. 15B. C. D.
4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
5. 已知圆，点，若直线，分别切圆于，两点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知的两个顶点为A−2,0，，且，的斜率之积等于，则（ ）
A. 当时，的轨迹为直线（去掉，两点）
B. 当时，的轨迹为双曲线（去掉，两点）
C. 当时，的轨迹为椭圆（去掉，两点）
D. 当时，的轨迹为抛物线（去掉，两点）
7. 某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点，且离心率为的椭圆.设地球半径为，若其近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，是和的一个公共点，则（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在平面直角坐标系中，已知点，，一个动点，则（ ）
A. 若，则点的轨迹为椭圆
B. 若，则点的轨迹为双曲线
C. 若，则点的轨迹为直线
D. 若，则点的轨迹为圆
10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取一个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是8”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A. 与互斥B. 与互斥C. 与相互独立D. 与相互独立
11. 已知抛物线的焦点为，准线为.设过且倾斜角为的直线与交于，两点，过作，，垂足分别为和，，与轴分别交于点，，与交于点，则（ ）
A. 为的中点B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆，则过点的圆的最短弦所在的直线方程为______.
13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为16，过且斜率为的直线与在第一象限交于点，且，则______.
14. 已知抛物线的焦点为，Px0,y0是抛物线上异于原点的一点，过点且斜率为的直线与轴交于点，与轴交于点，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）写出甲、乙抽到牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？
（3）甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？
16. 已知圆.
（1）求过点与圆相切的直线方程.
（2）求过点与圆相交且弦长为直线方程.
17. 已知椭圆的左焦点为，离心率为，且经过点.
（1）求的方程；
（2）已知是椭圆内一点，过点任做一条直线与椭圆交于、两点，求以为中点的弦所在的直线方程.
18. 已知和为双曲线上两点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求双曲线的离心率及渐近线方程；
（3）若过的直线交于另一点，且的面积为6，求的方程.
19. 已知动圆经过点且与直线相切，记圆心轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设过点且斜率为正直线交曲线于两点（点在点的上方），的中点为，
①过作直线的垂线，垂足分别为，试证明：；
②设线段的垂直平分线交轴于点，若的面积为4，求直线的方程．
2024-2025学年黑龙江省高二上学期期中考试数学检测试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算可得.
【详解】直线的斜率，设倾斜角为，
则，又，所以.
故选：C
2. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据抛物线的标准方程即可求解.
【详解】由可得，所以焦点为，
故选：B
3. 已知随机事件，满足，，，则（ ）
A. 15B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得．
【详解】∵，
∴，
故选：B.
4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【正确答案】C
【分析】根据双曲线焦点位置设出方程，由渐近线方程及实轴长列出的方程，求解即可．
【详解】当双曲线的焦点在轴上时，方程为，
∵渐近线方程为，实轴长为4，
∴且，解得，
∴的方程为．
当双曲线的焦点在轴上时，方程为，
∵渐近线方程为，实轴长为4，
∴且，解得，
∴的方程为．
综上，的方程为或．
故选：C．
5. 已知圆，点，若直线，分别切圆于，两点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据题意可知直线为圆和以为直径的圆的公共弦，求出以为直径的圆，即可求出结果．
【详解】因为直线，分别切圆于，两点，
所以，
所以点在以为直径的圆上．
因为，
所以以为直径的圆的圆心为，
半径为，
故以为直径的圆的方程，即，
又圆，即，
两圆方程相减得，
所以直线的方程为：．
故选：A．
6. 已知的两个顶点为A−2,0，，且，的斜率之积等于，则（ ）
A. 当时，的轨迹为直线（去掉，两点）
B. 当时，的轨迹为双曲线（去掉，两点）
C. 当时，的轨迹为椭圆（去掉，两点）
D. 当时，的轨迹为抛物线（去掉，两点）
【正确答案】C
【分析】设，由条件求出的轨迹方程，根据的取值范围确定轨迹的形状即可．
【详解】设，由，斜率之积等于，
得，即，
当时，方程为，
∴的轨迹是圆（去掉，两点），故A错误；
当时，方程为，且，
∴的轨迹为椭圆（去掉，两点），故B错误；
当时，方程为，且，
∴的轨迹为椭圆（去掉，两点），故C正确；
当时，方程为，且，
∴的轨迹为双曲线（去掉，两点），故D错误．
故选：C．
7. 某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点，且离心率为的椭圆.设地球半径为，若其近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据椭圆的性质列式求解.
【详解】由题意知且，解得，，
则远地点离地面的距离为.
故选：A.

8. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，是和的一个公共点，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由条件结合椭圆与双曲线的定义可得，然后由向量的运算求解即可.
【详解】由椭圆的定义得,
∴，即①，
由双曲线的定义得,
∴，即②，
由①②解得，
又由题意知，，可得，
∴，而，
∴，则，
又∵为的中点，
∴.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（ ）
A. 若，则点的轨迹为椭圆
B. 若，则点的轨迹为双曲线
C. 若，则点的轨迹为直线
D. 若，则点的轨迹为圆
【正确答案】AD
【分析】根据椭圆的定义判断A，根据双曲线的定义判断B，可得，即可判断C，设，由距离公式推出轨迹方程，即可判断D.
【详解】对于A：，则点的轨迹为以、为焦点的椭圆，故A正确；
对于B：，则点的轨迹是以、为焦点双曲线的右支，故B错误；
对于：由，可得，
则点的轨迹是以为直径的圆，故C错误；
对于D：设，由，则，
即，所以点轨迹为圆，故D正确.
故选：AD.
10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取一个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是8”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A. 与互斥B. 与互斥C. 与相互独立D. 与相互独立
【正确答案】ABD
【分析】列举出基本事件，再根据互斥事件及相互独立事件的定义判断即可.
【详解】依题意从中有放回地随机取两次球，则可能结果有：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共个结果.
事件包含的基本事件有：，，，，，共个；
事件包含的基本事件有：，，，，，共个；
事件包含的基本事件有：共个；
事件包含的基本事件有：，，，，，共个；
对于A：显然事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故A正确；
对于B：事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故B正确；
对于C：因为，，，
所以与不独立，故C错误；
对于D：因为，，，
所以与相互独立，故D正确.
故选：ABD
11. 已知抛物线的焦点为，准线为.设过且倾斜角为的直线与交于，两点，过作，，垂足分别为和，，与轴分别交于点，，与交于点，则（ ）
A. 为的中点B. C. D.
【正确答案】ABD
【分析】A：根据为中点以及进行分析；B：先证明，然后证明，由此可判断选项；C：联立直线与抛物线求解出坐标，由此可分析出坐标，表示出直线的方程，联立可得坐标，据此计算并判断；D：根据的坐标计算并判断.
【详解】设准线与轴交于，不妨设在轴上方，在轴下方，如图所示，
对于A：因为，所以为中点，
因为，所以为的中点，故正确；
对于B：因为，所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，
由A选项，同理可证为的中点，
又，所以，所以，故正确；
对于C：设Ax1,y1,Bx2,y2，，联立，解得或，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即，，即，
联立，解得，所以且准线上，
所以，所以，故错误；
对于D：因为，所以，故正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆，则过点的圆的最短弦所在的直线方程为______.
【正确答案】
【分析】设点，则最短弦过点P且与垂直，根据两直线垂直时的斜率关系及点斜式方程求解.
【详解】由题意知，圆，设点，最短弦过点P且与垂直，
因为，所以最短弦所在直线的斜率，
所以最短弦所在的直线方程为，即．
故．
13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为16，过且斜率为的直线与在第一象限交于点，且，则______.
【正确答案】
【分析】先利用直线的斜率求出，再由及椭圆定义求出，最后利用余弦定理即可求得结果．
【详解】∵直线的斜率，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，
∵，∴，
在中，由余弦定理得，
即，
整理得，解得或（舍）．
所以．
故．
14. 已知抛物线的焦点为，Px0,y0是抛物线上异于原点的一点，过点且斜率为的直线与轴交于点，与轴交于点，则______.
【正确答案】
【分析】设出直线的方程，求得坐标，计算可得，即可得解．
【详解】是抛物线上异于原点的一点，则，
由题意知，直线的方程为，
即，即，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
故．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）写出甲、乙抽到牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？
（3）甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？
【正确答案】（1）答案见解析
（2）
（3）游戏不公平，理由见解析
【分析】（1）由题意写出所有抽牌情况即可；
（2）由古典概率计算即可；
（3）找到甲抽到的牌的数字比乙的大的情况，再由古典概率计算，比较大小即可；
【小问1详解】
分别用2，3，4，表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，
则甲、乙抽到牌的所有情况为，共12种不同的情况.
【小问2详解】
甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，
因此乙抽到牌的数字比3大的概率是，
【小问3详解】
甲抽到的牌的数字比乙的大，有，共5种情况，
因此甲胜的概率为，乙胜的概率为.
因此＜，所以此游戏不公平.
16. 已知圆.
（1）求过点与圆相切的直线方程.
（2）求过点与圆相交且弦长为的直线方程.
【正确答案】（1）或
（2）或
【分析】（1）分直线斜率存在和不存在，利用圆心到直线的距离等于半径列式求解；
（2）由弦长求得圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式求解.
【小问1详解】
∵圆，即，
∴圆心，半径，
当直线斜率存在时，设直线，即，
圆心到直线的距离，解得，
此时直线方程为，
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，
综上，所求直线方程为或．
【小问2详解】
∵过点与圆相交且弦长为，
∴圆心到直线的距离，
当直线斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为7，不合题意；
∴直线斜率存在，设直线方程为，即，
∵圆心到直线距离，
整理得，即，解得或，
∴所求直线方程为或．
17. 已知椭圆的左焦点为，离心率为，且经过点.
（1）求的方程；
（2）已知是椭圆内一点，过点任做一条直线与椭圆交于、两点，求以为中点的弦所在的直线方程.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）依题意得到关于、、的方程组，求出、，即可求出椭圆方程；
（2）设，，利用点差法求出中点弦的斜率，再由点斜式计算可得.
【小问1详解】
依题意可得，解得，
所以椭圆方程为；
【小问2详解】
根据题意得中点弦的斜率存在，且在椭圆内，
设，，
所以，，
两式作差得，
由于是的中点，故，，
所以，
所以，所以，
所以中点弦的方程为，
所求的直线方程．
18. 已知和为双曲线上两点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求双曲线的离心率及渐近线方程；
（3）若过的直线交于另一点，且的面积为6，求的方程.
【正确答案】（1）
（2）离心率为，渐近线方程为
（3）或或或
【分析】（1）将两点坐标代入双曲线方程，解方程组求出，即得答案；
（2）根据双曲线的离心率公式与渐近线的方程求解；
（3）求出直线的方程，及点到直线的距离，设，根据条件列出方程组，求出得点的坐标，进而可求直线的方程.
【小问1详解】
∵和为双曲线上两点，
∴且，解得，
∴双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
∵，∴，
∴双曲线的离心率为，渐近线方程为.
【小问3详解】
∵和，∴，
∴直线的方程为，即，
，
又点到直线的距离为，
∵，∴，
设，则，即，
∴或，
解得或或或，
即或或B−2,0或，
当时，直线的方程为；
当时，，直线的方程为，即；
当B−2,0时，，直线的方程为，即；
当时，，直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或或或．
19. 已知动圆经过点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设过点且斜率为正的直线交曲线于两点（点在点的上方），的中点为，
①过作直线的垂线，垂足分别为，试证明：；
②设线段的垂直平分线交轴于点，若的面积为4，求直线的方程．
【正确答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【分析】（1）由抛物线的定义知P点轨迹是抛物线，方程为标准方程，求出焦参数可得；
（2）①设直线的方程为，，可求得，进而可得，，联立直线与抛物线方程可得，进而可得，可证结论；
②求得的中点，进而可得线段的垂直平分线方程为，进而可得，结合已知可得，可求直线的方程.
【小问1详解】
依题意可得圆心到定点的距离等于到定直线的距离相等，
所以的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
又到直线的距离为，所心抛物线的方程为；
【小问2详解】
①设直线的方程为，，
则的中点，由（1）可知，，
联立方程组x=my+1y2=4x，消去可得，
所以，，
所以，
又，所以，所以；
②由①可得，代入，可得中点的横坐标为，
所以，又线段的垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线方程为，
令，可得，所以，
所以，
所以，
又的面积为4，所以，所以，
解得，所以直线的主程为，即.