2025年高考数学二轮复习(新高考通用)专题14立体几何常见压轴小题全面总结与归纳解析(讲义)(学生版+解析)

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\l "_Tc189596286" 01考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc189596286 \h 2
\l "_Tc189596287" 02知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc189596287 \h 3
\l "_Tc189596288" 03 知识梳理·方法技巧 PAGEREF _Tc189596288 \h 4
\l "_Tc189596289" 04 真题研析·精准预测 PAGEREF _Tc189596289 \h 6
\l "_Tc189596290" 05 核心精讲·题型突破 PAGEREF _Tc189596290 \h 9
\l "_Tc189596291" 题型一：球与截面面积问题 PAGEREF _Tc189596291 \h 9
\l "_Tc189596292" 题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题 PAGEREF _Tc189596292 \h 10
\l "_Tc189596293" 题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题 PAGEREF _Tc189596293 \h 12
\l "_Tc189596294" 题型四：立体几何中的交线问题 PAGEREF _Tc189596294 \h 15
\l "_Tc189596295" 题型五：空间线段以及线段之和最值问题 PAGEREF _Tc189596295 \h 17
\l "_Tc189596296" 题型六：空间角问题 PAGEREF _Tc189596296 \h 18
\l "_Tc189596297" 题型七：轨迹问题 PAGEREF _Tc189596297 \h 21
\l "_Tc189596298" 题型八：翻折问题 PAGEREF _Tc189596298 \h 22
\l "_Tc189596299" 重难点突破：以立体几何为载体的情境题 PAGEREF _Tc189596299 \h 25
高考对这一部分的考察主要集中在两个关键点：一是判断与空间线面位置关系相关的命题真伪；二是涉及一些经典且常出现于压轴位置的小题，这些小题通常具有中等或偏上的难度。
1、几类空间几何体表面积的求法
（1）多面体：其表面积是各个面的面积之和．
（2）旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
（3）简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补．
2、几类空间几何体体积的求法
（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．
（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，
有时可采用等体积转换法求解．
（3）锥体体积公式为，在求解锥体体积时，不能漏掉
3、求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆
锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形．
4、球的截面问题
球的截面的性质：
①球的任何截面是圆面；
②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；
③球心到截面的距离与球的半径及截面的半径的关系为．
注意：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系；选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．
5、立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．
6、解决立体几何问题的思路方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题；涉及某些角的三角函数的最值，借助模型求解，如正四面体模型、长方体模型和三余弦角模（为平面的斜线与平面内任意一条直线所成的角，为该斜线与该平面所成的角，为该斜线在平面上的射影与直线所成的角）．
7、立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素养．
8、解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角坐标系或平面直角坐标系．
9、以立体几何为载体的情境题大致有三类：
（1）以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等；
（2）以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等；
（3）以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等．
10、以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题．图形怎么阅读?一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．
1．（2024年北京高考数学真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）.
A．1B．2C．D．
2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．1C．2D．3
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ．
4．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
5．（2023年北京高考数学真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ）

A．B．
C．D．
6．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
8．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
9．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022年新高考北京数学高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
13．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
题型一：球与截面面积问题
【典例1-1】（24-25高三上·江苏常州·期末）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）
A．B．C．πD．
【典例1-2】已知棱长为3的正四面体的几何中心为，平面与以为球心的球相切，若与该正四面体的截面始终为三角形，则球表面积的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
球的截面问题
球的截面的性质：
①球的任何截面是圆面；
②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；
③球心到截面的距离与球的半径及截面的半径的关系为．
【变式1-1】（2024·河南开封·二模）已知经过圆锥的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2024·江苏南通·二模）在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，平面截正方体外接球所得的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
1．已知四面体的各个顶点都在球O的表面上，，，两两垂直，且，，，E是棱BC的中点，过E作四面体外接球O的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（ ）
A．B．C．D．
题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题
【典例2-1】半正多面体（semiregular slid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的.它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），点满足，则直线与平面所成角的正弦值（ ）
A．为定值B．存在最大值，且最大值为1
C．为定值1D．存在最小值，且最小值为
【典例2-2】如图，已知正方体，点P是四边形的内切圆上一点，O为四边形ABCD的中心，给出以下结论：
①存在点P，使平面DOP；
②三棱锥的体积为定值；
③直线与直线OP所成的角为定值.
其中，正确结论的个数为（ ）

A．0B．1C．2D．3
几类空间几何体体积的求法
（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．
（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，
有时可采用等体积转换法求解．
（3）锥体体积公式为，在求解锥体体积时，不能漏掉
【变式2-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知正方体的边长为1，现有一个动平面，且平面，当平面截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为，周长为，则（ ）
A．不为定值，为定值B．为定值，不为定值
C．与均为定值D．与均不为定值
【变式2-2】（多选题）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（不包括端点），则（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得平面
C．对于任意点Q，均不成立
D．三棱锥的体积是定值
1．如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．平面ABCD
C．三棱锥的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题
【典例3-1】（多选题）如图，在正四面体中，已知，为棱的中点. 现将等腰直角三角形绕其斜边旋转一周（假设可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（ ）
A．三角形绕斜边旋转一周形成的旋转体体积为
B．四点共面
C．点到的最近距离为
D．异面直线与所成角的范围为
【典例3-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ）
A．与平面的夹角的正弦值为B．点到的距离为
C．线段的长度的最大值为D．与的数量积的范围是
几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值.
【变式3-1】（多选题）已知正方体棱长为为正方体内切球的直径，点为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当为中点时，与所成角余弦值为
B．当面时，点的轨迹长度为
C．的取值范围为
D．与所成角的范围为
【变式3-2】（多选题）如图，在棱长为2的正方体中，已知N，Q分别是棱的中点，，P分别是棱上的动点，下列结论正确的是（ ）
A．四面体的体积为定值
B．不存在动点M，P，使得
C．直线CM与平面所成角的范围是
D．若M，P分别是棱的中点，由平面MNQ分割该正方体，其中截面MNQ上方的部分为几何体，某球能够被整体放入几何体，则该球半径的最大值为
1．（多选题）（2024·云南昆明·模拟预测）如图，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点为侧棱（含端点）上的动点，直线平面，则下列说法正确的有（ ）

A．直线与平面不可能平行
B．直线与平面不可能垂直
C．若且，则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为
D．直线与平面所成角的正弦值的范围为
题型四：立体几何中的交线问题
【典例4-1】阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．0B．C．D．
【典例4-2】（2024·江西景德镇·一模）甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（ ）
A．B．C．D．1
几何法
【变式4-1】（2024·广东广州·模拟预测）在正六棱柱中，，为棱的中点，以为球心，为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）在正方体中，点为线段上的动点，直线为平面与平面的交线，现有如下说法
①不存在点，使得平面
②存在点，使得平面
③当点不是的中点时，都有平面
④当点不是的中点时，都有平面
其中正确的说法有（ ）
A．①③B．③④C．②③D．①④
1．用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、拋物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．记圆锥轴截面半顶角为，截口曲线形状与有如下关系：当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线：当时，截口曲线为双曲线．如图1所示，其中，现有一定线段，其与平面所成角（如图2），为斜足，上一动点满足，设点在的运动轨迹是，则（ ）

A．当时，是抛物线B．当时，是双曲线
C．当时，是圆D．当时，是椭圆
题型五：空间线段以及线段之和最值问题
【典例5-1】棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为 .

【典例5-2】已知是大小为的二面角，为二面角内一定点，且到半平面的距离分别为，分别是半平面､内的动点.则周长的最小值为 .
几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值.
【变式5-1】如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上的动点，则的最小值为 ．
【变式5-2】如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，点到的最小值为 .
1．如图，在棱长为4的正方体中，已知是上靠近的四等分点，点分别在上，则周长的最小值为 .
题型六：空间角问题
【典例6-1】如图，正三棱锥的侧面和底面所成的角为，正三棱锥的侧面和底面所成的角为，，P和位于平面的异侧，且这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则 ，的最大值为 .
【典例6-2】如图1，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为，直线与圆的另一个交点为，且点满足.（如图2）.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，则下列四个判断中，正确的个数有 个.
① ② ③ ④.

1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：
（1）作图：作出空间角的平面角．
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．
（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．
简称：一作、二证、三算．
2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．
3、求直线与平面所成角的常见方法
（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．
（2）等积法：公式，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．
（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．
4、作二面角的平面角常有三种方法
（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．
（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．
（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．
【变式6-1】在正方体中，点是上的动点，是平面内的一点，且满足，则平面与平面所成角余弦值的最大值为 .
【变式6-2】如图所示，几何体由正方体和正四棱锥组合而成，若该组合体内接于半径为的球(即所有顶点都在球上)，记正四棱锥侧棱与正方体底面所成的角为，则 ．
1．如图，边长为2的正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为 ；设直线与平面所成角分别为，则 .
题型七：轨迹问题
【典例7-1】（2024·浙江台州·一模）已知球的半径为，是球表面上的定点，是球表面上的动点，且满足，则线段轨迹的面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例7-2】（24-25高三上·北京西城·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（ ）
A．是平行四边形，且周长为
B．是平行四边形，且周长为
C．是等腰梯形，且周长为
D．是等腰梯形，且周长为
解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角坐标系或平面直角坐标系．
【变式7-1】已知点是正四面体内的动点，是棱的中点，且点到棱和棱的距离相等，则点的轨迹被平面所截得的图形为（ ）
A．线段B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
【变式7-2】（多选题）（24-25高三上·河南·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为线段上的动点，为底面内的动点，则（ ）

A．若，则
B．若，则动点的轨迹长度为
C．若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为双曲线的一部分
D．若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为椭圆的一部分
1．在直四棱柱中，底面是菱形，边长为2，，侧棱长，点为四边形内动点，若，则点的轨迹长为 ．
题型八：翻折问题
【典例8-1】在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，点为线段中点.在翻折的过程中，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积最大值为
B．异面直线、所成角始终为
C．翻折过程中存在某个位置，使得大小为
D．点在某个圆上运动
【典例8-2】如图，在菱形ABCD中，，线段AD，BD的中点分别为E，F．现将沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围（ ）.

A．B．
C．D．
【变式8-1】如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折．在翻折过程中，当二面角的平面角最大时，其正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（多选题）在菱形中，，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ）
A．平面
B．
C．异面直线，所成的角为
D．与平面所成角的余弦值为
1．（多选题）在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（ ）

A．若点在线段上，则的最小值为
B．三棱锥的体积为
C．异面直线、所成的角为
D．三棱锥外接球的表面积为
重难点突破：以立体几何为载体的情境题
【典例9-1】（2024·青海·模拟预测）如图，在正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，．对于空间任意两点，，若线段上不存在也在线段，上的点，则称，两点“可视”，则与点“可视”的点为（ ）
A．B．C．D．
【典例9-2】（22-23高三上·河北·期末）由空间一点出发不共面的三条射线，，及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为．其中叫做三面角的顶点，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三个面角，分别记为，，，二面角、、叫做三面角的二面角，设二面角的平面角大小为，则一定成立的是（）
A．B．
C．D．
以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题．图形怎么阅读？一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．
【变式9-1】（多选题）（2024·江西·三模）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面是面积为的等边三角形，则
B．若，则
C．若，则球面的体积
D．若平面为直角三角形，且，则
【变式9-2】（多选题）设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中，为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知在直四棱柱中，四边形为菱形，，则下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若，则四棱柱在顶点处的离散曲率为
C．若四面体在点处的离散曲率为，则平面
D．若四棱柱在顶点处的离散曲率为，则直线与平面所成的角的正弦值为
1．将个棱长为1的正方体如图放置，其中上层正方体下底面的顶点与下层正方体上底面棱的中点重合.设最下方正方体的下底面的中心为，过的直线与平面垂直，以为顶点，为对称轴的抛物线可以被完全放入立体图形中.若，则的最小值为 ；若有解，则的最大值为 .
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
球与截面面积问题
掌握球截面性质，会求截面面积
2021年天津卷第6题，5分
2018年I卷第12题，5分
对于2025年高考的预测，关于几何题目的出现形式和热点，可以重新表述为：
（1）预计几何题目将以选择题或填空题的精炼形式呈现，旨在全面检验学生的逻辑推理与综合分析能力。
（2）考试的几何热点内容可能会聚焦于基础几何体的表面积与体积计算、空间中的最短路径求解，以及几何体的截面形状与性质等关键问题。
最值与范围问题
掌握求解方法，解决最值与范围问题
2023年甲卷第16题，5分
2022年乙卷第9题，5分
2022年I卷第8题，5分
2021年上海卷第9题，5分
角度问题
掌握角度计算，解决立体几何难题
2024年II卷第7题，5分
2023年天津卷第8题，5分
2023年乙卷第9题，5分
2022年浙江卷第8题，4分
2022年甲卷第9题，5分