2025年高考数学二轮复习(新高考通用)专题16直线与圆几何问题题型深度剖析与总结(讲义)(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学二轮复习(新高考通用)专题16直线与圆几何问题题型深度剖析与总结(讲义)(学生版+解析)，文件包含2025年高考数学二轮复习新高考通用专题16直线与圆几何问题题型深度剖析与总结讲义教师版docx、2025年高考数学二轮复习新高考通用专题16直线与圆几何问题题型深度剖析与总结讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共59页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc190270580" 01考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc190270580 \h 2
\l "_Tc190270581" 02知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc190270581 \h 3
\l "_Tc190270582" 03 知识梳理·方法技巧 PAGEREF _Tc190270582 \h 4
\l "_Tc190270583" 04 真题研析·精准预测 PAGEREF _Tc190270583 \h 6
\l "_Tc190270584" 05 核心精讲·题型突破 PAGEREF _Tc190270584 \h 8
\l "_Tc190270585" 题型一：直线的方程 PAGEREF _Tc190270585 \h 8
\l "_Tc190270586" 题型二：圆的方程 PAGEREF _Tc190270586 \h 9
\l "_Tc190270587" 题型三：直线、圆的位置关系 PAGEREF _Tc190270587 \h 10
\l "_Tc190270588" 题型四：圆的动点与距离问题 PAGEREF _Tc190270588 \h 11
\l "_Tc190270589" 题型五：阿氏圆 PAGEREF _Tc190270589 \h 12
\l "_Tc190270590" 题型六：米勒定理与角度问题 PAGEREF _Tc190270590 \h 13
\l "_Tc190270591" 题型七：圆的数形结合 PAGEREF _Tc190270591 \h 14
\l "_Tc190270592" 重难点突破：与距离问题有关的最值 PAGEREF _Tc190270592 \h 15
直线与圆是高考数学的重点内容。考查形式多为选择题、填空题，难度中档。常考求直线（圆）方程、点到直线距离、判断直线与圆位置关系，以及简单弦长与切线问题。其中，直线方程、圆的方程、两直线平行与垂直关系等是基础考点，需熟练掌握相关公式和判定方法 ，注重数形结合解题.
1、直线与圆的位置关系
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，
消元得到一元二次方程，判别式为，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
2、圆与圆的位置关系
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；.
302
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
3、关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程为
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2024年北京高考数学真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
4．（2024年天津高考数学真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ．
5．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
6．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
9．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ．
10．（2022年新高考全国II卷数学真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
11．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
12．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
题型一：直线的方程
【典例1-1】已知，，若的平分线方程为，则所在直线的一般方程为 .
【典例1-2】光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 .
1、已知直线，直线，则，且(或)，.
2、点到直线(A，B不同时为零)的距离.
3、两条平行直线，(A，B不同时为零)间的距离.
【变式1-1】已知过原点的直线与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ．
【变式1-2】一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ．
1.过定点A的直线与圆交于B，C两点，点B恰好为AC的中点，写出满足条件的一条直线的方程 ．
题型二：圆的方程
【典例2-1】如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为米，门在地面处的宽度为米.现将其截面图放置在直角坐标系中，以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-2】过点引圆：的两条切线，切点分别为，．若，则过，，三点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
1、圆的方程
（1）圆的定义
在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
（2）圆的标准方程
设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：
（3）圆的一般方程
圆方程为，圆心坐标：，半径：
【变式2-1】已知直线l与抛物线交于A，B两点（B在第一象限），C是抛物线的准线与直线l的交点，F是抛物线G的焦点，若，则以AB为直径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
1.已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型三：直线、圆的位置关系
【典例3-1】若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】在平面直角坐标系中，满足不等式组的点表示的区域面积为（ ）
A．B．C．D．
1、直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.
2、圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.
【变式3-1】设圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线的距离均为2，则实数（ ）
A．B．1C．21D．31
【变式3-2】已知圆与圆交于、两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
1.设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为1，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型四：圆的动点与距离问题
【典例4-1】若实数、满足条件，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例4-2】已知点，，若圆上存在点P满足，则实数a的取值的范围是 ．
解决与圆相关的长度或距离的最值问题，通常的策略是根据所涉及的长度或距离的几何定义，借助圆的几何特性，通过数形结合的方法来寻找解答。
【变式4-1】已知点是圆上一点，则的范围是 ．
【变式4-2】已知点P(m，n)在圆上运动，则的最大值为 ，最小值为 ，的范围为 ．
1.已知实数x，y满足，则的最小值为 ．
题型五：阿氏圆
【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【典例5-2】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为 .
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”．特殊地，当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线．
【变式5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 .
【变式5-2】已知实数满足，则的最小值为 .
1.阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的方程为 ；若Q为抛物线上的动点，Q在y轴上的射影为M，则的最小值为 .
题型六：米勒定理与角度问题
【典例6-1】（多选题）已知点在圆：上，点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．点到直线的距离小于6B．点到直线的距离大于2
C．的最大值为D．的最大值为
【典例6-2】德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点是的边上的两个定点，C是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点C时，最大．在平面直角坐标系中，已知点，，点F是y轴负半轴的一个动点，当最大时，的外接圆的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
米勒定理：已知点，是的边上的两个定点，点是边上的一动点，则当且仅当三角形的外接圆与边相切于点时，最大．
【变式6-1】已知为坐标原点，点，圆，点为圆上的一动点，则的最小值为 .
【变式6-2】已知圆C：，点P是圆C上的动点，点，当最大时，所在直线的方程是 .
1.已知，，是圆上的一个动点，则的最大值为 .
题型七：圆的数形结合
【典例7-1】过直线上一点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【典例7-2】已知是圆上一动点，若直线上存在两点，使得能成立，则线段的长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
利用几何意义转化
【变式7-1】已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-2】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
1.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点P，则对任意实数a，的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
重难点突破：与距离问题有关的最值
【典例8-1】已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例8-2】，，函数的最小值为 .
利用几何意义转化
【变式8-1】已知，则的最小值为 .
1.著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ．
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
直线与方程
掌握直线方程，运用数形结合解题
2024年北京卷第3题，4分
2023年I卷第6题，5分
2025年高考数学可能会涉及直线与圆的方程，包括直线方程的一般形式、圆方程的标准形式等。同时，可能会考察直线与圆的位置关系，如相交、相切、相离等，以及相关的计算和应用。
直线与圆的位置关系
理解位置关系，渗透数学思想方法
2024年甲卷（理）第12题，5分
2023年甲卷（理）第8题，5分
2023年II卷第15题，5分
2022年II卷第15题，5分
圆与圆的圆的位置关系
掌握判定方法及应用
2022年II卷第14题，5分
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0