湖南省长沙麓山国际实验学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖南省长沙麓山国际实验学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，则（ ）
A. B. 5C. D.
2. 设，则，，则，，的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
3. 关于一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知点，，．则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
6. 为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市年全年用于垃圾分类的资金为万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元的年份是（参考数据：，）（ ）
A. 年B. 年C. 年D. 年
7. 已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④(其中为中，角所对的边).则O依次是的
A. 内心、重心、垂心、外心B. 外心、垂心、重心、内心
C 外心、内心、重心、垂心D. 内心、垂心、外心、重心
8. 在直角中，，若点是所在平面内一点，且，则当取到最大值时，（ ）
A. 1B. C. D. 2
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 设、为复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B.
C. D. 若，则
10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）.
A. 若，则B. 若，的值为
C. 的取值范围为D. 存在，使得
11. 已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（ ）
A. 的取值范围是
B. 若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为
C. 若三角形是锐角三角形，则的取值范围是
D. 若三角形是锐角三角形，平分交于点，且，则的最小值为
第II卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是________.
13. 设复数，，则的取值范围是__________．
14. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则值为______.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设三角形的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知，.
（1）求三角形外接圆半径；
（2）若三角形的面积为，求的值.
16 已知向量，满足，.
（1）若，求与的夹角；
（2）若对任意实数，恒成立，求与的夹角.
17. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C的距离都为5 nmile，与小岛D的距离为 nmile，为钝角，且.
（1）求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所围成的四边形的面积；
（2）记为，为，求的值.
18. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值．
19. 设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”.
（1）记的“友函数”为，求函数的单调递增区间；
（2）设，其中，求的“友向量”模长的最大值；
（3）已知点满足，向量的“友函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围.
2024—2025—2学期麓山国际高一第一次学情检测试卷
数学
时量：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，则（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数除法运算和复数模长求法直接求解即可．
【详解】因为，
所以，
故选：A．
2. 设，则，，则，，的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数的运算、指数运算的性质，结合对数函数的性质、指数函数的性质进行求解判断即可.
【详解】，所以有，
因为，所以有，
故选：B
3. 关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】关于的一元二次方程有实数解，
则，解得，
结合选项可知的一个必要不充分条件的是.
故选：A.
4. 已知点，，．则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的坐标公式，结合投影向量的定义进行求解即可.
【详解】因为，，．
所以，，
，
所以向量与的夹角为钝角，
因此量在上的投影向量与方向相反，
而，，
所以在上的投影向量为，
故选：C
5. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
6. 为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市年全年用于垃圾分类的资金为万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元的年份是（参考数据：，）（ ）
A. 年B. 年C. 年D. 年
【答案】C
【解析】
【分析】设后第年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元，结合等增长率模型列出不等式计算即可得结论.
【详解】设后第年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元，
因为该市年全年用于垃圾分类的资金为万元，每年投入的资金比上一年增长，
所以后第年该市全年用于垃圾分类的资金为，
由已知
所以，
两边取常用对数可得
又，
所以.
所以后第年，即年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿.
故选：C.
7. 已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④(其中为中，角所对的边).则O依次是的
A. 内心、重心、垂心、外心B. 外心、垂心、重心、内心
C. 外心、内心、重心、垂心D. 内心、垂心、外心、重心
【答案】B
【解析】
【分析】
对①，易得点O到点的距离相等即可判断.
对②，根据向量的数量积运算可求得， ，即可判断.
对③，根据重心的性质与数量积的运算判断即可.
对④，根据平面向量的线性运算可得，进而可知在三个角的角平分线上即可证明.
【详解】对于①，因为①，
所以点O到点的距离相等，
即点O为的外心;
对于②，因为，
所以，
所以，
即，同理，
即点O为的垂心;
对于③，因为，
所以，
设D为的中点，则，
即点O为的重心;
对于④，因为，
故，整理得.
又，
所以.因为分别为，方向的单位向量，故与的角平分线共线.同理与的角平分线共线，与的角平分线共线.故点O为的内心.
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据根据平面向量的关系分析三角形四心的问题，需要根据题意结合四心的性质，利用平面向量的运算以及性质求证.属于中档题.
8. 在直角中，，若点是所在平面内一点，且，则当取到最大值时，（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，根据题意条件确定P点坐标，即可利用数量积的坐标表示求得的表达式，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】如图，以为轴建立平面直角坐标系，

由于，则，
则，
而，即有,
故，
因为，，当且仅当，即时取等号，
故当时，取到最大值，
故选：B
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 设、为复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B.
C. D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用特殊值法可判断AD选项的正误；利用复数的乘法运算以及复数的模长公式可判断B选项的正误；利用复数的加减运算以及共轭复数的定义可判断C选项的正误.
【详解】对于A选项，取，，则，A错；
对于B选项，设，，
则，
所以，，B对；
对于C选项，设，，则，，
，则，
，则，
故，C对；
对于D选项，取，，则，但，D错.
故选：BC.
10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）.
A. 若，则B. 若，的值为
C. 的取值范围为D. 存在，使得
【答案】AB
【解析】
【分析】由向量共线的坐标运算可判断A；由向量的垂直的坐标运算可判断B；由向量数量积的坐标运算和的范围可判断C；由得，求出的范围可判断D.
【详解】对于A，若，则，所以，故A正确；
对于B，若，则，所以，
因为，所以的值为，故B正确；
对于C，，因为，
所以，，所以的取值范围为，故C错误；
对于D，，所以，，
若，则，得，
解得，因为，所以，解得，
因为，所以无解，故D错误.
故选：AB.
11. 已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（ ）
A. 的取值范围是
B. 若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为
C. 若三角形是锐角三角形，则的取值范围是
D. 若三角形是锐角三角形，平分交于点，且，则的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正弦定理及余弦定理求出角B，利用三角恒等变换公式化简求出值域判断A，利用向量线性运算及数量积的运算律解得，使用基本不等式即可求出面积最大值判断B，利用正弦定理及三角恒等变换得，求出函数值域即可判断C，由三角形面积公式寻找，关系，再利用基本不等式判断D.
【详解】因为，
所以，所以，
所以，即，又，所以，
，
因为，所以，所以，
所以，故A错误；
因为，所以，
所以，又，
所以，
即，当且仅当即时，等号成立，
所以，即的面积的最大值为，故B正确；
，
因为，所以，所以，
所以，所以，故C正确；
由题意得：，由角平分线以及面积公式得，
化简得，所以，所以，
当且仅当，即时取等号，
此时，
而，所以，与三角形是锐角三角形矛盾，所以等号不成立,故D错误；
故选：BC
第II卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数是R上增函数，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由函数的单调性列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为函数是上的增函数，
则，解得.
故答案为：.
13. 设复数，，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】运用复数模长的几何意义，数形结合可解.
【详解】由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，表示如图所示的圆环，
而表示复数的对应点与复数的对应点之间的距离，
即圆环内的点到点的距离．
由图易知当与重合时，，当点与点重合时，，．
故答案为：.

14. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______.

【答案】
【解析】
【分析】利用，结合已知条件可把求出，由平面向量基本定理把、用已知向量、表示，再利用数量积的运算法则可求数量积．
【详解】，，
，存在实数，使得，即，
又，则，
，，，
则
，
故答案：．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设三角形的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知，.
（1）求三角形外接圆半径；
（2）若三角形的面积为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题结合余弦定理可得，然后由正弦定理可得答案；
（2）由三角形的面积为，可得，然后由，可得，即可得答案.
小问1详解】
，
则，则，,
故外接圆半径R满足：；
【小问2详解】
因三角形的面积为，则，
结合，，可得，
则.
16. 已知向量，满足，.
（1）若，求与的夹角；
（2）若对任意实数，恒成立，求与的夹角.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由垂直关系得到，再由夹角公式即可求解；
（2）设与的夹角为，由平方，将不等式展开，可得到关于的一元二次不等式，进而可知，从而可求得，进而求出.
【小问1详解】
因为，
所以，
即，又，
所以，
可得：，
所以，
又
所以与的夹角为；
【小问2详解】
设与的夹角为，
因为恒成立，
所以得，
整理得，
由，可得对一切实数恒成立，
所以，即，
又因为，所以，即.
又，所以，即与的夹角为.
17. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C的距离都为5 nmile，与小岛D的距离为 nmile，为钝角，且.
（1）求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所围成的四边形的面积；
（2）记为，为，求的值.
【答案】（1）nmile；nmile2.
（2）
【解析】
【分析】（1）在和中利用余弦定理可得，再利用三角形面积公式四边形的面积；
（2）在和中利用余弦定理可得，再利用二倍角公式计算，最后利用两角和差的正弦公式计算.
【小问1详解】
为钝角，且得，
因，则，,
在中利用余弦定理得，
在中利用余弦定理得，
将代入得或（舍），
或（舍），
则小岛A与小岛D之间的距离为nmile，四个小岛所围成的四边形的面积为nmile2
【小问2详解】
在中利用余弦定理得，
，因，
则，
则，，
则.
18. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解.
（2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
因为是线段中点，所以，
又因为，设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以．
【小问2详解】
因为， ，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
19. 设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”.
（1）记的“友函数”为，求函数的单调递增区间；
（2）设，其中，求的“友向量”模长的最大值；
（3）已知点满足，向量的“友函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据定义直接可得函数解析式并化简，进而可得函数的单调递增区间；
（2）化简函数解析式，可判断函数的“友向量”，进而可确定其模长；
（3）根据三角函数性质直接可得函数取得最值时根据不等式可得，再利用齐次式可得的最值.
【小问1详解】
由已知，
则令，，
解得，，
即函数的单调递增区间为，；
【小问2详解】
，
则的“友向量”为，
所以，
又，所以当，时，取得最大值为；
【小问3详解】
由已知点满足，
则，，且，
又，且，
且当，时，函数取得最大值，
即，
所以，
即，
又，
设，则原式，
且在上单调递减，
所以.