湖南省长沙市麓山国际实验学校2024-2025学年高二下学期第一次学情检测（3月）数学试题（Word版附解析）

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时量：120 分钟 满分：150 分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合 后可求 .
【详解】 ，故 ，
故选：D
2. 的展开式中 的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 展开式的通项公式结合乘法法则即可求解 的系数.
【详解】 展开式的通项公式为 ，
当 时， ，当 时， ，
所以展开式中含 的项为 ，
故展开式中 的系数 .
故选：D
3. 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司 2018 年至
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2022 年云计算市场规模数据，且市场规模 y（单位：千万元）与年份代码 x 的关系可以用模型 （其
中 e＝2.71828…）拟合，设 ，得到数据统计如下表：
年份 2018 年 2019 年 2020 年 2021 年 2022 年
x 1 2 3 4 5
y m 11 20 36.6 54.6
z n 2.4 3 3.6 4
由上表可得回归方程 ，则 m 的值约为（ ）
A. 2 B. 7.4 C. 1.96 D. 6.9
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由回归方程 过点 ，可得 ，再由 即可求得 .
【详解】由题意可得， ，将 代入 可得
，且 ，所以 ，
又因为 ，即 ，所以 .
故选:B
4. 第 届中国国际航空航天博览会于 年 月 日至 日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打
造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是
珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少
有 人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】记事件 甲参观珠海国际航展中心，事件 甲与乙不到同一观展区，求出 、 的值，
利用条件概率公式可求得所 的值，即为所求.
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【详解】记事件 甲参观珠海国际航展中心，事件 甲与乙不到同一观展区，则 ，
因为每个观展区至少有 人，每人只参观一个观展区，
则先将 个人分为 组，再将这三组分配给三个展区，
基本事件的总数为 ，
若事件 、 同时发生，若参观珠海国际航展中心有 人，则另外一人为丙或丁，
此时，不同的参观情况种数为 ，
若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区，
此时，不同的参观情况种数为 种，
因此， ，
由条件概率公式可得 .
故选：A.
5. 一医疗团队为研究治疗某种疾病的新药能否有助于 7 天内治愈该疾病病人，在已患病的 500 例病人中，
随机分为两组，实验组服用该新药，对照组不服用该药，在其他治疗措施相同的情况下，统计 7 天内痊愈
病例数，得到如下数据：
7 天内未痊愈 7 天内痊愈
对照组 30 170
实验组 20 280
根据表格数据，下列结论正确的是（ ）
参考公式及数据： ，其中 ．
0.10 0.010 0.001
2.706 6.635 10.828
A. 在犯错误的概率不大于 0.01 的前提下，可以认为服用该新药与 7 天内治愈病人无关
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B. 在犯错误的概率不大于 0.001 的前提下，可以认为服用该新药与 7 天内治愈病人无关
C. 根据小概率值 的独立性检验，可以推断服用该新药与 7 天内治愈病人有关
D. 根据小概率值 的独立性检验，可以推断服用该新药与 7 天内治愈病人有关
【答案】C
【解析】
【分析】求出卡方值，和 6.635，10.828 比较即可根据小概率值 的独立性检验判断.
【详解】 ，所以根据小概率值 的独立性
检验，有充分证据推断服用该新药对 7 天内治愈病人有影响，
因此在犯错误的概率不大于 0.01 的前提下，可以推断服用该新药与 7 天内治愈病人有关，故 C 正确，A 错
误.
，所以根据小概率值 的独立性检验，
没有充分证据推断服用该新药对 7 天内治愈病人有关，
因此在犯错误的概率不大于 0.001 的前提下，不可以推断服用该新药与 7 天内治愈病人有关，故 BD 错误.
故选：C.
6. 五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.
古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图
是五行图，现有 5 种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，
不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法
种数有（ ）
A. 3125 B. 1000 C. 1040 D. 1020
【答案】D
【解析】
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【分析】根据不邻区域是否同色进行分类，确定涂色顺序再分步计数即可.
【详解】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件.
五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色.
故问题转化为如图 五个区域，
有 种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即 色 区域的环状涂色问题.
分为以下两类情况：
第一类： 三个区域涂三种不同的颜色，
第一步涂 区域，
从 种不同的颜色中选 种按序涂在不同的 个区域上，则有 种方法，
第二步涂 区域，由于 颜色不同，有 种方法，
第三步涂 区域，由于 颜色不同，则有 种方法，
由分步计数原理，则共有 种方法；
第二类： 三个区域涂两种不同的颜色，
由于 不能涂同一色，则 涂一色，或 涂同一色，两种情况方法数相同.
若 涂一色，
第一步涂 区域， 可看成同一区域，且 区域不同色，
即涂 个区域不同色，
从 种不同的颜色中选 种按序涂在不同的 个区域上，则有 种方法，
第二步涂 区域，由于 颜色相同，则有 种方法，
第三步涂 区域，由于 颜色不同，则有 种方法，
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由分步计数原理，则共有 种方法；
若 涂一色，与 涂一色的方法数相同，
则共有 种方法.
由分类计数原理可知，不同 涂色方法共有 种.
故选：D.
7. 已知正三棱台的高为 1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出球的半径，再根据球的表面积公式 （ 为表面积， 为半径）来求解.通过构造直
角三角形等方法来求出球半径.
【详解】对于正三棱台，设上底面所在圆面半径为 ，下底面所在圆面半径为 .
对于正三角形，其外接圆半径 与边长 的关系为 .
上底面边长 ，则 .
下底面边长 ，则 .
设球心到上下底面的距离分别为 ， ，球的半径为
因为正三棱台的高 ，且 .
根据 和 .
设 ，则 或 .
由 和 可得：
,解得 .
把 代入 ，得 .
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根据球的表面积公式 .
把 代入可得
故该球的表面积为 .
故选：A.
8. 已知函数 ，若对任意的 ， ， ，都有 成
立，则实数 k 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用换元法构造函数，结合单调性求函数值域，结合题意即可求解.
【详解】设 ，则
，
令 ，则 ，
因为 ，
所以， ，当且仅当 时等号成立，
当 ，即 时，函数 在 上单调递减，则 ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时，函数 在 上单调递增，则 ，
所以，当 时， ， ，
由于对任意的 ， ， ，都有 成立，
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所以， ，解得 ，
当 时， ，显然符合题意，
当 时， ， ，
由题意知， ，解得， ，
综上可得， 的取值范围为 ，
故选：C.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列四个命题中正确的是（ ）
A. 已知事件 相互独立， ， ，则
B. 已知随机变量 ，若 ，则
C. 已知随机变量 ，若 ，则
D. 已知 ， ， ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用独立事件的概率乘法公式和概率加法公式判断 A；利用正态分布的对称性判断 B，利用二项分
布的方差公式和方差的性质判断 C，利用全概率公式判断 D.
【详解】选项 A：因为事件 相互独立， ， ，
所以 ， ，A 说法错误；
选项 B：因为随机变量 ， ，
又因为 ，所以 ， ，B 说法正确；
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选项 C：由 解得 ，
又因为随机变量 ，所以 ，解得 ，C 说法正确；
选项 D：因为 ，所以 ，
所以 ，D 说法正确；
故选：BCD
10. 已知函数 ， 的图象与直线 交于 、 两点，且
，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 无最值
C.
D. 在 处的切线的斜率大于
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用导数分析函数 的单调性与极值，数形结合可得出实数 的取值范围，可判断 A 选项；
利用导数分析函数 的单调性，可判断 B 选项；分析可知 ，将所证不等式变形为
，令 ，构造函数 ，结合函数 的单调性可判断
C 选项；利用 D 选项中的结论结合导数的几何意义可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，函数 的定义域为 ， ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 ，
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所以函数 的极小值为 ，作出函数 的图象如下图所示：
当 时，则函数 有两个零点，所以， ，解得 ，A 错；
对于 B 选项，若 ，
对于函数 ，有 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，
且 ，
，
当且仅当 时，等号成立，
所以，函数 在 上 减函数，函数 无极值，B 对；
对于 C 选项，因为函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 ，则 ，
要证 ，即证 ，
令 ， ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，当 时， ，
所以， ，C 对；
对于 D 选项，因为 ，
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所以 ，所以 ，
因为 ，则 ，
因为所以函数 在 处的切线斜率大于 ，D 对.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，
然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思
想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与函数
的图象的交点问题.
11. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 两点（异于坐标原点 ），则下列说法
正确的是（ ）
A. 以 为直径的圆与 轴相切
B. 若直线 过点 ，则 的最小值为
C. 若直线 斜率为 2，且 ，则
D. 若 ，则直线 过定点
【答案】AD
【解析】
【分析】如图，利用两点坐标表示直线斜率之积为-1 可得 ，即可判断 A；易知当直线 的斜率不
存在时 ；当斜率存在且不为 0 时，设直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理和抛物线的定义
求出弦长即可判断 B；由三角形面积关系可得 ，分类讨论 、 两种情况，利用两点
表示斜率公式求出点 坐标，结合两点求弦长即可判断 C；分类讨论斜率存在与不存在两种情况，直线
方程联立抛物线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示计算即可判断 D.
【详解】对于 A， ，设 ，取 的中点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，
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则 ， ，所以 ，
所以 ，所以以 为直径的圆与 轴相切，故 A 正确；
对于 B，当直线 的斜率不存在时，因为直线 过点 ，
得 或 ，所以 ；
当直线 的斜率存在且不为 0 时，设直线的方程为 ，
由 ，得 ，
设 ，则 ，
此时 ．
综上所述， ，故 B 错误；
对于 C，设 ，不妨设点 A 在 轴上方，则 .
因为 ，所以 ，即 ，
由直线 的斜率为 2，①当 时，设 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以 ， ，所以 ；
②当 时，设 ，所以 ，
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所以 ，解得 ，所以 ， ，
所以 ．结合①，②可得 或 ，故 C 错误；
对于 D，当直线 的斜率不存在时，因为 ，所以 ，
易得 或 ，则直线 的方程为 ，过点 ；
当直线 的斜率存在且不为 0 时，设直线的方程为 ，
由 ，得 ，设 ，
则 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，又 两点异于坐标原点 ，所以 ，
得 ，所以直线 的方程为 ，则直线 过点 ，故 D 正确．
故选：AD．
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消
元得到关于 或 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，
该关系中含有 或 ，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），
从而可求定点、定值、最值问题.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 现有来自两个班级的考生报名表，分装 2 袋，第一袋有 6 名男生和 4 名女生的报名表，第二袋有 7 名男
生和 5 名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取 2 份.则恰好抽到男生和女生的报名表各 1 份的
概率是______.
【答案】
【解析】
【分析】设 “抽到第一袋”， “抽到第二袋”， “随机抽取 2 份，恰好抽到男生和女生的报名表各
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1 份”，根据题意求出. ， ， ， ，然后利用全概率公式可求出结果.
【详解】设 抽“到第一袋”， “抽到第二袋”， “随机抽取 2 份，恰好抽到男生和女生的报名表各
1 份”，
则 ， ， ．
由全概率公式得 ．
故答案为： .
13. 已知向量 ， ，则 的最大值为_________
【答案】3
【解析】
【分析】对 先平方再开方，然后利用辅助角公式及三角函数的有界性计算即可.
【详解】 ，
又 ，
，
.
所以 的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算、三角函数的性质以及辅助角公式，属于常考题.
14. 已知正实数 满足 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 :由 题 设 可 得 (当 且 仅 当 时 取 等 号 ),即
,也即 ,所以 ,故应填答案 .
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考点：函数方程思想及基本不等式的运用条件．
【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查
基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知
变形为 ,然后再运用基本不等式得到 ,再用取得
等号时的条件 ,使得问题获解.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据数列的递推式即可求数列的通项公式.
（2）利用错位相减求和法求数列的前 项和.
【小问 1 详解】
当 时， ，
当 时， ， ，
故 .
时，上式亦成立.
所以数列 的通项公式为：
【小问 2 详解】
因为 ，
所以 ，
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所以
两式相减得： ，
所以： .
16. 如图，在三棱锥 中， 为棱 上一点， ，且 ，
．
（1）证明： 平面 ；
（2）求四面体 的外接球的体积；
（3）若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理以及线面垂直的判定定理证明即可得出结论；
（2）依题意可通过构造长方体得出四面体 的外接球的直径，即可求出外接球的体积；
（3）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，再根据两平面夹角的向量求法列方程计算可解得 .
【小问 1 详解】
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根据题意由 可得 ，
即 ，
又 ，且 平面 ，
因此 平面 ；
【小问 2 详解】
由（1）中 平面 ，又 平面 ，所以 ；
又 ， ，
所以 两两垂直，
所以四面体 的外接球即为以 为长方体的长、宽、高时长方体的外接球，该球直径为
，
因此四面体 的外接球的体积为 .
【小问 3 详解】
由（1）中 两两垂直可知，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，过点 作垂直于平面 的直线作为 轴建立空间
直角坐标系，如下所示：
设 ，在 中由勾股定理可得 ，
易知 ；
可得 ；
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设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，解得 ，令 ，则 ，
所以 ，
因此可得 ，
解得 .
可得 的长为 .
17. 甲、乙两名同学与一台智能机器人进行象棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，甲
得 1 分；如果甲输而乙赢，甲得-1 分；如果甲和乙同时赢或同时输，甲得 0 分.设甲赢机器人的概率为 0.6，
乙赢机器人的概率为 0.5.
（1）在一轮比赛中，甲的得分 X 的分布列；
（2）在两轮比赛中，甲的得分 Y 的分布列；
（3）Y 均值和方差.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3） ，
【解析】
【分析】（1）确定 的可能值并求出对应的概率，即可写出分布列.
（2）首先确定 的可能值并求出对应的概率，写出分布列.
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（3）利用（2）中分布列结合均值和方差的公式即可求出 Y 的均值和方差.
【小问 1 详解】
由题设， 的可能取值为－1，0，1，
，
，
．
的概率分布为
X －1 0 1
P 0.2 0.5 0.3
【小问 2 详解】由题设， 的可能取值－2，－1，0，1，2，
，
，
，
，
．
的概率分布为
Y －2 －1 0 1 2
P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
【小问 3 详解】所以 .
18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，右顶点和上顶点分别为 P，Q 且
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直线 l 经过 交 C 于 A， 在 x 轴上方 两点，当 l 垂直于 x 轴时，直线 OA 的斜率是直线 PQ
斜率的 倍.
（1）求 C 的方程；
（2）求 面积的最大值；
（3）若直线 PA，PB 与 y 轴分别交于 M，N 两点，问 的外接圆是否经过点 N，请给出你的判断并
说明理由?
【答案】（1）
（2）
（3）经过点 ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意建立 的等量关系，求解即可；
（2）设 ， ，l 的方程为 ，联立方程组由韦达定理求得三角形的面积结合基
本不等式求面积的最大值即可；
（3）求得直线 AP 的方程为 ，从而得到点 M，N 的坐标，则 ，
，求解数量积证明 .同理证得 即可.
【小问 1 详解】
依题意有， ， ， ，
因为 ，
则 ，解得 ，
故有 ，解得 ， ，
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则椭圆方程为
【小问 2 详解】
设 ， ，l 的方程为 ，
联立 得 ，
，
由韦达定理有 ， ，
则 ，
于是
令 ， ， ， 时取等号，
则 ，故 面积的最大值为
【小问 3 详解】
的外接圆经过点 ，理由如下：
直线 AP 的方程为 ，
令 ，则 ，故 ，
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同理可得 ，
则 ， ，
故有 .
，
故 ，同理可证 ，
于是 的外接圆经过点 .
19. 定义：如果函数 在定义域内，存在极大值 和极小值 ，且存在一个常数 ，使
成立，则称函数 为极值可差比函数，常数 称为该函数的极值差比系数
.已知函数 .
（1）当 时，判断 是否为极值可差比函数，并说明理由；
（2）是否存在 使 的极值差比系数为 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由；
（3）若 ，求 的极值差比系数的取值范围.
【答案】（1）是，理由见解析
（2）不存在，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，
求出极值差比系数 的值，这样的值存在即可判断.
（2）反证法，假设存在这样的 ，由“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可.
（3）由（2）得到参数 与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，
即可得出函数取值范围.
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【小问 1 详解】
当 时， （ ），
则
当 时， ，当 ， ，
所以 在 和 上严格递增，在 上严格递减，
所以 的极大值为 ，极小值为 ，
所以 ，所以 是极值差比函数.
【小问 2 详解】
的定义域为 ， ，
假设存在 使 的极值差比系数为 ，
则 ， 是方程 的两个不相等的正实数根，
则 ，解得 ，不妨设 ，则 ，
因为
，
所以 ，从而 ，得 （*）
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令 （ ）， ，
所以 在 上是严格增函数，所以 ，
因此（*）无解，所以不存在 使 的极值差比系数为 ；
【小问 3 详解】
由（2）知极值差比系数为 ，即 ，
不妨设 ，令 ， ，极值差比系数可化为 ，
，又 ，解得 ，
令 （ ）， ，
设 （ ）， ，
所以 在 上单调递减，当 时， ，
从而 ，所以 在 上单调递增，所以 ，
即 ，
所以 的极值差比系数的取值范围为 .
【点睛】思路点睛：研究复杂函数的性质，直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数
的等价变换，通过恒等变形发现简单函数结构，再进行构造研究.
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