2025年高考数学高考数学二轮重难题型攻略(新高考通用)专题10立体几何中球的切接问题(6大题型)练习(学生版+解析）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc8173" 题型01 外接球模型一：墙角模型 PAGEREF _Tc8173 \h 1
\l "_Tc25336" 题型02 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 PAGEREF _Tc25336 \h 2
\l "_Tc27023" 题型03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 PAGEREF _Tc27023 \h 3
\l "_Tc8721" 题型04 外接球模型四：垂面模型 PAGEREF _Tc8721 \h 4
\l "_Tc8548" 题型05 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 PAGEREF _Tc8548 \h 6
\l "_Tc16337" 题型06 内切球 PAGEREF _Tc16337 \h 8
题型01 外接球模型一：墙角模型
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（云南省昭通市普通高中云南师范大学附属镇雄中学教研联盟2024-2025学年高三上学期联考检测数学试题）棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西商洛·一模）在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，则四棱锥外接球的体积是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·广西南宁·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面ABC，，，，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三下·广西河池·阶段练习）已知三棱锥的所有棱长均为，球为三棱锥的外接球，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·甘肃白银·一模）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
题型02 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、填空题
1．（2024·湖北·模拟预测）已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，且，，，则球O的半径为 .
2．（23-24高三下·重庆荣昌·阶段练习）在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为 ．
题型03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·山西·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·广东河源·期中）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知一个正三棱柱的底面边长为6，高为4，则该正三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为，则正三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·河南·阶段练习）将2个棱长均为2的直三棱柱密封在一个球体内，则该球体的体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型04 外接球模型四：垂面模型
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·四川成都·期中）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，， ，若点，，，都在球的表面上，则球的体积为（ ）
A．B． C．D．
3．（24-25高三上·广东·阶段练习）在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（ ）
A．96πB．84πC．72πD．48π
4．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（23-24高三下·辽宁葫芦岛·期末）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足平面，若三棱锥体积为，则该“鞠”的体积最小值为 .
6．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为 .
题型05 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西榆林·三模）已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的高为（ ）
A．1B．C．D．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两垂直，则球心到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·山东德州·期中）已知四棱锥的各侧棱与底面所成的角都相等，其各个顶点都在球O的球面上，满足，，，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为 .
题型06 内切球
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·贵州·阶段练习）正方体的棱长为2，其内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·重庆·模拟预测）已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（ ）
A．B．C．D．3
5．（23-24高三下·山东·期中）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则其内切球半径是（ ）
A．1B．C．D．
6．（23-24高三下·广东深圳·阶段练习）已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·湖北·二模）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
8．（24-25高三上·江西赣州·开学考试）若正三棱柱的内切球体积为，则该正三棱柱的底面边长为 ．
9．（2024高三·全国·专题练习）已知三棱锥，若，，两两垂直，且，，则三棱锥的内切球的表面积为 ．
10．（24-25高三上·广东深圳·期中）在正方形中，，分别为线段，的中点，连接，，，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥的外接球半径与内切球半径的比值为 .
一、单选题
1．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面ABCD,PA=AB=3,AD=4，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）

A．B．C．D．
2．（2024·海南海口·模拟预测）如图，在平面四边形中，与交于点，且，，，剪去，将沿翻折，沿翻折，使点与点重合于点，则翻折后的三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·福建福州·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，，，，，则此堑堵的外接球半径是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·福建福州·期中）已知在高为的正四棱锥中，，则正四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·广东·开学考试）外接球半径为的正四面体的体积为（ ）
A．B．24C．32D．
6．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·广东·阶段练习）在四面体中，，且四面体的各个顶点均在球的表面上，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知球O是正三棱锥的外接球，若正三棱锥的高为，底边，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．D．
9．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
10．（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的正弦值为，则此圆台与其内切球的表面积之比为（ ）
A．B．2C．D．
二、填空题
11．（24-25高三上·湖北·开学考试）三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球体积等于 .
12．（2024·湖南株洲·一模）若半径为R的球O是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差为 .
13．（2024·陕西西安·模拟预测）三棱锥中，，，，那么该三棱锥外接球的表面积是 ．
14．（23-24高三下·山东枣庄·期中）已知三棱锥V—ABC，满足，，则该三棱锥的外接球的表面积为 .
15．（23-24高三下·河南·阶段练习）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 ，则此球的表面积等于 .
16．（2024·陕西汉中·二模）已知三棱锥，点到平面的距离是，则三棱锥的外接球表面积为 ．
17．（23-24高三下·陕西西安·期中）在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积为 .
18．（24-25高三上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 .
19．（24-25高三上·北京·阶段练习）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ，体积为 .
20．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为 .
21．（24-25高三上·浙江杭州·期中）在四边长均为的菱形ABCD中，沿对角线BD折成二面角为的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为 .
22．（2024高三下·广东佛山·竞赛）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则该三棱锥的内切球的半径为 .
23．（23-24高三下·广东江门·阶段练习）已知正四面体的内切球的表面积为，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，则所得截面的面积为 ．
24．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，D在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥的外接球体积的最大值为

25．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是
外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2)．)，秒杀公式：R2＝eq \f(a2＋b2＋c2,4)．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．
外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．

外接球模型四：
1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．

2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(R2＝r2＋m2，,R2＝d2＋h－m 2，))解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－eq \f(l2,4)(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)

1、正棱锥外接球半径： ．
2、侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．

解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
内切球思路：
1、等积法思路
以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径．
方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；
第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·r＋eq \f(1,3)S△PAB·r＋eq \f(1,3)S△PAC·r＋eq \f(1,3)S△PBC·r＝eq \f(1,3)(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；
第三步：解出r＝eq \f(3VP－ABC,SO－ABC＋SO－PAB＋SO－PAC＋SO－PBC)＝eq \f(3V,S表)．
2、球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图、图可知，或，故，所以．
3、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．
4、球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
5、棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形