（模块化思维提升）专题15-不定方程和不等方程的分析求解-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版）

这是一份（模块化思维提升）专题15-不定方程和不等方程的分析求解-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版），共15页。试卷主要包含了不定方程，不等方程等内容，欢迎下载使用。
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、不定方程。
（1）不定方程的定义：不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组．
（2）一般是求解一次不定方程：关于ax+by=c的不定方程，（a，b）为a，b的最大公约数，如果有整数特解（x0，y0），则该方程所有整数解为：x=x0-kb÷（a，b），y=y0+ka÷（a，b），k为整数．
2、不等方程。
（1）几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集．
（2）求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．
（3）解一元一次不等式组的步骤：
①分别求出不等式组中各个不等式的解集；
②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．
【典例一】某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划播长度为15秒和30秒的两种广告．15秒的广告每播一次收费0.6万元，30秒的广告每播一次收费1万元．若要求每种广告播放不少于两次，则电视台在播放时收益最大的播放方式是（ ）
A、15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次 B、15秒的广告播放2次，30秒的广告播放4次
C、15秒的广告播放2次，30秒的广告播放3次 D、15秒的广告播放3次，30秒的广告播放2次
【解答】解：设15秒的广告播x次，30秒的广告播y次．
则15x+30y=120，
因为每种广告播放不少于2次，所以x=2，y=3，或x=4，y=2；
当x=2，y=3时，收益为：2×0.6+3×1=4.2（万元）；
当x=4，y=2时，收益为4×0.6+1×2=4.4（万元），
所以电视台在播放时收益最大的播放方式是：15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次．
故选：A．
【典例二】某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，小鱼妈妈假设某一商品的定价为x，并列出不等式为0.7×（2x-100）＜1000，那么小鱼告诉妈妈的信息是（ ）
A、买两件等值的商品可减100元，再打3折，最后不到1000元
B、买两件等值的商品可打3折，再减100元，最后不到1000元
C、买两件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1000元
D、买两件等值的商品可打7折，再减100元，最后不到1000元
【分析】根据0.7（2x-100）＜1000，可以理解为买两件减100元，再打7折得出总价小于1000元．
【解答】解：由关系式可知：0.7（2x-100）＜1000，
由2x-100，得出两件商品减100元，以及由0.7（2x-100）得出买两件打7折，
故可以理解为：买两件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1000元．故选：C．
【典例三】有四个房间，每个房间里不少于4人，如果任意三个房间里的总人数不少于14人，那么这四个房间里的总人数至少有（ ）人．
A、18 B、19 C、20 D、21
【分析】任意三个房间的总人数不少于14人，每个房间不少于4人，那就来推测一下，14可以分成4、5、5，任意三个房间的总人数不少于14人，那第四个房间也应该是5人，这样就可以完全的满足已知条件了，所以应该是14+5=19．
【解答】解：5×3+4=19（人）；答：这四个房间的总人数至少有19人．故选：B．
【典例四】某旅游景点团体门票票价如下：
今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人．若分别购票，两团共计应付门票费3200元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票2400元．
（1）请你判断乙团的人数是否也少于50人？
（2）求甲乙两个旅行团各有多少人？
【解答】解（1）假设乙团的人数为50人，因为甲旅行团人数少于50人，所以可得甲乙分别购票所需的钱数小于3000，
又因为分别购票，两旅行团共计应付门票费3200元，所以可得出乙团的人数大于50人；
（2）设甲团人数为人，乙团人数为，由题意得：
①当甲乙两团总人数在人时，
，解得：（不合题意舍去），
②当甲乙两团总人数在100人以上时，
，解得：．
答：甲旅行团有40人、乙旅行团有80人．
一．选择题（共8小题）
1．一个28人的旅游团到租车公司租车。小汽车限坐4人，商务车限坐6人，如果每辆车都坐满，那么旅游团要租
A．5辆小汽车和2辆商务车B．4辆小汽车和2辆商务车
C．3辆小汽车和3辆商务车
2．已知与都是方程的解，则与的值为
A．，B．，C．，D．，
3．某单位举行工会主席选举，有三位候选人甲、乙、丙，由139名代表投票选举一人，不能弃权也不能多选，最终得票多的当选．当统计了100张选票时，甲已获得45票，乙已获20票，丙已获35票．甲至少要再得多少票才能确保当选？
A．39B．15C．20D．13
4．大于200的自然数被47除，商和余数一样，这样的数有 个．
A．5B．42C．46D．无数
5．下列解关于的不等式中正确的是
A．，则B．，则
C．，则D．，则
6．已知、是有理数，且，则下列式子正确的是
A．B．C．D．
7．某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划播长度为15秒和30秒的两种广告．15秒的广告每播一次收费0.6万元，30秒的广告每播一次收费1万元．若要求每种广告播放不少于两次，则电视台在播放时收益最大的播放方式是
A．15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次
B．15秒的广告播放2次，30秒的广告播放4次
C．15秒的广告播放2次，30秒的广告播放3次
D．15秒的广告播放3次，30秒的广告播放2次
8．超市有4支装和6支装不同包装的碳素笔，小明想买36支，有 种不同的买法。
A．3B．4C．5
二．填空题（共8小题）
9．若和均为自然数，，且，则 、 ．
10．百叶龙是一种浙江长兴的传统民俗活动，是舞龙表演中最有特色的表演之一。百叶龙身躯由同样的大荷花组成，分9段层层联结延伸，每段9朵荷花，每朵荷花由片花瓣组成，百叶龙身躯共有5103片花瓣。根据题意可解得 。
11．商店里有2元和3元的两种笔记本，小文买笔记本正好花了20元，可以有 种不同的买法。
12．将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，问：剩余部分的管子最少是 厘米．
13．成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难假设愚公家门口的大山有120万吨重，愚公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，依此类推，愚公和他的子孙每人一生能搬运150吨石头．如果愚公是第1代，那么到了第 代，这座大山可以搬完．
14．学校买来桌椅若干，共用去2500 元，每把椅子50元，每张桌子150元．买椅子 张．
15．旅行团23人到旅馆住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），有 种不同的安排．
16．一个科普展览会的门票价格是：普通票每人20元，团体票20人以上（含20人）按八折优惠，最少 人时买团体票省钱．
三．计算题（共1小题）
17．解不等式：
四．解答题
18．某工程队计划10天修路，施工了2天修完后，计划发生变化，准备提前2天完成修路任务，以后几天内该工程队平均每天至少要修路多少千米？
19．五（2）班有37位同学，六一节老师要给每位同学买一支笔，商店里只有4支一盒或3支一盒的包装．不能打开盒零售，也不能多买．老师有多少种不同的买法？
20．地球上的“逃逸速度”是11.2千米秒，这意味着地球上的物体，如果速度大于11.2千米秒，它就能脱离地球的影响而飞出去．大到火箭，小到分子的任何物体都适用，现有一个大气分子，太阳辐射把它的速度提高到15千米秒，已知它与其他分子每碰撞一次，速度依次减少到碰撞前的，，，，则至少碰撞 次才能使它不“逃离”地球．
21．55个苹果分给甲、乙、丙三人，甲的苹果个数是乙的2倍，丙最少但也多于10．丙得到了多少个苹果？
22．要修一条长1800米的水渠，工作5天后，修了的占未修的，照这样的进度修下去，还要多少天才能修完这条水渠？
23．一种钢笔有6支装和8支装两种不同的包装。张老师要买46支钢笔作为学生奖品，一共有多少种不同的买法？（请一列举出来。
24．一次夏令营活动有21位学生参加，请你安排住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），有多少种不同的安排？（填表并找出答案）
答：一共有 种不同的安排。
25．工程队用载重量分别为3吨和5吨的两种卡车给工地送黄沙．一共运送了26吨，两种车各送了几次？
26．用载质量4吨和6吨的两辆车运沙子，如果每次每辆车都装满，怎样安排能恰好运完18吨沙子？
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【答案】
【分析】根据题意，利用“小汽车限坐4人，商务车限坐6人”，而且“每辆车都坐满”，根据总人数及选项租车方案，利用尝试法找到符合题意的答案即可。
【解答】解：、（人，不符合题意；
、（人，符合题意；
、（人，不符合题意。
故选：。
2．【分析】把已知的这两组解分别代入方程中，即可得出一个关于和的二元一次方程组，据此解这个方程组即可．
【解答】解：把与分别代入方程中，可得：
，
由①②，可得：，所以，
把代入方程①可得：，所以，
故：，．故选：．
3．【答案】
【分析】由题意知，139名代表只能投票选举一人，不能弃权也不能多选，所以总票数就是139票，当统计了100张选票时，甲已获得45票，乙已获20票，丙已获35票，这时还剩下票，甲要当选的话，他的得票数要大于其它两人的得票数，所以剩下的39票可假设只选了两人：甲和乙或甲和丙；设甲至少还要得票，则乙或丙至多就得票，根据“甲的得票数要大于其它两人的得票数”列不等式求解即可．
【解答】解：共139名代表投票，即有139票；
当统计了100张选票时，甲已获得45票，乙已获20票，丙已获35票，还剩下张选票；
设甲至少还要得票，可得：
解得：
所以
为正整数，所以的最小值为15；
答：甲至少还要再得15票才能确保当选．故选：。
4．【答案】
【分析】可设商和余数均为，根据被除数大于200可得不等式，求得；再根据余数小于除数可得，从而求得符合条件的数的个数．
【解答】解：设商和余数均为，则
，
，
，
而，
所以，余数可以是，
这样的数有个．故选：。
5．【分析】根据不等式的基本性质即可求解．
【解答】解：、当时，，则，故选项错误；
、，则，故选项错误；
、，则，故选项错误；
、，则，故选项正确．故选：．
6．【分析】对于，不等式的两边同加或者同减一个有理数，不等号的方向不改变；同乘一个正数，不等号的方向不变；同乘一个负数，不等号方向改变，由此规则分别判断，，，是否正确即可．
【解答】解：对于：由得到，不等号的两边同减1，不等号的方向不改变，所以正确；
对于，两边同乘以得，，两边同加1得，，与相矛盾，所以错误；
对于，两边同减去1得，与相矛盾，所以错误；
对于，两边同乘以，不等号的方向改变，即：，所以错误．故选：．
7．【分析】本题中的等量关系：15秒次数次数，根据这个等量关系列出方程，然后再根据“要求每种广告播放不少于2次，则电视台在播放时收益最大”这个要求分析解的情况．
【解答】解：设15秒的广告播次，30秒的广告播次．
则，
因为每种广告播放不少于2次，所以，，或，；
当，时，收益为：（万元）；
当，时，收益为（万元），
所以电视台在播放时收益最大的播放方式是：15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次．
故选：．
【点评】解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，合理分析得出结论．
8．【答案】【分析】把36分成4的倍数与6的倍数的和，找出正好是36支的全部可能，从而解决问题。
【解答】解：
所以买9盒4支装或6盒4支装和2盒6支装或3盒4支装和4盒6支装或6盒6支装。
答：有4种不同的买法。故选：。
二．填空题（共8小题）
9．【解答】解：因为，
即，
，
，
，
，所以，，；故答案为：12、7．
10．【答案】63。【解答】解：
答：每朵荷花由63片花瓣组成。故答案为：63。
11．【答案】4。
【分析】2元笔记本为1本、4本、7本、10本，求出买完2元笔记本后剩下的钱数，根据“数量总价单价”求出可以购买3元笔记本的本数，最后列出表格，据此解答。
【解答】解：第1种：购买1本2元笔记本。
（本
第2种：购买4本2元笔记本。
（本
第3种：购买7本2元笔记本。
（本
第4种：购买10本2元笔记本。
（元
由上可知，可以有4种不同的买法。
故答案为：4。
12．【分析】根据题干分析可得，36和24的最大公约数是12，所以切掉的长度应该是12的倍数，小于374且是12的倍数的数是372，据此设的管子可以得到根，的管子可以得到根，那么有：，两边同除以12，得到，这是一个小数值范围的有限方程，用心算很快就可以得到、的值，据此即可解答问题．
【解答】解：设的管子可以得到根，的管子可以得到根，那么可得方程：
，两边同除以12，得到，
方程可以变形为：，因为、都是正整数，所以只能是奇数，
当时，，，即余2厘米；
当时，，即余14厘米；
当时，，，即余2厘米；
当时，，，即余14厘米；
当时，，，即余2厘米；
由上述计算可得，剩余部分的管子最少是2厘米．故答案为：2．
13．【分析】首先看下每代的人数：第一代；第二代 第三代也就有如下关系，即 因为，，，可知．所以到了愚公的第13代就可以搬完了．
【解答】解：设到了第代，这座大山可以搬完
，．答：到了第13代，这座大山可以搬完．故答案为：13．
14．【分析】首先根据题意，设买椅子把，买桌子张，然后根据总价单价数量，可得：每把椅子的价格买的椅子的数量每张桌子的价格买的桌子的数量，列出方程，判断出，再根据的取值分类讨论，求出可能的取值，判断出买椅子多少把即可．
【解答】解：设买椅子把，买桌子张，
则所以
因为，所以，
（1）时，．（2）时，．（3）时，．（4）时，．（5）时，．
（6）时，．（7）时，．（8）时，．（9）时，．时，．
时，．时，．时，．时，．时，．
时，．
所以买椅子2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、38、41、44、47把．
答：买椅子2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、38、41、44、47把．
15．【分析】设住个3人间，个2人间，因为每个房间不能空床，所以可得：，由此求出这个方程有几组整数解就有几种不同的安排方法．
【解答】解：设有间3人房间，间2人房间，根据题意可得方程：
方程可以变形为：
因为、是整数，那么要保证的值是整数，的值必须是偶数，
这里的取值只能取奇数，因为奇数奇数奇数，且奇数数奇数偶数，这样才能被2整除；
当时，；
当时，；
当时，，
当时，，
答：综上所述，23人到旅馆住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），有4种不同的安排．
【点评】此题考查了利用不定方程的整数解，解决实际问题的灵活应用，这里要注意讨论、的取值范围．
16．【分析】已知团体票20人以上（含20人）按八折优惠，八折意思是团体票的价格是普通票价格的，把普通票的价格看作单位“1”，根据题意列不等式解答比较简便．
【解答】解：设至少人时买团体票要比买普通票省钱．
最少是：（人；
答：若买团体票，至少17人时买团体票要比买普通票省钱． 故答案为：17．
【点评】此题解答关键是把普通票的价格看作单位“1”，八折即普通票价的，以此列式解答即可．
三．计算题（共1小题）
17．【分析】先根据分数的基本性质化简，再根据不等式的性质，两边同时乘15，再去括号、合并、系数化1即可．
【解答】解：




．
四．解答题
18．【分析】假设以后几天平均每天修路千米，某工程队计划10天修完6千米长的公路，开始施工后，2天共修完1.2千米，那么该公路工程还剩千米，现在要比原计划提前2天完成任务，即8天完成任务，用去2天，则还剩天，则列不等式，解不等式即可．
【解答】解：设以后几天平均每天修路千米，根据题意得：


答：以后几天内该工程队平均每天至少要修路0.8千米．
19．【分析】设4支一盒的盒，3支一盒的盒，由“五（2）班有37位同学，六一节老师要给每位同学买一支笔”，可知共买37支笔，由此列方程为，然后对此方程求解即可．
【解答】解：设4支一盒的盒，3支一盒的盒，得：
，
当时，则；
当时，则；
当时，则．
所以有3种买法：（1）4支一盒的有1盒，3支一盒的有11盒；
（2）4支一盒的有4盒，3支一盒的有7盒；
（3）4支一盒的有7盒，3支一盒的有3盒．
答：老师有3种不同的买法．
20．【分析】把原来的速度看成单位“1”，碰撞次之后的速度是原速度的；
逃逸速度是原速度的：；只要就不会逃离地球了，求出此时的取值．
【解答】解：设至少碰撞次才能使它不逃离地球：
；
，
，
；
；
那么，
；是整数，最小取值就是6；
答：至少碰撞6次才能使它不“逃离”地球．故答案为：6．
21．【分析】此题可以设乙有苹果个，则甲有个，那么丙有个；根据“丙最少但也多于10个．”可得出两个一元一次不等式：，①；，②；由此组成一个一元一次不等式组，解这个不等式组即可解决问题．
【解答】解：乙有苹果个，则甲有个，那么丙有个；
解不等式①，可得：，
解不等式②，可得：，
利用数轴表示这个不等式组的解集为：
因为的值是整数，所以，
则丙有苹果：
（个，答：丙得到了13个苹果．
22．【分析】根据题意，“工作5天后，修了的占未修的”．也就是已修的占这条水渠总长的，根据一个数乘分数的意义，用乘法求出5天修了多少米，再根据工作量工作时间工作效率，求出平均每天的工作效率，进而求出一共用多少天完成，然后再减去5即可．
【解答】解：
（天答：还要15天才能修完这条水渠．
23、【分析】把46分成6的倍数与8的倍数的和，找出正好是46支的全部可能，从而解决问题。
【解答】解：
所以买1盒6支装和5盒8支装或买5盒6支装和2盒8支装。
答：一共有2种不同的买法。
24．【答案】4。
【分析】由于旅馆房间不能有空位，所以每种方案必为、为整数）的组合，据此进行分析即可。
【解答】解：，如下表：
答：一共有4种不同的安排。故答案为：4。
25．【分析】根据题干，设大车运了次，小车运了次，则根据等量关系：大车运的次数小车运的次数吨，据此求出、的正整数解即可解答问题．
【解答】解：设大车运了次，小车运了次，根据题意可得方程：
方程可以变形为：，
因为、都是正整数，所以是5的倍数，则的末尾数字是1或6，
当时，
当时，．
答：大车运了4次，小车运2次，或者大车运1次，小车运7次．
【点评】此题属于不定方程的求解，根据题干列出含有两个未知数的方程，求出它们的正整数解即可解答问题．
26．【分析】大车运的次数不能超过：（次，小车运的次数不能超过：（次，然后根据运送的沙子的吨数，以及每辆车拉的沙子的吨数，合理的列表解答即可．
【解答】解：
通过上表可知：
如果每次每辆车都装满，用1辆6吨的车运1次、1辆4吨的车运3次可以恰好运完18吨沙子．
答：用1辆6吨的车运1次、1辆4吨的车运3次可以恰好运完18吨沙子．
【点评】此题做题时应认真分析，理清几个数量之间的关系，进而列表讨论，得出结论．购票人数
100人以上
每人门票（元
30元
25元
20元
3人间
2人间
2元笔记本
3元笔记本
第1种
1本
6本
第2种
4本
4本
第3种
7本
2本
第4种
10本
0本
3人间间
1
3
5
7
2人间间
10
7
4
1
3人间
1
3
5
7
2人间
9
6
3
0
派车方案
大车吨）运的次数
小车吨）运的次数
运沙吨数
①
3
0
18
②
2
2
20
③
1
3
18
④
0
5
20