辽宁省抚顺市第一中学2024-2025学年高二下学期3月期初测试 数学试题

这是一份辽宁省抚顺市第一中学2024-2025学年高二下学期3月期初测试 数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．椭圆：的焦点在轴上，其离心率为，则（ ）
A．椭圆的短轴长为B．椭圆的长轴长为4
C．椭圆的焦距为4D．
2．设，则等于（ ）
A．1B．2C．D．5
3．为支援边远地区教育事业的发展，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区三所不同的学校去支教，每个学校至少去1人，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有
A．180种B．150种C．90种D．114种
4．已知数列是等差数列，且满足，则等于（ ）
A．45B．60C．75D．90
5．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ）
A．B．C．D．
6．盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（ ）
A．恰有1个是坏的B．4个全是好的
C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的
7．盒中有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
8．设，随机变量的分布列分别如下，则( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若(a+b)n（）的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
10．甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．事件与事件相互独立D．、、两两互斥
11．2022年世界田联半程马拉松锦标赛，是扬州首次承办高规格、大规模的国际体育赛事.运动会组织委员会欲从4名男志愿者、3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，下列说法正确的有（ ）
A．设“抽取的3人中恰有1名女志愿者”为事件A，则
B．设“抽取的3人中至少有1名男志愿者”为事件B，则
C．用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则
D．用Y表示抽取的3人中男志愿者的人数，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示．
已知y与x线性相关，且y关于x的回归直线方程为，则下列说法正确的是 ．
①；②y与x正相关；③y与x的相关系数为负数；④若数学成绩每提高5分，则物理成绩估计能提高5.5分．
13．甲、乙两人同时参加当地一个劳动实践活动，该活动有任务需要完成，甲、乙完成任务的概率分别为0.7，0.8，且甲、乙是否完成任务相互独立互不影响.设这两人中完成任务的总人数为，则 .
14．某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则某同学第2天去餐厅用餐的概率为 ；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知数列的前项和为
(1)当取最小值时，求的值； (2)求出的通项公式.
16．（15分）某种产品的加工需要经过5道工序．
（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？
（4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？
17．（15分）随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园､场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调查，得到如下表的统计数据：
(1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？
(2)现从50岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：，其中.
18．（17分）袋中装有大小相同的4个红球，2个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束．
(1)求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率；
(2)若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分的分布列和数学期望．
19．（17分）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，右顶点为A，且，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)已知点，M，N是曲线C上两点（点M，N不同于点A），直线分别交直线于P，Q两点，若，证明：直线过定点.
抚顺一中2024-2025学年度高二年级下学期期初测试
数学学科参考答案
12．①②④
13．1.5
14．
15．（1）因为，
所以，又，
所以或时，取最小值时，最小值为；……………………………………5分
（2）因为，
所以，当时，，
所以.……………………………………………………8分
当时，，
所以.……………………………………………………13分
16．（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有种不同的排法，再将剩余的4道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序.……………………………………………………3分
（2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，有种不同的排法，再将剩余的3道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序.……………………………………………………7分
（3）先排这2道工序，有种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有种不同的排法，故共有种加工顺序；.………………………11分
（4）先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将这2道工序插空，有种不同的排法，所以共有种加工顺序，.…………………………… 15分
17．（1）零假设周平均锻炼时长与年龄无关联.
由列联表中的数据，可得，.……………………………………5分
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01..……………7分
（2）解：抽取的8人中，周平均锻炼时长少于5小时的有人，不少于5小时的有人，则所有可能的取值为，.………………………………………8分
所以；.……………11分
所以随机变量的分布列为：
所以数学期望.……………………………………15分
18．（1）设一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次为事件A，记第i次（，2，3）摸到红球为事件，
则事件，
显然、、彼此互斥，
由互斥事件概率的加法公式：
因为每次摸到红球后放回，所以，，，
所以，..………………………………………………8分
（用对立事件计算也可）
（2）依题意，X的可能取值为2，3，4，5，
，.……………………………………………………9分
.……………………………………………………10分
.…………………………11分
，.……………………………………………12分
所以，一轮摸球游戏结束时，此人总得分X的分布列为：
.………………………………………………17分
19．（1）设椭圆C的半焦距为c，由题意得，
解得，
故C的方程为..……………………………………………………5分
（2）证明：由题意可知直线的斜率不为0，否则将位于x轴同侧，，不合题意；
设的方程为（），代入，
得，
由，得，
设，，则，，.………………………………………8分
所以，
，
直线AM的方程为，令，得，故，
同理可求，.……………………………………………………10分
所以，，
由，得，
即，
所以，.……………………………………………………15分
所以，解得，（舍），
所以直线MN的方程为，故直线MN过定点..……………………………17分
0
1
2
P
0
1
2
P
数学成绩x
76
82
72
87
93
78
89
66
81
76
物理成绩y
80
87
75
a
100
79
93
68
85
77
周平均锻炼时间少于5小时
周平均锻炼时间不少于5小时
合计
50岁以下
80
120
200
50岁以上（含50）
50
150
200
合计
130
270
400
0.025
0.01
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
A
B
C
C
A
ABC
BD
题号
11









答案
BD









1
2
3
X
2
3
4
5
P