辽宁省抚顺市第一中学2024−2025学年高二下学期3月期初测试 数学试题（含解析）

这是一份辽宁省抚顺市第一中学2024−2025学年高二下学期3月期初测试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．椭圆：的焦点在轴上，其离心率为，则（ ）
A．椭圆的短轴长为B．椭圆的长轴长为4
C．椭圆的焦距为4D．
2．设，则等于（ ）
A．1B．2C．D．5
3．为支援边远地区教育事业的发展，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区三所不同的学校去支教，每个学校至少去1人，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有
A．180种B．150种C．90种D．114种
4．已知数列是等差数列，且满足，则等于（ ）
A．45B．60C．75D．90
5．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ）
A．B．C．D．
6．盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（ ）
A．恰有1个是坏的B．4个全是好的
C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的
7．盒中有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
8．设，随机变量的分布列分别如下，则( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
二、多选题（本大题共3小题）
9．若（）的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件和表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．事件B与事件相互独立
D．是两两互斥的事件
11．2022年世界田联半程马拉松锦标赛，是扬州首次承办高规格、大规模的国际体育赛事.运动会组织委员会欲从4名男志愿者、3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，下列说法正确的有（ ）
A．设“抽取的3人中恰有1名女志愿者”为事件A，则
B．设“抽取的3人中至少有1名男志愿者”为事件B，则
C．用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则
D．用Y表示抽取的3人中男志愿者的人数，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．某同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示．
已知y与x线性相关，且y关于x的回归直线方程为，则下列说法正确的是 ．（参考数据：）
①；②y与x正相关；③y与x的相关系数为负数；④若数学成绩每提高5分，则物理成绩估计能提高5.5分．
13．甲、乙两人同时参加当地一个劳动实践活动，该活动有任务需要完成，甲、乙完成任务的概率分别为0.7，0.8，且甲、乙是否完成任务相互独立互不影响.设这两人中完成任务的总人数为，则 .
14．某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则某同学第2天去餐厅用餐的概率为 ；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的前项和为
(1)当取最小值时，求的值；
(2)求出的通项公式.
16．某种产品的加工需要经过5道工序．
（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？
（4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？
17．随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园､场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调査，得到如下表的统计数据：
(1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？
(2)现从50岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调査问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：，其中.
18．袋中装有大小相同的4个红球，2个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束．
(1)求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率；
(2)若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分的分布列和数学期望．
19．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，右顶点为A，且，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)已知点，M，N是曲线C上两点（点M，N不同于点A），直线分别交直线于P，Q两点，若，证明：直线过定点.
参考答案
1．【答案】B
【解析】由离心率可求出，结合椭圆的性质可求出椭圆的短轴长，长轴长，焦距.
【详解】由椭圆的性质可知，椭圆的短轴长为，圆的离心率，则，
即，，所以椭圆的长轴长，椭圆的焦距，
故选：B．
2．【答案】B
【解析】令代入所给等式即可得解.
【详解】令，则
故.
故选：B
3．【答案】D
【详解】解：分四种情况：
（1）安排甲到一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人一起
到第三所学校有1种方法，共有种方法；
（2）安排甲到第一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人中两人一起到第三所学校有种方法，另一人到前两所学校中任意一所有，共有种方法；
（3）安排甲到第一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人中一
人到第三所学校有，另两人一起到前两所学校中任意一所有，共有种方法；
（4）安排甲到第一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人中一
人到第三所学校有，另两个人分别到前两所学校有种方法共有种方法，种方法；
综合以上有：
故选：D
4．【答案】A
【详解】由等差数列性质计算可得，即，
所以可得.
故选：A
5．【答案】B
【详解】由题意
事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有个事件
由条件概率的定义：
故选：B
6．【答案】C
【详解】对于A，事件的概率为；
对于B，事件的概率为；
对于C，事件的概率为；
对于D，事件的概率为.
故选：C.
7．【答案】C
【详解】，，
∵，∴ .
∵，，，
∴，
故选：C.
8．【答案】A
【详解】设随机变量为X，其可能的取值是，对应概率为，则其数学期望(均值)为，
其方差为：
，
则，，
；
，，
；
∴，
若，则，，故，即，故A正确，B错误；
若，则，但无法判断与1的大小，故无法判断的大小，故CD错误．
故选：A．
9．【答案】ABC
【详解】依题意，，即，解得，而，
所以.
故选：ABC
10．【答案】BD
【分析】根据事件的条件概率公式、独立性公式等逐一判断可得结果.
【详解】依题意得，，，
， ，，
选项A：，故A错误；
选项B：因为，故B正确；
选项C：因为，，
故，
所以事件B与事件不相互独立，故C错误；
选项D：根据互斥事件的定义可知，是两两互斥的事件，故D正确.
故选BD.
11．【答案】BD
【详解】对于A：从7名志愿者中抽取3人，所有可能的情况有（种），其中恰有1名女志愿者的情况有（种），故，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：由题意知X的可能取值为0，1，2，3，则，，，，
所以，故C错误.
对于D：由题可知Y的可能取值为0，1，2，3，则，，，，
则，
，
则，故D正确.
故选：BD.
12．【答案】①②④
【详解】对于①，因为，，y关于x的回归直线方程为，
所以，解得，所以①正确，
对于②，因为回归方程中的，所以y与x正相关，所以②正确，
对于③，因为回归方程中的，所以y与x的相关系数为正数，所以③错误，
对于④，由于y关于x的回归直线方程为，所以当数学成绩每提高5分，则物理成绩估计能提高分，所以④正确，
故答案为：①②④
13．【答案】1.5（或）
【详解】的可能取值为0，1，2，且，
，，
故.
故答案为：1.5（或）.
14．【答案】 / /
【详解】设事件第一天去餐厅，事件第二天去餐厅，事件第一天去餐厅，事件第二天去餐厅，
由题意可知，，，，
则，
，
所以第2天去餐厅的概率为；
由题意可知，每个人去餐厅的概率为，，所以.
故答案为：；
15．【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）因为，
所以，又，
所以或时，取最小值时，最小值为；
（2）因为，
所以，当时，，
所以，
当时，，
所以.
16．【答案】（1）96，（2）36，（3）48，（4）72
【分析】（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，再将剩余的4道工序全排列即可；（2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，再将剩余的3道工序全排列；（3）先排这2道工序，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列；（4）先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空
【详解】解：（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有种不同的排法，再将剩余的4道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
（2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，有种不同的排法，再将剩余的3道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
（3）先排这2道工序，有种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
（4）先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将这2道工序插空，有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序，
17．【答案】(1)能
(2)分布列见解析，
【详解】（1）解：零假设周平均锻炼时长与年龄无关联.
由列联表中的数据，可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）解：抽取的8人中，周平均锻炼时长少于5小时的有人，不少于5小时的有人，则所有可能的取值为，
所以；
所以随机变量的分布列为：
所以数学期望.
18．【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）由互斥加法以及独立乘法公式即可求解；
（2）X的可能取值为2，3，4，5，算出对应的概率即可得分布列以及数学期望.
【详解】（1）设一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次为事件A，记第i次（，2，3）摸到红球为事件，
则事件，
显然、、彼此互斥，
由互斥事件概率的加法公式：
，
因为每次摸到红球后放回，所以，，，
所以，.
（2）依题意，X的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
，
所以，一轮摸球游戏结束时，此人总得分X的分布列为，
.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意列方程组求解的值，即得答案；
（2）设的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，表示出直线的方程，进而求得坐标，结合化简求值，可得t的值，即可证明结论.
【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c，由题意得，
解得，
故C的方程为.
（2）证明：由题意可知直线的斜率不为0，否则将位于x轴同侧，，不合题意；
设的方程为（），代入，
得，
由，得，
设，，则，，
所以，
，
直线AM的方程为，令，得，故，
同理可求，
所以，，
由，得，
即，所以，
所以，解得，（舍），
所以直线MN的方程为，故直线MN过定点.
【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线过定点问题，解答此类题目的思路并不困难，设直线方程并联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合题意进行化简即可，难点在于计算过程比较复杂，且基本都是有关字母参数的计算，计算量较大，要十分细心.0
1
2
P
0
1
2
P
数学成绩x
76
82
72
87
93
78
89
66
81
76
物理成绩y
80
87
75
a
100
79
93
68
85
77
周平均锻炼时间少于5小时
周平均锻炼时间不少于5小时
合计
50岁以下
80
120
200
50岁以上（含50）
50
150
200
合计
130
270
400
0.025
0.01
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
1
2
3
X
2
3
4
5
P