30 与圆有关的计算-2025版数学中考二轮总复习微专题讲义

这是一份30 与圆有关的计算-2025版数学中考二轮总复习微专题讲义，共11页。

考点梳理
1. 弧长与扇形面积(6年5考)
2. 圆锥的相关计算(6年2考)
3. 正多边形与圆
练考点
1. 已知扇形AOB的半径为4，圆心角为60°，则该扇形的弧长＝ ，面积＝ .
2. 如图，扇形的半径为6，圆心角为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则所得圆锥的底面半径为 .
第2题图
3. 如图，☉O是正六边形ABCDEF的外接圆.
(1)∠FAO的度数为 ；
(2)若☉O的半径OA为6，则圆心到边AB的距离为 .
第3题图
高频考点
考点1 与弧长、扇形面积有关的计算 (6年5考)
例1 (2024佛山南海区一模)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，以CD为直径的圆与AD交于点E，则CDE的长是( )
A. 3π B. 7π2 C. 4π D. 5π
例1题图
例2 (2024山西)如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图(阴影部分为花窗).通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA＝1m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为 m2.
例2题图
考点2 与圆锥有关的计算 (6年2考)
例3 (2024珠海金湾区一模)如图，已知一圆在扇形AOB的外部，沿扇形的AB，从点A滚动一周(无滑动)，恰好到达点 B.如果OA＝24 cm，∠AOB＝60°，圆的半径为 cm.
例3题图
变式1 (2024烟台)如图，在边长为6的正六边形ABCDEF 中，以点 F为圆心，以 FB的长为半径作 BD，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 .
变式1题图
考点3 正多边形与圆
例4 (2024甘孜州)如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，OA＝1，则AB的长为( )
A. 2 B. 3 C. 1 D. 12
例4题图
变式2 (2024佛山顺德区一模)我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长.如图，由圆内接正六边形可算出π≈3.若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为( )
变式2题图
A. 12sin 30° B. 12cs 30° C. 12sin 15° D. 12cs 15°
真题及变式
命题点1 与圆锥有关的计算 (6年2考)
1. (2020广东16题4分)如图，从一块半径为1 m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 m.
第1题图
命题点2 与扇形面积有关的计算 (6年5考)
2. (2022广东15题3分)扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积(结果保留π)为 .
3. (2021广东13题4分·北师九下习题改编)如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4.分别以点B，点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为 .
第3题图
4. (2019广东22题7分)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的EF与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F.
(1)求△ABC三边的长；
(2)求图中由线段EB，BC，CF及FE所围成的阴影部分的面积.
第4题图
新考法
5. [真实问题情境](2024呼伦贝尔)为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路.如图，AB与CD是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是72°，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC的长是 米.(π取3.14，计算结果精确到0.1)
第5题图
6. [综合与实践](2024广东21题9分)
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图①所示：
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
第6题图①
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图②所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示漏斗中.
第6题图②
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明；
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留π)
考点精讲
①2πr ②nπr180 ③πr2 ④nπr2360 ⑤半径 ⑥弧长
⑦360°n ⑧12
练考点
1. 4π3，8π3
2. 2
3. (1)60°；(2)33
高频考点
例1 C 【解析】如解图，取CD的中点O，连接OE，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴∠D＝∠B＝60°，CD＝AB＝6，∴∠COE＝2∠D＝120°，OC＝3，∴CDE的长是240π×3180＝4π.
例1题解图
例2 (π4－18) 【解析】∵点C，D分别为OA，OB的中点，OA＝1 m，∴OC＝12OA＝12 m，OD＝12OB＝12 m.∴S阴影＝S扇形AOB－S△OCD＝90π360－12OC·OD＝(π4－18)m2.
例3 4 【解析】设圆的半径为r cm，2πr＝60π×24180，解得r＝4.
变式1 3 【解析】设圆锥的底面半径为r，∵正六边形边长为6，∴AB＝AF＝6，∠BAF＝120°，∴∠AFB＝30°，∴BF＝2AF·cs 30°＝63，∵∠BFD＝∠AFE－2∠AFB＝60°，∴60π×63180＝2πr，解得r＝3.
例4 C 【解析】∵正六边形ABCDEF，∴∠AOB＝360°6＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝OA＝1.
变式2 C 【解析】如解图，连接OA1，OA2，过点O作OM⊥A1A2，垂足为点M，设☉O的半径为R，∵十二边形A1A2…A12是圆内接正十二边形，∴∠A1OA2＝360°12＝30°，又∵OA1＝OA2，OM⊥A1A2，∴∠A1OM＝15°，在Rt△A1OM中，∠A1OM＝15°，OA1＝R，∴A1M＝R·sin 15°，∴A1A2＝2A1M＝2R·sin 15°，∴正十二边形A1A2…A12的周长为12A1A2＝2R·sin 15°×12，∴2πR＝2R·sin 15°×12，解得π＝12sin 15°.
变式2题解图
真题及变式
1. 13 【解析】设圆锥的底面圆半径为R m，根据扇形的弧长等于底面圆周长，可得到120π×1180＝2πR，解得R＝13.
2. π 【解析】扇形面积为90π×22360＝π.
3. 4－π 【解析】在等腰直角三角形ABC中，∵∠A＝90°，BC＝4，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC＝22BC＝22，∵BC＝4，∴BE＝CE＝12BC＝2，∴S阴影＝S△ABC－S扇形BDE－S扇形CEF＝12×22×22－45π×22360－45π×22360＝4－π.
4. 解：(1)根据题图可知AB2＝22＋62＝40，
∴AB＝210.(1分)
∵AC2＝22＋62＝40，
∴AC＝210.(2分)
∵BC2＝42＋82＝80，
∴BC＝45；(3分)
(2)如解图，连接AD，由(1)知AB2＋AC2＝BC2，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°.(4分)
∵以点A为圆心的EF与BC相切于点D，
∴AD⊥BC，
∴AD＝12BC＝25.(5分)
∵S△ABC＝12BC·AD＝12×45×25＝20，
S扇形EAF＝14π×(25)2＝5π，(6分)
∴S阴影＝S△ABC－S扇形EAF＝20－5π.(7分)
第4题解图
5. 28.7 【解析】根据题意，得AB的长为72π·OA180，CD的长为72π·OC180，∵公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，∴72π·OA180－72π·OC180＝36，∴72π·(OA－OC)180＝36，即72π·AC180＝36，解得AC＝90π≈903.14≈28.7.
6. 解：(1)能，理由如下：(1分)
设圆锥滤纸底面周长为C，半径为r，母线为l，
漏斗底面半径为R＝72 cm，母线长L＝7 cm，滤纸直径d＝10 cm，
由题意得12πd＝C＝2πr，
r＝52 cm，l＝d2＝5 cm，
∴rl＝12，
又∵RL＝727＝12，
∴rl＝RL，
∴滤纸可紧贴漏斗内壁；(6分)
(2)设滤纸围成圆锥形的高为h cm，
由(1)可知h＝l2－r2＝532 cm，
∴V圆锥＝13πr2h＝13×π×(52)2×532＝1253π24(cm3).(9分)
圆周长
C＝①
r为圆(扇形)的半径；
n°为弧所对的圆心角的度数；
l是扇形的弧长
扇形弧长
l＝②
圆面积
S＝③
扇形面积
S扇形＝④ ＝12lr
注：阴影部分图形的面积计算，方法讲解详见本书P136～P137微专题 三种方法求阴影部分面积
相关
计算
(1)圆锥的侧面展开图是扇形；
(2)圆锥的母线长l为扇形的⑤ ；
(3)圆锥底面圆的周长2πr为扇形的⑥ ；
(4)圆锥的高为h，则r2＋h2＝l2；
(5)圆锥的底面圆周长：C＝2πr；
(6)圆锥的底面圆面积：S＝πr2；
(7)圆锥的侧面积：S＝πrl
r为底面圆半径
l为圆锥的母线长
名称
公式
图例
中心角
正n边形的每个中心角θ为⑦
R：半径
r：边心距
a：边长
θ：中心角
边心距
正n边形的边心距r＝R2−(a2)2
周长
正n边形的周长l＝na
面积
正n边形的面积S＝⑧ rl(l为正n边形的周长)