2024-2025学年上海市虹口区九年级（下）第一次月考数学试卷 （含解析）

这是一份2024-2025学年上海市虹口区九年级（下）第一次月考数学试卷 （含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）截止至2025年3月9日，我国国产动画电影《哪吒2之魔童闹海》在全球总票房已超过148亿元，“148亿”用科学记数法表示是
A．B．C．D．
2．（4分）上海轨道交通市域铁路机场联络线于2024年12月27日开通，它是中国国内首条与国铁网络互通互联的市域铁路示范线．随着各地地铁路网越来越密集，不同城市都有属于这个城市的地铁独有的标志．在下列四个标志中，是中心对称图形的是
A．上海市域铁路B．上海地铁C．南京地铁D．杭州地铁
3．（4分）小王的妈妈即将出国旅行．出发前，小王帮妈妈查询了当地的气温，抵达目的地当日气温是华氏度，我国常用的摄氏温标和华氏温标满足一次函数关系：，那么小王应建议妈妈抵达目的地时穿
A．春季服装B．夏季服装C．秋季服装D．冬季服装
4．（4分）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
5．（4分）下列事件中，属于确定事件是
A．郭老师在彩票站买了一张彩票恰好中大奖
B．胡老师打开微信时恰好有一条未读信息
C．小张同学在篮球比赛时第一次投篮刚好打进
D．小杨同学从装满红球的袋子里随机摸出一个球恰好是黄球
6．（4分）如图，在矩形中，，，点在对角线上，以点为圆心，2为半径长作，以点为圆心作，如果点在内而点在外，并且与外切，那么可以作为半径长的值是
A．3.5B．4C．4.5D．5
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： ．
8．（4分）因式分解： ．
9．（4分）函数的定义域是 ．
10．（4分）计算： ．
11．（4分）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数的值是 ．
12．（4分）在不透明盒子中装有6个白球和若干个其他颜色的球，这些球除颜色外完全相同，如果从中摸出一个球是白球的概率是，那么这个盒子里一共有 个球．
13．（4分）如图，已知，如果，，那么的大小是 ．
14．（4分）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，缴税数额也相应递增．已知该公司2022年缴税25万元，2024年缴税36万元，那么该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
15．（4分）如果一个正边形的中心角大小是它内角和的，那么的值是 ．
16．（4分）如图，在梯形中，，，，已知，，那么用向量、表示 ．
17．（4分）如图，在正方形中，点为边上一点，将△沿翻折，使得的对应边交对角线于点，延长交延长线于点，连接并延长交边于点，如果，那么的值是 ．
18．（4分）定义：我们把一个函数图象上到两条坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”．例如点是反比例函数图象的一个“2阶方点”；点是正比例函数图象的一个“3阶方点”．如果点是一次函数的“2阶方点”，那么的取值范围是 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（9分）计算：．
20．（9分）下面是小明解不等式的过程．
（1）填空：小明的解题步骤存在一步或若干步错误，则他所有错误步骤的序号是 ；
（2）请你写出正确的解答过程．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中，射线与函数的图象交于点，点在函数的图象上，且轴，连接．
（1）求直线的表达式；
（2）连接，如果，求△的面积．
22．（9分）如图，在△中，点、分别在边、上，连接、交于点，点在线段上，且，，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：．
23．（11分）
24．（15分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴负半轴交于点、与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，已知．
（1）求、的值；
（2）将抛物线平移，平移后得到新抛物线与轴负半轴交于点．
①如果平移后的新抛物线经过点，且它的对称轴与以为圆心，长度为半径的相切，求平移后新抛物线的解析式；
②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点，使得，记点在新抛物线上的对应点为，如果点在的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标．
25．（16分）在△中，，点是边上一点，连接．
（1）如图1，如果，求证：；
（2）以点为圆心，长度为半径作，交线段于点．
①如图2，如果点是△的重心，求的值；
②如图3，连接并延长，交边于点，如果平分，，，求的半径长．
参考答案
一．选择题（共6小题）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）截止至2025年3月9日，我国国产动画电影《哪吒2之魔童闹海》在全球总票房已超过148亿元，“148亿”用科学记数法表示是
A．B．C．D．
解：148亿．
故选：．
2．（4分）上海轨道交通市域铁路机场联络线于2024年12月27日开通，它是中国国内首条与国铁网络互通互联的市域铁路示范线．随着各地地铁路网越来越密集，不同城市都有属于这个城市的地铁独有的标志．在下列四个标志中，是中心对称图形的是
A．上海市域铁路B．上海地铁C．南京地铁D．杭州地铁
解：、该图形是中心对称图形；
、该图形不是中心对称图形，因为找不到一个点使图形绕该点旋转后能够与自身重合；
、该图形不是中心对称图形，因为找不到一个点使图形绕该点旋转后能够与自身重合；
、该图形不是中心对称图形，因为找不到一个点使图形绕该点旋转后能够与自身重合．
故选：．
3．（4分）小王的妈妈即将出国旅行．出发前，小王帮妈妈查询了当地的气温，抵达目的地当日气温是华氏度，我国常用的摄氏温标和华氏温标满足一次函数关系：，那么小王应建议妈妈抵达目的地时穿
A．春季服装B．夏季服装C．秋季服装D．冬季服装
解：当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
即：抵达目的地时的摄氏温度范围是．
这个温度范围比较低，属于冬季的温度范围．
故选：．
4．（4分）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
解：由题意得，，
，
图中两人的对话体现的数学原理是若，则．
故选：．
5．（4分）下列事件中，属于确定事件是
A．郭老师在彩票站买了一张彩票恰好中大奖
B．胡老师打开微信时恰好有一条未读信息
C．小张同学在篮球比赛时第一次投篮刚好打进
D．小杨同学从装满红球的袋子里随机摸出一个球恰好是黄球
【解答】．郭老师在彩票站买了一张彩票恰好中大奖，是随机事件；
．胡老师打开微信时恰好有一条未读信息，是随机事件；
．小张同学在篮球比赛时第一次投篮刚好打进，是随机事件；
．小杨同学从装满红球的袋子里随机摸出一个球恰好是黄球，是不可能事件，即是确定事件；
故选：．
6．（4分）如图，在矩形中，，，点在对角线上，以点为圆心，2为半径长作，以点为圆心作，如果点在内而点在外，并且与外切，那么可以作为半径长的值是
A．3.5B．4C．4.5D．5
解：矩形中，，，则，，
由勾股定理可得：，
过点作，则，，
即，，
，，
令与交于点，设，则，，，
，，
，
由题意可得：
，即，
，
即的半径的取值范围为：，
故答案为：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： ．
解：．
故答案为：．
8．（4分）因式分解： ．
解：．
故答案为：．
9．（4分）函数的定义域是 ．
解：函数有意义可得：
，
解得，
函数的定义域是，
故答案为：．
10．（4分）计算： 1 ．
解：原式．
11．（4分）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数的值是 ．
解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
解得：．
故答案为：．
12．（4分）在不透明盒子中装有6个白球和若干个其他颜色的球，这些球除颜色外完全相同，如果从中摸出一个球是白球的概率是，那么这个盒子里一共有 15 个球．
解：不透明盒子中装有6个白球和若干个其他颜色的球，这些球除颜色外完全相同，摸出一个球是白球的概率是，
白球占小球总数的，
这个盒子里一共有（个．
故答案为：15．
13．（4分）如图，已知，如果，，那么的大小是 ．
解：，，
，
，
所以的大小是，
故答案为：．
14．（4分）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，缴税数额也相应递增．已知该公司2022年缴税25万元，2024年缴税36万元，那么该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是，由题意可得：
，
整理得，，
解得：，（舍去）；
该公司这两年缴税的年平均增长率是，
答：该公司这两年缴税的年平均增长率是，
故答案为：．
15．（4分）如果一个正边形的中心角大小是它内角和的，那么的值是 8 ．
解：根据正边形的中心角的度数为，内角和为，
一个正边形的中心角大小是它内角和的，列出方程可得：
，
，（舍去），
经检验，符合题意，
故答案为：8．
16．（4分）如图，在梯形中，，，，已知，，那么用向量、表示 ．
解：如图，取，连接，
，
四边形是平行四边形，
，，
．
，，，
，，
，
△是等边三角形，
，
，
．
，
．
故答案为：．
17．（4分）如图，在正方形中，点为边上一点，将△沿翻折，使得的对应边交对角线于点，延长交延长线于点，连接并延长交边于点，如果，那么的值是 ．
解：由题意可得如图所示：
四边形是正方形，
，，，
△△，△△，
，
设，，则有，，
由折叠的性质可知：，
△△，
，
，
在△中，，
在△中，，
，
，
；
故答案为：．
18．（4分）定义：我们把一个函数图象上到两条坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”．例如点是反比例函数图象的一个“2阶方点”；点是正比例函数图象的一个“3阶方点”．如果点是一次函数的“2阶方点”，那么的取值范围是 ．
解：点是一次函数的“2阶方点”，
，
，
解得：，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（9分）计算：．
解：
．
20．（9分）下面是小明解不等式的过程．
（1）填空：小明的解题步骤存在一步或若干步错误，则他所有错误步骤的序号是 ①⑤ ；
（2）请你写出正确的解答过程．
解：（1）第①步给两边乘以6时，不等式的右边没有乘，所以从第①步开始出现错误；
第⑤步两边同除以时，不等号的方向没有改变，所以第⑤步也错误；
故答案为：①⑤；
（2）原不等式去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
两边同除以得：．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中，射线与函数的图象交于点，点在函数的图象上，且轴，连接．
（1）求直线的表达式；
（2）连接，如果，求△的面积．
解：（1）轴，点的坐标为，
点的纵坐标为2，
点在函数的图象上，
，
，
，
设直线的表达式为，
把代入，得，
，
直线的表达式为；
（2）如图，延长交轴于点，作轴于点，轴于点，
，，
，
，，
轴，，
，
，
，
，
设，
，，
，
，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
，，
，
，
轴，
△△，
，
，
△，
．
22．（9分）如图，在△中，点、分别在边、上，连接、交于点，点在线段上，且，，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：．
【解答】证明：（1），
，
，
又，
，
，
△△，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）由（1）得四边形是平行四边形，，且，如图，连接交于点，
，△△，
，即，
，即，
，
，
即：，
四边形是菱形，
．
23．（11分）
解：【探究1】，
△与△是直角三角形，
在△和△中，
，
△△，
如果，那么△与△一定全等，理由是：；
故答案为：一定，；
【探究2】△与△一定全等；
证明：如图1，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，
，
，
即，
在△和△中，
，
△△，
，
在△和△中，
，
△△，
，
在△和△中，
，
△△；
【探究3】①如图2，即为所求；
②当，时，如图3，显然由可知，△△，
，，
，
此时；
以为圆心，长为半径，画弧另一边只有一个交点，以为圆心，长为半径，画弧另一边只有一个交点，如图4，
此时画出的三角形是唯一确定的，
此时，，
△△，此时，
当时，显然作出的三角形也是唯一确定的，那么△与△一定全等，
综上，当或时，△与△一定全等，
故答案为：或．
24．（15分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴负半轴交于点、与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，已知．
（1）求、的值；
（2）将抛物线平移，平移后得到新抛物线与轴负半轴交于点．
①如果平移后的新抛物线经过点，且它的对称轴与以为圆心，长度为半径的相切，求平移后新抛物线的解析式；
②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点，使得，记点在新抛物线上的对应点为，如果点在的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标．
解：（1）令时，，即，，
，
，
，，
将，代入，
得：，
解得：，
即，；
（2）①设平移后的解析式为，且经过，
，即：；
令，则，即：，
又在轴负半轴，则，即，
，，
平移后的对称轴为直线，
它的对称轴与以为圆心，长度为半径的相切，
，即，
解得：，则，
平移后新抛物线的解析式；
②连接交轴于，
由（1）可知原抛物线的解析式为，
，
，则，
，则，
，即，
设直线的解析式为，代入，，
得：，解得：，
直线的解析式为，
可得：，
解得：或，
，
过点作，则轴，
，
设，则，
新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
即，新抛物线解析式为：，
又，
，则，
解得：，（舍去），
平移后的新抛物线解析式为：，
新抛物线的顶点坐标为．
25．（16分）在△中，，点是边上一点，连接．
（1）如图1，如果，求证：；
（2）以点为圆心，长度为半径作，交线段于点．
①如图2，如果点是△的重心，求的值；
②如图3，连接并延长，交边于点，如果平分，，，求的半径长．
【解答】（1）证明：如图，过点作于点，
，
，
，
△△，
，
，
，，
，
，
（2）解：①过点作于点，如图所示：
，
点是△的重心，
是△的中线，且，
，，
设，则有，，
，，
；
②平分，
，
，且，
△△，
，
，
，
，
，
过点作于点，连接，如图所示：
，
，
，
，
△△，
，，
，
，
△△，
，
设，则有，，
，，
，
，
，
解得：或（舍去），
，
即的半径长为．
解：去分母得：
①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
两边同除以得：．⑤
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不能全等吗？
在学完全等三角形的判定后，我们知道判定两个三角形全等的方法有：、、、以及共五种，而、都不能判定两个三角形全等．那么符合“”条件的两个三角形一定不能全等吗？下面我们来进行一下探究．
【提出问题】
在△与△中，，，，判断△与△是否全等？
【探究1】
填空：如图，如果，那么△与△ （填“一定”、“不一定”或“一定不” 全等，理由是： ．
【探究2】
如图，如果，那么△与△是否一定全等？如果全等，请证明；如果不全等，请画出反例．
【探究3】
如图，已知，
①如果，，那么这时△与△不一定全等，请利用尺规及图中给定的长度为4的线段，在图中直接画出满足条件且两个不全等的三角形；（不写作图过程，保留作图痕迹）
②填空：在①的条件下，改变、的长度，设，如果△与△一定全等，那么的取值范围是 ．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C．
A
D
A
D
C
解：去分母得：
①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
两边同除以得：．⑤
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不能全等吗？
在学完全等三角形的判定后，我们知道判定两个三角形全等的方法有：、、、以及共五种，而、都不能判定两个三角形全等．那么符合“”条件的两个三角形一定不能全等吗？下面我们来进行一下探究．
【提出问题】
在△与△中，，，，判断△与△是否全等？
【探究1】
填空：如图，如果，那么△与△ 一定 （填“一定”、“不一定”或“一定不” 全等，理由是： ．
【探究2】
如图，如果，那么△与△是否一定全等？如果全等，请证明；如果不全等，请画出反例．
【探究3】
如图，已知，
①如果，，那么这时△与△不一定全等，请利用尺规及图中给定的长度为4的线段，在图中直接画出满足条件且两个不全等的三角形；（不写作图过程，保留作图痕迹）
②填空：在①的条件下，改变、的长度，设，如果△与△一定全等，那么的取值范围是 ．